2.1认识一元二次方程（第1课时一元二次方程 ）（导学案）数学北师大版九年级上册

2.1认识一元二次方程 导学案 第1课时 一元二次方程 1．通过实际情景问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式； 学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 第一环节 自主学习 温故知新： 思考： 1.什么是一元一次方程？ 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 新知自研：自研课本第31--32页的内容． 【学法指导】 自研课本P31-32页的内容，思考： ●探究一：一元二次方程的定义及相关概念 ◆1.想一想 问题1：上述问题中,如果设所求的宽度为 x m,那么你能列出怎样的方程？ 解:设所求的宽度为x m， 则中间地毯的宽表示为 m,长表示为 m, 则方程列为 ， 化简，得 . 问题2：观察下面等式：102 + 112+ 122 = 132 + 142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 .　 根据题意，可得方程： 化简，得 . 问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙 m , 根据题意，可得方程： ， 化简，得 . ◆2.议一议 由上面三个问题，我们可以得到三个方程,这三个方程有什么共同特点？ 共同特点： ◆3.归纳总结： 一元二次方程的概念： ①只含有 未知数x的整式方程，并且都可以化为 (a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ②一元二次方程的一般形式： 我们把 a,b,c为常数, a≠0)称为一元二次方程的一般形式. ③一元二次方程的项及其系数： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为 、一次项和 ，a，b分别 称为二次项系数和 . ◆4.想一想 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以为零呢？ 归纳总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足 ，b，c可以为 . 练一练 1.下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） ●探究二：建立一元二次方程模型 ◆1.做一做 桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？请根据题意列出方程． 解:设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为 cm ，宽为 cm . 根据题意，可列方程为 , 整理得： . ◆2. 归纳总结： 列一元二次方程的基本思路： 练一练 2.小明用30厘米长的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为 厘米，列方程得 ，一般形式为 . 【例题导析】 自研下面的例1、例2和例3的内容，回答问题： 典例分析 例1：a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x＝2x2； (2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0. 【分析】 先把方程化为 ，再根据 的定义列出方程或不等式即可解答. 【解答】 【方法总结】：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的 等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 的字母的值． 例2：将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及各项的系数. 【分析】先化简3x(x-1)＝5(x+2)，再移项、 ，即可得到一元二次方程的一般形式. 【解答】解：去括号，得 . 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 . 其中二次项是 ,二次项系数是 ；一次项是 ,一次项系数是 ；常数项是 . 【注意】（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对 而言的； （2）系数和项均包含前面的 . 例3：如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程． 【分析】小正方形的边长即为纸盒的 ，中间虚线部分则为纸盒 ，设出未知数，利用长方形 可列出方程． 【解答】设需要剪去的小正方形边长为x cm，则纸盒底面的长方形的长为 cm，宽为 cm. 根据题意，得 整理，得 ． 【方法总结】：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出 ，准确地找出已知量和未知量之间的 ，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨一元二次方程的定义和一般形式，说明a≠0的原因； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列方程属于一元二次方程的是（　 ） A. B. x（x-1）＝y2 C.2x3-x2＝2 D.（x-3）（x+4）＝9 2.方程2x2-6-x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　 　） A.6，2，9 B.2，-6，9 C.2，-6，-9 D.-2，6，9 3.将一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式为（　 　） A.3x2-4x+2＝0 B.3x2-4x-2＝0 C.3x2+4x+2＝0 D.3x2+4x﹣2＝0 4.设一个奇数为x，它与跟它相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( 　) A.x(x＋2)＝323 B.x(x-2)＝323 C.x(x＋1)＝323 D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝323 5.下列方程中，是一元二次方程的是 (填入序号即可)． ①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3； ④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2； ⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2. 6.若方程(m−1)x|m|+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 7.方程3x2−2x=1的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 8.已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0. （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 9.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少： (1) 2x2=3x-1； (2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0. 题型一：一元二次方程的识别 1．（2024秋•南漳县期末）下列方程中，是关于x一元二次方程是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 2．（2024秋•四平期末）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0 C． D．x2+2y+6＝0 3．（2024秋•阳谷县期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x3+x＝1 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 4．（2024•济南模拟）下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①x2+x＝1； ②2x2﹣3xy+4＝0； ③； ④x2＝0； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：一元二次方程的一般形式 5．（2024秋•丹徒区期末）将一元二次方程x（x﹣1）＝2化为一般形式为（　　） A．x2﹣x＝2 B．x2﹣x﹣2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2+x+2＝0 6．（2024秋•细河区期末）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣x＝2 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝0 7．（2024•桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 　 　． 8．