7.第四章 图形的相似学情调研-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

真题圈数学九年级3B 根据题意列表如下 设DW=x,则BF=DF=2x,NC=DW=x 第二名 在Rt△DFN中，由勾股定理得DF2=FWP+DWP, 第一名 a b c 可得FW=V5x. A (A,B) (A,a) (A,b) (A,c) .BC=6+23,..BF+FN+NC =2x+3x+x=6+23, B (B,A) (B,a) (B,b) (B,c) 解得x=2,∴.DN=2,BF=4, a (a,A) (a,B) (a,b) (a,c) .菱形BEDF的面积为BF·DN=4×2=8. 6 (b,A) (b,B) (b,a) (b,c) (2)如图②，过点E作EQ⊥BC于点Q,连接EC,与BD交于点P, c (c,A) (c,B) (c,a) (c,b) 连接PF,,点F关于BD的对称点为点E, 共有20种等可能情况，来自同一组的共8种情况，即(A,B),(B, ∴.CP+PF=CP+EP≥EC A),(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b), .EQ=DN=2,BE =4, 所以这2名同学来自同一组的概率P=易=号 .BQ=VBE2-EQ2=2√5，∴.CQ=BC-BQ=6, ∴.EC=√EQ2+CQ2=V22+62=2V10 20.【解】(1)x=3 ∴.CP+PF的最小值为210 分析：√x+1≥0，即5-x≥0，解得x≤5， .符合条件的解为x=3,∴.原方程的解为x=3 故答案为x=3. (2)x-√2x-1=2,移项，得x-2=√2x-1 B 2-“G 两边平方，得(x-2)2=2x-1. 解这个一元二次方程，得x,=1,x2=5. 第23题答图 :√2x-1≥0，即x-2≥0，解得x≥2， ∴.符合条件的解为x=5,∴.原方程的解为x=5. 7.第四章学情调研 21.【证明】(1)，四边形ABCD是正方形， 1.D2.A .∠DAB=90°，AC平分∠DAB. :PMLAD,PN⊥AB,∴.∠PMA=∠PNA=90°，PM=PN, 3c【解析ra∥/c2=器=多 ∴.四边形MAWP是正方形， :D5=362=2r=24 (2),'四边形MANP是正方形，.∠MPW=90° ∴.DF=3.6+2.4=6.故选C .PE⊥PB,∴.∠EPB=9O,∴.∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN 4.B【解析】因为相似三角形对应面积之比等于相似比的平方， =90°，∴.∠MPE=∠NPB. 所以相似比为、层-号，所以对应角平分线之比=相似比=号 V25 ∠PME=∠PNB. 故选B. 在△EPM和△BPW中，' PM=PN, ∠MPE=∠NPB, 5.B【解析】因为每个小矩形与大矩形都相似，所以上= ∴.△EPM≌△BPN(ASA),∴.EM=BN. 22.【解](1)1050元 解得a=√5.故选B. 分析：(45-30)×[80-(45-40)×2]=1050（元）. 6.A【解析】四边形ABCD是平行四边形， (2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2(x-40)门 .AB=CD,AD∥BC 件，依题意，得(x-30)[80-2(x-40)]=1200, 整理，得x2-110x+3000=0, AE∥BC,.△AEP∽△BCP, 解得x=50,x2=60(不符合题意，舍去). ÷公鹅张-品-号放法入 答：每件工艺品售价应为50元 7.C【解析】·线段AB两个端点分别为A(6,9),B(9,3,以 23.【解】探究一：四边形BEDF是菱形 原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩短为原来的 理由如下：如图①，设EF,BD交于点G,根据第二步折叠的性 质可得BE=ED,BF=DF, 后得到线段CD,·点C的横坐标和纵坐标都变为点A的 .EF垂直平分BD,.∠BGE=∠BGF=90°，BG=DG. 根据第一步折叠的性质可得∠ABD=∠CBD,在△EBG和 横坐标和纵坐标的的相反数，点C的坐标为(-2，-3). △FBG中，∠EBG=∠FBG,BG=BG,∠BGE=∠BGF, 故选C .△EBG≌△FBG(ASA),EG=FG 8.C【解析】根据作图痕迹可知，A选项中，BD是∠ABC的平 ∴EF与BD互相垂直且平分，.四边形BEDF是菱形 分线，B选项中，BD是AC边的中线，D选项中，AB=AD,A, 探究二：(1)如图②，过点D作DN⊥BC于点N, B,D选项皆不能判定△BAD∽△CBD.C选项中，BD是AC :∠A=105°，∠ABC=30°， 的垂线，，'BD⊥AC,∴.∠ADB=∠BDC=90°.，∠ABC .∠C=45°，∴.△DWC为等腰直角三角形，∴DW=NC =90°，∴.∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，∠A= ,四边形BEDF是菱形，∴.BE∥DF,∴.∠ABC=∠DFC=30°. ∠CBD,.△BAD∽△CBD.符合题意.故选C. 答案与解析 9.D【解析】：∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D, 解得DG=2,∴.AG=AD+DG=8. :△DEr△DcB器-器 ,BC=6,CF=3,∠C=90°，.BF=VBC2+CF2=3V5 :DF=50cm=0.5m,EF=30cm=0.3m, 同理可得GF=VDF2+DG=5, ∴.由勾股定理求得DE=√DF2-EF2=0.4m. BG=BF+GF=45. 又4C=15m,cD=20m8紧=器， :AD∥BC,∴.∠OAG=∠OEB,∠OGA=∠OBE, .△OAG△OEB, ∴.BC=15m, .