卷35 专题阴影面积的计算及最值问题-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

答案与解析 8.【解】(1)如图，过点C作CE⊥AD于点E. .O0=OC,∴.∠0C0=∠O0C, :BC的度数是60°，.∠B0C=60°. ∠00C=∠0C0=∠C0B'=∠40B'=30, 又OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA=30° CD=30C=23 0C=8,.0E=4, O EDB 在Rt△OCD中，∠COD=60°，CD=2√5， .CE=V82-42=4V3,∴AC=85 第8题答图 60=4=00, ·0C=CD .AD=AC =83,04=OC=8, ·S阴影=S扇形4O8-S扇形c0A+S△o0C .OD=AD-OA=85-8. 252=Sm5n=08-克x(85-8)×45 -60x45_30x4Y+2×4×25=4+45. 360 360 360 故答案为4π+4V5. =32π-48+16√5. 3 5.8π-16【解析】：正方形ABCD的边长是4， ∴.半圆的半径是2，∴.圆的面积=π×22=4元 卷35专题阴影面积的计算及最值问题 ,正方形ABCD的面积=42=16， 1.B【解析】如图，连接OA,OB,过点O作OC⊥AB于点C.由 ,∴，阴影的面积=圆的面积×2-正方形ABCD的面积=8π-16 题意可知∠AOB=60°，：OA=OB,.△AOB为等边三角形， 故答案为8元π-16. B=0=0=25m=2-号无 6.π-√5【解析如图，连接OC,OB,BC OC⊥AB,.∠OCA=90°，AC=1, 由题意可知，点A,0,B三点在同一条直线上，∠OA0=30°. 0C=5,S6o=3×2×5=V5, 由旋转可知，AB=AB,∠OAB=30°， .∠0AC=30°+30°=60°. “阴影部分的面积为号V5.故选B .OA=OC,.△AOC是等边三角形 ∠A0B=120°，.∠B0C=120°-60°=60°， .△BOC是等边三角形，∴.四边形AOBC是菱形 设OC与AB的交点为D,在Rt△AOD中，OA=2,∠AOD= 60,0D=30A=1,DA=90M=5, 6 ∴.AB=2DA=2V5, 第1题答图 第2题答图 2.A【解析】连接OD,如图.，CD⊥AB, Sm=554-308-×25x1=5. 360 CE=DE=)CD=V5(垂径定理)..SAOCE=SAo0e 故答案为π-√5 小 ∴.阴影部分的面积等于扇形BOD的面积！ ∠CDB=30°，∴∠C0B=∠D0B=60°，.OC=2, D S能心=6002-号，即阴影部分的面积为等.故选A 360 3.氵+45【解析】如图，连接OC,过点C作AB的垂线交AB B 于点D. 第6题答图 第7题答图 :OA=0C,.∠OAC=∠OCA=30°， 7.(1)【证明AD=AD,.∠ACD=∠DBA. ∴.∠C0D=60°，∠A0C=120°， 又：∠CAB=∠DBA,.∠CAB=∠ACD,∴CD∥AB, :CD=0C,sin60=4×5=25, (2)【解】如图，连接OD,过点D作DE⊥AB,垂足为E. 2 六S阴影=S半-(S形0c-S△4oc） ∠ACD=30°，.∠AOD=60°， .∠B0D=180°-∠A0D=120°， =-(-4-45 5ww=需-1202- 360 在Rt△ODE中，：DE=sin60·OD=5x2=V5, 故答案为氵+45 ∴S6D=30B·DE=x2x3=5, Sw=50=考-元5. 8.B【解析，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E, ∴.CE=DE O D B O DA 点G是DF的中点， 第3题答图 第4题答图 ·EG=2CR,EG∥CR 4.4r+4V5【解析】如图，连接0C,过点C作CD⊥OA于点D. 当CF为直径时，EG取最大值，如图，此时， OB∥OB,.∠COB=∠OCO )20E=CE=2,∠CDF=90,.∠0CE= 第8题答图 真题圈数学九年级12N ∠C0E=45°， ∴CP-4CaC=25x2=V5, AB 4 .∠DEG=∠OCE=45°，.GD=DE=2, ∴.PQn=vCp2-CQ2=√3-1=√2， ∴当线段EG取得最大值时，点G到弦CD的距离是2 即PQ的最小值是√2.故答案为√2. 