（2024秋•康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2﹣1＝2x； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x； （3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）． 题型三：确定一元二次方程的项和系数 9．（2024秋•湘潭期末）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣1，3 D．1，﹣3 10．（2024秋•黄石期末）将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x 11．（2024秋•临渭区期末）将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 题型四：由一元二次方程的定义求字母的取值范围 12．（2024秋•斗门区期末）已知方程（m﹣1）x2+3x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意数 13．（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 14．（2025•昆明校级一模）若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0 题型五：由一元二次方程的定义求字母的值 15．（2025•昆明校级一模）若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0 16．（2024秋•凤台县期末）若关于x的方程（m+4）x|m|﹣2﹣2x+3m＝0是一元二次方程，则m的值为　　． 17．（2024秋•静安区校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　 ． 18．（2024秋•蓝山县期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型六：由实际问题列一元二次方程 19．（2025•泉州模拟）某市2022年底森林覆盖率为63%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到69%，求这两年森林覆盖率的年平均增长率．若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A．0.63（1+x2）＝0.69 B．0.63（1+2x）＝0.69 C．0.63（1+x）2＝0.69 D．0.63（1+2x）2＝0.69 20．（2024秋•巩义市期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有x支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝153 B．x（x+1）＝153 C． D． 21．（2024秋•昌黎县期末）近年，我市推出“五水共治”专项行动．经两年时间，我市的污水利用率提高了30%．设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为（　　） A．（1+x）2＝30% B．x2＝1+30% C．（1+x）2＝1+30% D．1+x2＝1+30% 22．（2025•深圳模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 1、一元二次方程的概念： 只含有 未知数x的整式方程，并且都可以化为 (a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式： 我们把 a,b,c为常数, a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 3、一元二次方程的项及其系数： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为 、一次项和 ，a，b分别 称为二次项系数和 . 4、列一元二次方程的基本思路： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1认识一元二次方程 导学案 第1课时 一元二次方程 1．通过实际情景问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式； 学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 第一环节 自主学习 温故知新： 思考： 1.什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数，且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程． 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 一元一次方程的一般形式是：ax＋b＝0（a，b是常数，a≠0）． 新知自研：自研课本第31--32页的内容． 【学法指导】 自研课本P31-32页的内容，思考： ●探究一：一元二次方程的定义及相关概念 ◆1.想一想 问题1：上述问题中,如果设所求的宽度为 x m,那么你能列出怎样的方程？ 解:设所求的宽度为x m， 则中间地毯的宽表示为__(5-2x)__m,长表示为(8-2x) m, 则方程列为 (8-2x)(5-2x)=18 ， 化简，得 4x2-26x+22 ＝0 . 问题2：观察下面等式：102 + 112+ 122 = 132 + 142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 x+1，x+2，x+3，x+4.　 根据题意，可得方程：x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2, 化简，得 x2 - 8x - 20＝0 . 问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　(x+6 ) m , 根据题意，可得方程：72 + (x + 6)2 = 102， 化简，得x2 + 12 x - 15 = 0 . ◆2.议一议 由上面三个问题，我们可以得到三个方程,这三个方程有什么共同特点？ 共同特点：①只含有一个未知数; ②未知数的最高次数是2;③整式方程． ◆3.归纳总结： 一元二次方程的概念： ①只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ②一元二次方程的一般形式： 我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)称为一元二次方程的一般形式. ③一元二次方程的项及其系数： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. ◆4.想一想 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以为零呢？ 归纳总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0，b，c可以为任意实数. 练一练 1.下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C ） ●探究二：建立一元二次方程模型 ◆1.做一做 桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？请根据题意列出方程． 解:设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为(25-2x) cm ，宽为(15-2x ) cm . 根据题意，可列方程为(25-2x)(15-2x)= 300, 整理得：4x2-8x+75 ＝0. ◆2. 归纳总结： 列一元二次方程的基本思路： (1)审清题意，弄清已知和未知，找出等量关系； (2)设未知数，一般求什么就设什么为x； (3)用含未知数的代数式表示等量关系中的量,将问题转化为方程,即列出方程． 练一练 2.小明用30厘米长的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为(17-x)厘米，列方程得x2+(17-x)2=132，一般形式为x2-17x+60=0. 【例题导析】 自研下面的例1、例2和例3的内容，回答问题： 典例分析 例1：a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x＝2x2； (2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0. 【分析】先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义列出方程或不等式即可解答. 【解答】解：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2－x＋3＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)因为|a|＋1＝2，所以a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程． 【方法总结】：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0的字母的值． 例2：将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及各项的系数. 【分析】先化简3x(x-1)＝5(x+2)，再移项、合并同类项，即可得到一元二次方程的一般形式. 