∴.AB=AC+BC=1.5+15=16.5(m). 会-8%即导=4508， OB 故选D, 解得08=放答案为19 11 10.C【解析】设这张正方形纸条 16.【证明】CB=CF,.∠B=∠CFB. 是第n张。 ∠CFB=∠AFD,∴.∠B=∠AFD. 如图，EF∥BC, 'AD⊥CD,.∠D=∠BCA=90°， .△AEF∽△ABC, .△ADF∽△ACB. ÷熙=00= 30 17.【解∠C=90°，ED⊥AB于点D, 解得n=6. 一第2张 .∠C=∠ADE=90°. 故选C B 一第1张 :∠A=∠A,.△ADE∽△ACB,4P=4g 11.6 12.1:9【解析】，C是0C的 第10题答图 :AB=10,AC=8,4E=5,智=高AD=4 三等分点，C={ 18.【解】(1)如图，△'B'C,△A"B”C即所求。 0C=31 :△ABC和△A'B'C是以点O为位似中心的位似图形， 8 .△ABC∽△A'BC,A'C∥AC,.△AOC∽△A'OC, ÷-瓷=-(- SAABC 故答案为1：9. 13.(120-40√5)cm【解析】：点C是靠近点B的黄金分割点， 432-1101.3 6780 %=5C=5, 2 :AC=80×51l=(405-40)cm, ·.BC=AB-AC=(120-40N5)cm. 故答案为(120-40√5)cm 14.√29【解析】：∠ACB=90°，AC=3,BC=4, 第18题答图 .AB=AC2+BC2 =5. (2)(2a,2b)或(-2a,-2b) 又：AD=子BD=5-子= 19.【解】如图，过点C作CE⊥AB于点E. 'DE∥BC,∴∠BDE=∠CBA. ,·CD⊥BD,AB⊥BD,∴.∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°， 又，∠C=∠ABE=90°，∴.△ABC∽△EDB, .四边形CDBE为矩形， y 8 ∴.CE=BD=21m,BE= -2器即=高B=2, AC EB' CD =2 m. ∴AE=√AB2+EB2=V29.故答案为V29 设E=xm,则=京 C 口口口 口口口 15.25【解析】如图，延长AD与BF交于点G:四边形 解得x=14, 11 D ABCD是矩形，AB=4,AD=6, D .旗杆的高度AB=AE+BE 第19题答图 -G .DC=AB=4,BC=AD=6 =14+2=16(m). AB∥DC,AD∥BC 20.(解】1)号 ,点E是BC边的中点， 分析：点H是AD的中点，AH=号AD DF=CD. 第15题答图 :正方形AEOH∽正方形ABCD,相似比为4织=号 BE=BC=3,DF=CD=1,CF-CD=3. AD21 AB∥DC,∴.∠BAG=∠FDG,∠ABG=∠DFG, 故答案为 .△BAG∽△FDG, 2)号号 ·品-即4， 1 DG 。分析：在Rt△ABC中，4C=4,BC=3,根据勾股定理，覆 真题圈数学九年级3B MB=5,:△ACD与△ABC的相似比为侣-号，△BCD与 (3)GF=3GE·BE.理由如下： △ABC的相似比为BC=3 如图，过点F作FO⊥BE于点O. AB-5 ,.∠FOG=∠BFE=90°. 故答案为号， :由(1)得，四边形AEFG为菱 (3)①v2b②√b B F 形，GF=EE 第23题答图 ,分刺成的两个矩形全等且与红 .∠FGO=∠BEF,OG=OE b -]GE. 合a=万6放答案为5a .△FGO∽△BEF ②每个小矩形都是全等的，则其长和宽分别为b和】α， :GR=O9,即GF·EF=OG·BE EB EF 则b:a=a:b,∴a=nb.故答案为Vnb &GP=号GE·BE 21.【解】设运动的时间为ts, CP 2t cm,BQ t cm,CQ =(25-t)cm, 8.重难题型卷（三）相似三角形 当△CPQ∽△CAB时， 1.D【解析】A.阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角 器=器即酷=2若解得1=爱 形相似，故本选项不符合题意； 当△CPQ∽△CBA时 B.阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故 器-器即器=20，懈得1=鹗 本选项不符合题意； CBCA' C.两个三角形的两组对应边成比例且夹角相等，故两三角形相 综上所述，运动的时间为或 似，故本选项不符合题意； 22.(1)【证明】，∠A=40°，∠B=60°， D.两个三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选 ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=80° 项符合题意，故选D. :∠A≠∠B≠∠ACB,,△ABC不是等腰三角形. 2.B【解析：CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠DCB. :CD平分∠ACB, DM∥BC,∴.∠MDC=∠DCB,.∠MDC=∠ACD, ·∠ACD=∠BCD=2∠ACB=40°， ∴.MD=MC. ∴.∠ACD=∠A=40°，.△ACD为等腰三角形 :DM∥BC,.∠ADM=∠B,∠AMD=∠ACB, :∠CBD=∠ABC,∴.△BCD∽△BAC, △0Mn△Bc,2-兴-2=2业 3 2 .CD是△ABC的完美分割线. .DM=名，故选B. (2)【解V6-√2 3.B【解析】在正方形ABCD中，AD∥BC,∴△AED∽△FEB. 分析：：△ACD是以CD为底边的等腰三角形， .'AC=AD. :6=28E“器-%=E :AC=2,AD=2 BF=3 :正方形8CD的边长为6，， :CD是△ABC的完美分割线，∴.△BCD∽△BAC, 在Rt△ABF中，AF=VAB2+BF2=√36+9=√45=3N5, 六骺=82BCc=BA~BD EF EF ,.3V5-EF=2EF, 设BD=x,则AB=AD+BD=2+x, ∴.EF=√5.