故选B. 14.B【解析】，四边形ABCD中，AB=AC=AD, 9.D【解析如图，设⊙O与AC相 切于点E,连接OE,作OP⊥BC, .B,C,D三点在以A为圆心，AD长为半径的圆上 E :∠CBD=23°，∴.∠CAD=2∠CBD=46°. 垂足为P,交⊙O于Q,此时垂 线段OP,最短，PQ,为PQ长的A B(P) 故选B. 0 最小值，最小值为OP-OQ 15.√29-2【解析】设AD的中点为0. AB=10,AC=8,BC=6, :∠ABC=∠BAD=90°， 第9题答图 AB=AC+BC,∠C=90°，r=)C=3. AD∥BC,.∠DAE=∠AEB '∠ADF=∠BAE, ∠OPB=90°，∴OP1∥AC. ∴.∠DFA=∠ABE=90°， 40-0B,P.C=PB OP C=4, .点F在以AD为直径的半圆上运动.以 B .PQ,的最小值为OP-OQ,=1. AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F', 第15题答图 如图，当Q,在AB边上，P,与B重合时，P,Q,经过圆心，经过圆 如图，当点F运动到点F时，线段BF有最小值 心的弦最长，P,Q,为PQ长的最大值，P,Q2=OB+r=5+3=8. :AD=4,A0=0F=号AD=2, ∴.PQ长的最大值与最小值的差是7.故选D. ∴.B0=V52+22=√29，.线段BF的最小值为√29-2. 10.4√2【解析】如图，由题意得，DE-AC, 故答案为√29-2. 当AC是直径时，DE取得最大值 16.√34【解析】作MG⊥DE于M,GH⊥AB于H,如图， E .AC是直径，.∠ABC=90°， ,EF是∠DEB的平分线， .∠BAC=∠BCA=45°， .'GH=MG. .'AB=BC=8, :∠DAE=∠DGE=90°， ..AC=AB2+BC2=82. A,D,G,E四点共圆， DE=4C=4. ∴.∠GAH=∠MDG, E H 第10题答图 ,'.△GAH≌△GDM(AAS), 故答案为4V2. 第16题答图 .GA=GD. 11.14-4V5【解析】设P(x,y),:PP=(+1)2+y,PB=(x-1)2+ .'AG+BG=DG+BG. y2,.PA+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2. 当D,G,B三点共线时，AG+BG有最小值，最小值是BD的长， 0P2=x2+y2,∴.PA2+PB2=20P2+2. ∴AG+BG的最小值是V52+32=V34 当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最小值. 故答案为V34. :C(-V2,V3),∴.OC=5,∴.OP的最小值为C0-r= 17.(4,4)【解析】如图，：点C为坐标平面内一点，BC=2√2， √5-1，.PA+PB2的最小值为14-4V5 .C在以点B为圆心，半径为2√2的⊙B上，取OD=OA=6, 故答案为14-45. 12.√5+1【解析】连接OM,OP,如图.当点P在⊙0上移动时， 连接CD. :OA=OP,且点M是AP的中点， ,点M为AC的中点， ∴.∠AMO=90°，∴.点M的轨迹是以 .AM=CM. OA为直径的⊙O',因此，CO'交⊙O 又OD=OA, 于点M时，CM的值最大.由题意得， ∴.OM是△ACD的中位线， 0A=0B=0C=2,00'=301= ·OM=3CD, 1=0M,在Rt△0OC中，OC=2, .当CD最大时，OM最大. 第17题答图 00=1,∴.0C=V22+12=5, 第12题答图 因此当D,B,C三点共线时，OM最大： .CM=C0+0M=√5+1，故答案为V5+1. :OB=OA=OD=6,∠BOD=90°， 13.√2【解析】连接CP,CQ,如图. ∴.BD=62,∠CD0=45°， :PQ是⊙C的切线， ∴.CD=BD+BC=62+2√2=82， ∴.CQ⊥PQ .OM=3CD=42, 在Rt△CPQ中，根据勾股定理得PQ2= 即OM的最大值为4V2 CP2-CQ,∴.当PC⊥AB时，线段PQ最短 又.∠MOA=45°， :在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2, .点M的坐标为(4,4). .AB 2BC 4,AC=23, 第13题答图 故答案为(4,4).真题天天练（下） 卷35专题阴影面积的计算及最值问题 题型一阴影面积计算 圆所形成的阴影部分的面积是 D 1.