【解答】解：去括号，得3x2-3x＝5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10＝0. 其中二次项是3x2,二次项系数是3；一次项是-8x,一次项系数是-8；常数项是-10. 【注意】 （1） 一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号. 例3：如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程． 【分析】小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程． 【解答】设需要剪去的小正方形边长为x cm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm. 根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0(x＜)． 【方法总结】：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨一元二次方程的定义和一般形式，说明a≠0的原因； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列方程属于一元二次方程的是（　D　） A. B. x（x-1）＝y2 C.2x3-x2＝2 D.（x-3）（x+4）＝9 2.方程2x2-6-x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　C　） A.6，2，9 B.2，-6，9 C.2，-6，-9 D.-2，6，9 3.将一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式为（　A　） A.3x2-4x+2＝0 B.3x2-4x-2＝0 C.3x2+4x+2＝0 D.3x2+4x﹣2＝0 4.设一个奇数为x，它与跟它相邻奇数的积为323，所列方程正确的是(　D　) A.x(x＋2)＝323 B.x(x-2)＝323 C.x(x＋1)＝323 D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝323 5.下列方程中，是一元二次方程的是____①②④⑥____(填入序号即可)． ①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3； ④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2； ⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2. 6.若方程(m−1)x|m|+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ． 7.方程3x2−2x=1的二次项是 3x2 ，一次项系数是 ﹣2 ，常数项是 ﹣1 ． 8.已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0. （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 【解答】解：（1）由，解得m＝1， 故当m＝1时，关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0是一元二次方程. （2）当m－2时，解得m＝－1. 当时，解得m＝0. 故当m＝－1或0时，关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0是一元一次方程. 9.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少： (1) 2x2=3x-1； (2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0. 【解答】解：（1）2x2=3x-1化为一般形式为 2x2-3x+1=0， ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1. (2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为 -x2+2x-4=0, ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4. 题型一：一元二次方程的识别 1．（2024秋•南漳县期末）下列方程中，是关于x一元二次方程是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； B．x2+y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 2．（2024秋•四平期末）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0 C． D．x2+2y+6＝0 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【解答】A、ax2﹣2x+3＝0，该方程的未知数的二次项系数是a，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、x2+9＝0，该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、x2+2y+6＝0，该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 3．（2024秋•阳谷县期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x3+x＝1 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③整理后未知数的最高次数是2；根据定义即可解答． 【解答】解：x3+x＝1未知数的最高次数是3，则A不符合题意； x2﹣x（x+7）＝0化简后得﹣7x＝0，它是一元一次方程，则B不符合题意； ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程，则C不符合题意； x2﹣2x﹣3＝0符合一元二次方程的定义，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024•济南模拟）下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①x2+x＝1； ②2x2﹣3xy+4＝0； ③； ④x2＝0； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①x2+x＝1是一元二次方程； ②2x2﹣3xy+4＝0含有两个未知数，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不是一元二次方程； ④x2＝0是一元二次方程； ⑤是一元二次方程； ∴一元二次方程有3个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2+bc+c＝0（其中a、b、c是常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程． 题型二：一元二次方程的一般形式 5．（2024秋•丹徒区期末）将一元二次方程x（x﹣1）＝2化为一般形式为（　　） A．x2﹣x＝2 B．x2﹣x﹣2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2+x+2＝0 【分析】根据一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0），再求解即可． 【解答】解：∵x（x﹣1）＝2， ∴x2﹣x﹣2＝0， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键． 6．（2024秋•细河区期末）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣x＝2 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝0 【分析】先去括号，再合并同类项，即可答案． 【解答】解：x（x+1）﹣2x＝2， x2+x﹣2x＝2， x2+x﹣2x﹣2＝0， x2﹣x﹣2＝0， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）． 7．（2024•桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 　 　． 【分析】先去掉括号，再移项、合并同类项，即可得出答案． 【解答】解：x2﹣（3x﹣2）＝8， x2﹣3x+2＝8， x2﹣3x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣3x﹣6＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）． 8．（2024秋•康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2﹣1＝2x； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x； （3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）． 【分析】（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案． 