故选B. .(V2)2=x(x+2),.x=-1±V3. 4专店【解析1如图，延长AB,DE交于点G, x>0,.x=-1+V3,BD=-1+V5 E为BC边的中点， :△8c0△B4c0-2.即25-9， ∴.BE=CE 2 2, .四边形ABCD为矩形， CD=√6-√2. ∴.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD 23.【解](1)答案不唯一 =3,AD=BC=4,∠GBE= B △ABC∽△DBA∽△DAC中的任意两个. E ∠DCE=90°， (2)四边形AEFG是菱形， 又∠BEG=∠DEC, 证明如下：由折叠可知AG=GF,EA=EF,∠ABE=∠FBE. ∴.△BEG≌△CED(ASA), :∠BAC=90°，∠BDA=90°， .'BG=CD AB=3,EG= ,.∠ABE+∠AEB=90°，∠FBE+∠BGD=90°. 'G .∠AEB=∠BGD. DE.·E,F分别为BC,CD边的 第4题答图 又∠BGD=∠AGE,.∠AEB=∠AGE, 中点，DF=1.5,CE=2, .AG=AE..AG=GF=EA=EF. ∴.DE=VCD2+CE2=√13=EG,∴.DG=2√13 .四边形AEFG是菱形. CD/AG.FD:AG-QD:QG-1:4.真题圈数学 6.(期中·22-23临汾)如图，E是口ABCD的边DA的延长线上的一点，连接CE,交边AB于点P若 同步调研卷（上） 九年级3B =子则△AEP与△BCP的周长之比为 7.第四章学情调研 A B c. D.号 (时间：120分钟满分：120分) 图州 第I卷（选择题共30分） 第6题图 第7题图 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）】 7.如图，线段AB两个端点分别为A(6,9),B(9,3),以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB 1.(月考·23-24山西省实验)已知3a=2b(a≠0，b≠0)，下列变形正确的是( 缩短为原来的后得到线段CD,则点C的坐标为() A号- B号- A.(-2,3) B.(2,-3) c D.号=号 C.(-2,-3) D.(2,3) 8.(期中·23-24运城盐湖区)在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在4AC上确定点D,使 2.(月考·21-22太原志达中学)泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题 △BAD∽△CBD,根据作图痕迹判断，正确的是( 的证明.如图，泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字 塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的() A.图形的相似 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的平移 9.(月考·21-22太原师院附中)如图所示的示意图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量 树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已 知纸板的两条边DF=50cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=20m, 则树高AB为() A.12m B.13.5m 第2题图 第3题图 3.(期中·23-24太原小店区)如图，直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线 C.15m D.16.5m n分别交直线a,6c于点DE,F若2-DE=36,则DF的长为 A.2.4 B.3.6 C.6 D.7.2 若△MBC∽△DEF,且△ABC与△DEF的面积比是号，则△ABC与△DEF对应角平分线之比 +一第2张 为( 一第1张 驱加 阳图 B c D号 题 5.如图，一块矩形绸布ABCD的长AB=a,宽AD=1,按图中的方式将它裁成 第9题图 第10题图 最品 10.(期中·23-24长治潞州区)如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片， 相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布ABCD相似，那么© 沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条，若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方 的值等于() 形纸条是( ) A√2 B.√5 第5题图 A.第4张 B.第5张 C.2 D.5 C.第6张 D.第7张 第Ⅱ卷（非选择题共90分) 17.(期末·22-23太原)(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,E是AC上一点， 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） AE=5,过点E作ED⊥AB于点D,求AD的长. 11.(期中·23-24太原小店区)五边形ABCDE∽五边形AB'CDE,相似比为1：3，若AB=2,则 A'B'= 12.(月考·21-22运城运康中学)如图所示，△ABC和△A'BC是以点O为位似中心的位似图形 第17题图 已知点C"是OC的三等分点，则△A'B'C与△ABC的面积之比为 13.