3.第二章 特殊平行四边形学情调研-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

真题圈数学 8.(月考·23-24太原师院附中)某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增 同步调研卷（上） 九年级3B 长，三天累计票房约为10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率 为x,则根据题意，下列方程正确的是(） 3.第二章学情调研 A.3(1+x2)=10.82 B.3(1+x)2=10.82 (时间：120分钟满分：120分)】 C.3[1+(1+x)+(1+x)2]=10.82 D.3(1+x)+3(1+x)2=10.82 图州 9.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2-10x+24=0的个根，则菱形ABCD的 周长为() 第I卷（选择题共30分） A.16 B.24 C.16或24 D.48 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm,BC=3Cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始 1.(月考·23-24太原师院附中)下列方程是一元二次方程的是( 移动（移动方向如图所示），点P的速度是)cms,点Q的速度是1cms,点Q移动到点C后停止， A.3x2+1=0 B.5r2-6y-3=0 点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为臣cm,则点P运动的时间是() C.3x2-2x-1=0 D.ax2+bx+c =0 2.用公式法解一元二次方程3x2=2x-3时，首先要确定a,b,c的值，下列叙述正确的是( A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3 3.(期中·23-24运城盐湖区)用配方法解方程x2+4x+1=0时，方程可变形为() 第10题图 A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3 A.2s B.3s C.4s D.5s C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3 4.(期中·22-23太原改编)已知关于x的方程x2+6+3=0的一个根是1，则实数k的值为( 第Ⅱ卷（非选择题共90分）】 A.4 B.±1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） C.±4 金D.-4 11.开放性试题请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程： 5.(期中·23-24太原小店区)一元二次方程x2-4=0的解为( 12.已知方程x2-3x+1=0有→个根是m,则代数式4m㎡2-12m+2024的值为 A.x=2 B.x1=2,x2=-2 13.(月考·21-22运城实验中学)如图，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A对 C.x=-2 D.x1=4,x2=-2 应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为 6.(期中·22-23临汾)关于一元二次方程x+-9=0(k为常数)的根的情况，下列说法正确的 30m 是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 2 C.没有实数根 D.不能确定根的情况 匹0 阳图 7.(月考·23-24山西省实验)根据表格，选取一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个近似解的取 A 0 B 图 值范围( ) 第13题图 第14题图 14.(月考·23-24山西省实验)如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地，计划在其中 Y -0.5 0.5 感 修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行 ax+bx+c 275 -0.25 -1 通道，则人行通道的宽度为m A.-1<x<-0.5 B.-0,5<x<0 15.已知关于x的方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数，a≠0)的两根分别为-2,1，那么关于x的方 C.0x<0.5 D.0.5<x<1 程a(x+c-2)2+b=0的两根分别为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 18.(月考·22-23山西省实验改编)(9分)当一个二次多项式的二次项系数为正数时，可以对这个 16.(月考·23-24山西省实验节选)(6分)解下列方程： 多项式进行配方，然后利用非负性求最小值，解答下列问题： (1)(5x+2)(4-x)=0. (2)2x2-1=4x (1)x2+25x45=x2+2×V5x+(5)2+2=(x+a)2+b,则a= ,b= (2)若代数式x2-2+7的最小值为3，求k的值. 17.(8分)关于x的方程x2+2x+2k-1=0有两个不相等的实数根 19.(月考·23-24山西省实验)(9分)我们定义：如果关于x的一元二次方程a2+bx+C=0有两个 (1)求k的取值范围. 实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”， (2)当k取最大整数值时，求方程的两个根 (1)请判断方程x2-6x+8=0是不是倍根方程，并说明理由. (2)若方程(x-8)(x-n)=0是倍根方程，则n= 金皇软停 柜鹅密国 一8一 20.(期中·23-24晋中榆次区)(9分)小明的姑姑在某景区内经营一家民俗店，其中售卖的木板年画 21.