【解答】解：（1）3x2﹣1＝2x， 移项，得3x2﹣2x﹣1＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x， 去括号，得x2﹣2x＝4x2﹣3x， 移项、合并同类项，得﹣3x2+x＝0， 整理，得3x2﹣x＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为0； （3）mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）， 移项、合并同类项，得（m+n）x2+（m﹣n）x+p﹣q＝0， 二次项系数为（m+n），一次项系数为（m﹣n），常数项为（p﹣q）． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． 题型三：确定一元二次方程的项和系数 9．（2024秋•湘潭期末）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣1，3 D．1，﹣3 【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论． 【解答】解：一元二次方程2x2＝x﹣3可化2x2﹣x+3＝0，二次项系数和常数项分别是2，3． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项是解题的关键． 10．（2024秋•黄石期末）将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x 【分析】经过移项把一元二次方程化为一般形式，令常数项为1，找出其二次项系数和一次项系数即可得到答案． 【解答】解：2x2+1＝5x， 移项得：2x2﹣5x+1＝0， 此时常数项为1， 二次项系数为：2，一次项系数为：﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 11．（2024秋•临渭区期末）将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（x+a）2＝b， 则x2+2ax+a2＝b， ∴x2+2ax+a2﹣b＝0， 由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5， 解得：a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 题型四：由一元二次方程的定义求字母的取值范围 12．（2024秋•斗门区期末）已知方程（m﹣1）x2+3x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意数 【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由此求得m的取值范围． 【解答】解：依题意得：m﹣1≠0， 解得m≠1． 故选：A． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 13．（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 【分析】由方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，可得m+2≠0，再解不等式即可． 【解答】解：∵方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0， ∴m≠﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的二次项的系数不为0”是解本题的关键． 14．（2025•昆明校级一模）若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程， ∴m+1≠0， 即m≠﹣1， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 题型五：由一元二次方程的定义求字母的值 15．（2025•昆明校级一模）若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程， ∴m+1≠0， 即m≠﹣1， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 16．（2024秋•凤台县期末）若关于x的方程（m+4）x|m|﹣2﹣2x+3m＝0是一元二次方程，则m的值为　　． 【分析】根据一元二次方程的定义得到m+4≠0且|m|﹣2＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意可知， 方程（m+4）x|m|﹣2﹣2x+3m＝0是一元二次方程， ∴， 解得：m≠﹣4，m＝±4， 综上所述，m＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握一元二次方程的定义是关键． 17．（2024秋•静安区校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣7＝2且m+3≠0，求得m的值即可． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣7＝2且m+3≠0， 解得m＝3， 所以m的值为3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，关键掌握未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0． 18．（2024秋•蓝山县期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【解答】解：（1）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：m2﹣1＝0且m+1≠0， ∴m＝1． 当m＝1时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：m2﹣1≠0， ∴m≠±1． 当m≠±1时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为m2﹣1，常数项为m． 【点评】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 题型六：由实际问题列一元二次方程 19．（2025•泉州模拟）某市2022年底森林覆盖率为63%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到69%，求这两年森林覆盖率的年平均增长率．若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A．0.63（1+x2）＝0.69 B．0.63（1+2x）＝0.69 C．0.63（1+x）2＝0.69 D．0.63（1+2x）2＝0.69 【分析】利用该市2024年底森林覆盖率＝该市2022年底森林覆盖率×（1+该市这两年森林覆盖率的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：63%（1+x）2＝69%， 即0.63（1+x）2＝0.69． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2024秋•巩义市期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有x支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝153 B．x（x+1）＝153 C． D． 【分析】根据场数列式求解即可得到答案． 【解答】解：根据场数列式求解即可得： ， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2024秋•昌黎县期末）近年，我市推出“五水共治”专项行动．经两年时间，我市的污水利用率提高了30%．设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为（　　） A．（1+x）2＝30% B．x2＝1+30% C．（1+x）2＝1+30% D．1+x2＝1+30% 【分析】设这两年的污水利用率的平均增长率是x，利用原有污水利用率×（1+平均每年污水利用率的增长率）2＝污水利用率，列方程即可． 【解答】解：设这两年的污水利用率的平均增长率是x， 根据题意列方程得，（1+x）2＝1+30%， 故选：C． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程；掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 22．（2025•深圳模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1、一元二次方程的概念： 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式： 我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 3、一元二次方程的项及其系数： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. 4、列一元二次方程的基本思路： (1)审清题意，弄清已知和未知，找出等量关系； (2)设未知数，一般求什么就设什么为x； (3)用含未知数的代数式表示等量关系中的量,将问题转化为方程,即列出方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$