(期中·22-23山西省实验)如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面 上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点B的距离是 八。于 A'O B 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 14.(月考·22-23山西现代双语学校)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且AD =子，DE∥BC,∠DBB=90°，连接AE若4C=3,BC=4,则ME的长为 15.(期末·22-23晋中)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是BC边的中点，若DF= 是CD,线段F与AE相交于点O,则线段OB的长为一 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(期中·22-23临汾)(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，F是边AB上一点，且CB= CF,过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D,求证：△ADF∽△ACB. 18.(期末·22-23山大附中)(8分)在如图所示的格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的 三个顶点均在格点上， (1)以原点O为位似中心，画出△ABC放大为原来的2倍后的图形 (2)若△ABC的内部一点M的坐标为(a,b),则点M在所画图形中的对应点的坐标为 第16题图 4561 第18题图 一22一 19.(期中·21-22太原志达中学)(8分)如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一一时刻测得1m长 21.(期末·21-22太原)(10分)如图，在△ACB中，AC=30cm,BC=25cm动点P从点C出发 的竹竿竖直放置时影长为1.5m,在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落 沿CA向终点A匀速运动，速度是2cms;同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运动 需 在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21m,留在墙上的影高为2m,求旗 速度是1cm/s.当△CPQ与△CAB相似时，求运动的时间， 杆的高度。 图州 百脚 第21题图 第19题图 20.(10分)阅读下列材料，完成任务： 自相似图形 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：如图①， 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边的中点，连接EG,HF交于点O, 易知分割成的四边形AEOH,EBFO,OFCG,HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形 是自相似图形 盗印必究 关学子 任务 指绝溶国 (1)图①中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 (2如图②，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形” 他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它相似的小直角三角形，则 △ACD与△ABC的相似比为 ,△BCD与△ABC的相似比为 (3)现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a,宽AB=b(a>b). ①如图③，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a三 (用含b的式子表示)： ②如图④，若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= 些0 阳图 (用含n,b的式子表示)》 井x工口 第20题图 -23 22.(期中·22-23山西省实验节选)(10分)从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线 23.(期中·23-24临汾尧都区)(13分)综合与实践 与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三 如图①，已知直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AD为斜边BC上的高(AD⊥BC于点D) 角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分 观察发现：(1)请直接写出图中的一组相似三角形，（写出一组即可） 割线。 实践操作：第一步：如图②，将图①中的三角形纸片沿BE折叠（点E为AC上一点），使点A落在 (1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分 BC边上的点F处； 割线· 第二步：BE与AD交于点G,连接GF,然后将纸片展平 (2)如图②，在△ABC中，AC=2,BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 猜想探究：(2)猜想四边形AEFG是哪种特殊的四边形，并证明猜想 为底边的等腰三角形，则完美分割线CD的长为 (3)探究线段GF,BE,GE之间的数量关系，并说明理由 A 第23题图 第22题图 页圈 金配收府 盗印必穷 -24