(10分)阅读下面的材料，并完成相应的任务 深受游客喜爱，据小明了解，这种木板年画每件进价46元，当以每件96元售出时，平均每天可 材料：解含绝对值的方程：x2-3引x-10=0 需 售出30件.经调查发现：售价每降低5元，平均每天能多售出10件.如果计划每天盈利2000元， 解：分两种情况： 且尽可能让利顾客，那么每件应降价多少元？ ①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0,解得x,=5,2=-2(舍去月 ②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0,解得x,=-5,x2=2(舍去). 图州 综上所述，原方程的解是x=5,x2=-5. 目的 任务：请参照上述方法解方程x2-x+1-1=0. 直题圈 盗印必究 关爱学子 绝溶国 一9 22.(期中·23-24太原小店区)(11分)综合实践一用矩形纸板制作长方体盒子 23.(月考·20-21太原师院附中)(13分)阅读材料：各类方程的解法· 如图①，有一块矩形纸板，长为30cm,宽为16cm,要将其四角各剪去一个同样大小的正方形， 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程 折成图②所示的底面积为240cm2的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计） 组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程 (1)求将要剪去的正方形的边长， 组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方 (2)如图③，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考， 程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但 他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子， 是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知 ①请你在图③矩形板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕方 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，解一元三次方程x+x-2x=0,可以通 ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为412cm,请计算剪去的正方形的边长， 过因式分解把它转化为x(x+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x+x2-2x=0的解 (1)问题：方程x+x2-2x=0的解是x1=0,x3=x= ◇ (2)拓展：用“转化”思想求方程√2x+3=x的解， (3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳 子的一端固定在点B,沿草坪边BA,AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草 ①D ② ③ 坪边PD,DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长， 第22题图 A P D 世"出世坐世世 页圈 岁9出世出的岁 印必 第23题图 学子 金配软有 矩绝盗国 一10答案与解析 i.DI-EG-G BC=CD,∴.∠FGD=∠C,∠CBE+∠BEC=90°」 由旋转的性质可知EF=BE,∠BEF=90°，∴.∠BEC+∠FEG ZEBG=45,EG LBG,EG=BG=x =90°，∴.∠FEG=∠EBC,∴.△FGE2△ECB(AAS), 9+=3#5=2 .'FG=EC,EG=BC=CD, ∴DH=1,AH=√3，BH=3,.BD=VP+32=V10, ∴.EG+DE=CD+DE,即CE=DG,.FG=DG .PF+PB的最小值为V10.故答案为0 又∠FGD=90°，∴.∠FDG=45°. 18.15°或165°【解析]①当正三角形AEF在正方形ABCD的内 :∠ADC=90°，∴.∠ADF=180°-∠FDG-∠ADC=45° 部时，：正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE (3)BF的长为23. AB=AD, 分析：如图③，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G,则 =DF时，在△ABE和△ADF中，：{BE=DF, ∠FGD=90°，：四边形ABCD是正方形，∴.∠C=∠ADC= AE=AF, 90°，BC=CD,.∠FGD=∠C,∠CBE+∠BEC=90°. .△ABE≌△ADF(SSS),.∠BAE=∠FAD. 由旋转的性质可知EF=BE,∠BEF=90°， :∠EAF=60°，.∠BAE+∠FAD=30°， ∴.∠BEC+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBC, ∴.∠BAE=∠FAD=15°. ∴.△FGE≌△ECB(AAS,∴.FG=EC,EG=BC=CD, ②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，如图. .EG-DE CD-DE,DG CE, ∴.FG=DG,∴.△DFG是等腰直角三角形 又FG4DG=PD2,FG=DF=竖AD=号AB 2 √2，∴CE=FG=V2 :BC=AB=2,.BE=VBC2+CE2=√6， ∴.BF=V2BE=2V5 G --------、G D G E 第18题答图 D D :正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合， (AB=AD, 当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，，{BE=DF, AE=AF, .