（月考·深圳外国语学校)如图，有一个半径 R 为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧 长均相等，过9点和11点的位置作一条线 段，则钟面中阴影部分的面积为( ) B 0 第5题图 第6题图 2 8号g 6.（模考·济南历下区二模)如图，已知扇形 C号-26 D.x- AOB的半径OA=2,∠AOB=120°，将扇 形AOB绕点A顺时针旋转30°得到扇形 AO'B',则图中阴影部分的面积是 1 7.(期末·武汉东湖高新区)如图，C,D是 以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB= 第1题图 第2题图 ∠DBA,连接BC,CD 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, (1)求证：CD∥AB. ∠CDB=30°，CD=2√3，则阴影部分的面 (2)若AB=4,∠ACD=30°，求阴影部分的 积为( 面积 A号 B.π c D.2π 0 3.(期末·北京朝阳区)如图，AB是半圆O的 第7题图 直径，将半圆O绕，点A逆时针旋转30°，点B 的对应点为B',若AB=8,则图中阴影部分 的面积是 4 第3题图 第4题图 4.(模考·沈阳七中)如图，扇形AOB的圆心 角∠AOB=60°，将扇形AOB沿射线AO平 移得到扇形A'OB,AB与OB交于点C.若 题型二 圆中的最值问题 OA=4√3，OC=OO',则阴影部分的面积：8.（期中·福州台江区）如图，AB是⊙O的 为 直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E, 5.如图，已知边长为4的正方形ABCD,分别以 OE=DE=2,点F是⊙O上一动点，连接 各边为直径作半圆，则这个正方形与四个半 CF,DF,点G是DF的中点，连接EG,当线 55 真题圈数学九年级12N 段EG取得最大值时，点G到弦CD的距离：13.（期末·广州黄埔区）如图，在Rt△ABC中， 是( ∠C=90°，∠A=30°，BC A B.2 =2,⊙C的半径为1，点P C.√2 D.1+√2 是斜边AB上的点，过点P Q 作⊙C的一条切线PQ(点 Q是切点)，则线段PQ的最 G 小值为 第13题图 E 题型三 隐形圆问题 第8题图 第9题图 14.(月考·人大附中)如图，四边形ABCD中， 9.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC AB=AC=AD,∠CBD=23°，则∠CAD =6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与 为() AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的 A.47° B.46° C.45° D.44° 动点，连接PQ,则PQ长的最大值与最小值 的差是( ) A.6 B.2W13+1 C.9 D.7 10.(期中·天津河北区)如图，⊙O A 第14题图 第15题图 的弦BC的长为8，点A是 15.(期中·天津和平区)如图，在四边形ABCD ⊙O上一动点，且∠BAC 中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5,AD =45°，点D,E分别是BC, =4,AD<BC,点E在线段BC上运动，点 AB的中点，则DE的最大值 第10题图 F在线段AE上，∠ADF=∠BAE,则线段 是 BF的最小值为 11.(期末·长沙望城区)如图，在平面直角坐 16.(期中·北师大实验中学)在矩形ABCD中， 标系中，点P是以C(-√2，√3)为圆心，1 AB=5,BC=3,点E是AB边上的一个 为半径的⊙C上的一个动点，已知A(-1, 动点，连接DE,∠DEB的平分线EF交CD 0),B(1,0),连接PA,PB,则PA+PB2的最 边于点F,若DG⊥EF于点G,连接AG, 小值是 BG,则AG+BG的最小值是 B 0 第11题图 第12题图 第16题图 第17题图 12.(期末·北京西城区)如图，AB是⊙O的直 17.（开学考·西安铁一中)如图，点A,B的坐 径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC,P为圆上 标分别为(6,0)，(0,6)，C为坐标平面内一点， 一动点，M为AP的中点，连接CM若⊙O BC=2N2,M为线段AC的中点，连接OM, 的半径为2，则CM长的最大值是 当OM取最大值时，点M的坐标为 56