△ABE≌△ADF(SSS),.∠BAE=∠FAD. B :∠E4=609,∠BME=(360°-90°-60)×+60°= 9 ② 第19题答图 165°，∴.∠BAE=∠FAD=165°.故答案为15或165°」 19.【解(1)：四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∠A=90°， 3.第二章学情调研 ·∠ADB=∠ABD=180°∠4=450. 2 1.C 由旋转可知∠BDF=90°，.∠ADF=90°-45°=45°. 2.D【解析】原方程可化为3x2-2x+3=0,二次项系数为3，一次 (2)仍然成立.证明如下（答案不唯一，选其中一种即可）： 项系数为-2，常数项为3.故选D. 选择题图② 3.D 如图①，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G,则∠FGD 4.D【解析】把x=1代人关于x的方程x2+x+3=0,得1+k+3 =90°，·四边形ABCD是正方形，.∠C=∠ADC=90°， =0,解得k=-4.故选D. BC=CD,∴.∠FGD=∠C,∠CBE+∠BEC=90° 5.B 由旋转的性质可知EF=BE,∠BEF=90°，∴.∠BEC+∠FEG 6.A【解析】.a=1,b=k,c=-9,.=b2-4ac=2+36> =90°，∴.∠FEG=∠EBC,∴.△FGE≌△ECB(AAS), 0,.方程有两个不相等的实数根.故选A. ∴.FG=EC,EG=BC=CD,∴.EG-DE=CD-DE, 7.C8.C 即CE=DG,∴.FG=DG,.∠FDG=45° 9.B【解析如图所示，设BD=8,四边 ,∠ADC=90°，∴.∠ADG=90°，.∠ADF=45°。 形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD 选择题图③. 由x2-10x+24=0,解得x=4或x=6. 如图②，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G,则∠FGD 分两种情况： =90°，：四边形ABCD是正方形，∠C=∠ADC=90°，) ①当AB=AD=4时，4+4=8，AB,AD, 第9题答图 真题圈数学九年级3B BD不能构成三角形； 17.【解】(1)：方程x2+2x+2k-1=0有两个不相等的实数根， ②当AB=AD=6时，6+6>8， .4=b2-4ac=22-4(2k-1)=8-8k>0,.k<1, .菱形ABCD的周长=4AB=24. .当k<1时，方程有两个不相等的实数根 故选B. (2),k<1,.k的最大整数值为0， 10.B【解析】设动点P,Q运动1s后，能使△PBQ的面积为 把k=0代人方程x2+2x+2k-1=0,得方程x2+2r-1=0, em2,则Bp-(4-)cm,BQ=1cm 解得x=-1+V2,x=-1-V2, 18.【解1(1)32 根据题意，得4×1=， 分析：：x+2V3x+5=x+2×V3x+(5)2+2=(x+√3)2+2= 解得1=3,42=5（不合题意，舍去），当动点P,Q运动3s时， (x+a)2+b,.a=V3,b=2. 能使△P9Q的面积为华cm,故选B, (2)原式=(x-k)2+7-,(x-k)2≥0， 代数式x2-2x+7的最小值为3， 11.x2-2x+1=0(答案不唯一) 7-k=3,2=4,k=±2 12.2020【解析】由题意可知m2-3m+1=0,可得m2-3m=-1, 19.【解】(1)方程x26x+8=0是倍根方程.理由如下： ∴.原式=4(m2-3m)+2024=4×(-1)+2024=2020. 故答案为2020. 由方程x2-6x+8=0,解得x1=4,2=2. :x,=2x2,.方程x2-6x+8=0是倍根方程. 13.1-互【解析由题可得AB=+x-(2-1)=5, 2 (2)4或16 整理得4=0，解得名=中亚，与-上亚 分析：由方程(x-8)(x-n)=0,解得x1=8,x2=n, ,方程(x-8)(x-n)=0是倍根方程， :点A在数轴的负半轴上，2x-1<0,·< .x1=2x2或x2=2x1, 故答案为-回 即8=2n或n=2×8=16, 2 14.2【解析】设人行通道的宽度为xm,将两块矩形绿地合在一 故n=4或n=16. 起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m,由已知得(30-3x)·(24-2x) 20.【解】设每件应降价5x元，则每天可多售出10x件 =480,整理，得x2-22x+40=0,解得x1=2,2=20,当x= 根据题意，得(96-46-5x)(30+10x)=2000, 20时，30-3x=-30,24-2x=-16,不符合题意舍去，即x=2.故 即(10-x)(3+x)=40,解得x,=2,x2=5. 答案为2. :要尽可能让利顾客，x=5..5x=25. 15.3,0【解析】（方法1）方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数， 答：每件应降价25元 a≠0)的两根分别为-2,1， 21.【解】x2-x+-1=0,分两种情况： ①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程可化为x2-(x+1)-1=0, a(-2+c)2+b=0,. -2+c2=-b, 整理得x2-x-2=0, a(1+c)2+b=0, 1+c)2=- a 解得x,=2,x2=-1； -2c+1+e=0,解得c=2 ②当x+1<0,即x<-1时，原方程可化为x2+(x+1)-1=0, 整理得x2+x=0, (2+=-8- a 4" 解得x,=-1(舍去)，x2=0(舍去) a6to24b=0(+-2j-是， 综上所述，原方程的解是x=2,x2=-1. 22.【解】(1)设将要剪去的正方形的边长为xcm. 解得x1=3,x2=0. 根据题意，得(30-2x)(16-2x)=240, (方法2)：方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数，a≠0)的两 解得x1=20,x2=3. 根分别为-2,1，.方程a(x+c-2)2+b=0的两根分别为-2+2 当x=20时，30-2x<0,16-2x<0, =0,1+2=3.故答案为3,0. 所以不符合题意，所以x=3. 16.【解】(1)(5x+2)(4-x)=0, 答：剪去正方形的边长为3cm 5x+2=0或4-x=0, (2)①画出的图形如图所示 解得x=一号=4 ②设剪去的正方形的边长为ycm. (2)2x2-1=4x, 根据题意，得 移项，得2x2-4x-1=0, 30×16-2-2×9y=412, 这里a=2,b=-4,c=-1, 解得y,=-17(舍去)，y2=2. 第22题答图 b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0, 答：剪去的正方形的边长为2cm. x=b±B-4ae=4±24 2a 2×2 23.【解】(1)-21 解得x=-2+V6 5=26 分析：x3+x2-2x=0,x(x2+x-2)=0,x(x+2)(x-1)=0, 2 2 .x=0或x+2=0或x-1=0, 答案与解析 .x1=0,x2=-2,x3=1. 根据题意得x(x-1)=42, (2)√2x+3=x,将方程的两边平方，得2x+3=x2, 解得x,=7,x2=-6(不合题意，舍去)， 即x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,∴.x-3=0或x+1=0, 即该学习小组有7名成员 .x1=3,x2=-1. 故答案为7. 当x=-1时，√2x+3=√=1≠-1， 10.【解】.赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， .-1不是原方程的解， .共7×4=28场比赛 ∴.方程√2x+3=x的解是x=3. 设比赛组织者应邀请x个队参赛， (3).四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠D=90°，AB=CD 则由题意可列方程为-)=28 2 =3m.设AP=xm,则PD=(8-x)m 解得x1=8,x2=-7(不合题意，舍去) .BP+CP 10 m,BP=AB2+AP2,CP=PD2+CD2, 答：比赛组织者应邀请8个队参赛 V9+x2+V(8-x)2+9=10, 11.C ∴V8-x)2+9=10-V9+x2, 12.12【解析】如图，设与墙垂直的边AD的长为xm 两边平方，得(8-x)2+9=100-20W9+x2+9+x2, ,四边形ABCD是矩形，∴.BC=MN=PQ=AD=xm, 整理，得5√x2+9=4x+9. ∴.AB=32-AD-MN-PQ-BC DM PC 两边平方并整理，得x2-8x+16=0, =(32-4x)m 即(x4)2=0,.x=4. 根据题意，得x(32-4x)=60, 经检验，x=4是方程的解. 解得x=3或x=5. AB 答：AP的长为4m 当x=3时，AB=32-4x=20>18, 第12题答图 不符合题意，舍去； 4.重难题型卷（二）一元二次方程 当x=5时，AB=32-4x=12. ,.AB的长为12m 1.A 故答案为12. 2.D【解析】当m=2时，该方程不是一元二次方程，故甲错，乙 13.【解】利用平移，题图可转化为如图所示， 对.当m≠2时，4=4+4(m-2)=4m-4,当<0，即m<1时， 设道路宽为xm, 方程没有实数根，当4≥0，即m≥1且m≠2时，该方程有两 根据题意得(20-x)(32-x)=540, 个实数根.故丙错，丁对.故选D. 整理得x2-52x+100=0, 3.k≥-1【解析】方程有两个实数根，∴.4=4+4k≥0，解得 解得x=50(舍去)，x2=2. 第13题答图 k≥-1，.k的取值范围是k≥-1.故答案为k≥-1. 答：道路宽为2m 4.(1)【证明】4=[-(m+2)]2-4×1×2m=(m-2)2 14.【解】(1)每盏台灯销售价为46元，这周的销售利润为(46-30)× :(m-2)2≥0，.方程总有两个实数根. [600-(46-40)÷2×20]=16×540=8640(元) (2)【解】当m=2时，原方程变为x2-4x+4=0, 答：若每盏台灯销售价为46元，这周的销售利润为8640元， 解得x,=x2=2. 5.D【解析】由4=p2-4>0得p>2.设x,x2为方程的两根，那 (2)设每盏台灯的销售价格为x元， 由题意，得(x-30)[600-(x-40)×10]=10000, 么有x+x2=-p,xx2=1.又由(x-x2)2=(x+x2)24xx2,得 1=(-p)2-4,解得p2=5.又p>2,.p=5.故选D. 整理，得x2-130x+4000=0, 6.-2【解析】由题意，根据根与系数的关系可得，m+n=4,n 解得x,=50,x2=80(不符合题意，舍去)， =2站+日片+日号=2放答案为-2 ∴.x=50 m n-2 答：如果要实现每周的销售利润为10000元的目标，每盏台灯 7解1)号-号 的销售价格为50元 (2):方程x2+5x-3=0的两根分别是x1,2, 15.【解】(1)设每件衬衫应降价x元， …xtx2=-5,xx2=-3, 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200, .(x+x2)2=25,即x2+2xx+x号=25， 解得x1=10,x2=20(舍去). .x+x号=25-2xx2=25-2×(-3)=31. 答：每件衬衫应降价10元. 8.A【解析】每轮传染中平均一只鼠传染了x只鼠， (2)不同意.理由如下： 则一轮传染后共有(1+x)只鼠感染了这种病毒，两轮传染后共 设每件衬衫应降价m元，能使商场每天盈利1300元. 有[1+x+x(1+x)]只鼠感染了这种病毒 根据题意，得(40-m)(20+2m)=1300, 故可列方程为1+x+x(1+x)=144. 化简得m2-30m+250=0, 故选A. 4=900-4×1×250=-100<0, 9.7【解析】设该学习小组有x名成员， .原方程没有实数解， 则小组内每名成员需送出(x-1)张贺卡， .商场每天的盈利不可能达到1300元.