卷27 二次函数与一元二次方程&卷28 专题二次函数图象上的最值问题-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

真题圈数学九年级12N 卷27二次函数与一元二次方程 建议用时：40分钟满分：30分 一、选择题（每小题3分，共12分） (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴 1.数据分析如表是一组二次函数y=x2+bx+c 总有两个交点 的自变量和函数值的关系，那么方程x2+bx+C (2)若该函数图象与y轴交于点(0,3)，求该 =0的一个近似根是( ) 函数的图象与x轴的交点坐标， x 1 2 3 4 y -3 -1 J 9 A.1.2 B.2.3 C.3.4 D.4.5 2.(期末·西安新城区)二次函数y=x2-2x+1 的图象与x轴的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 3.(期中·天津红桥区)关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为-1和 5,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的 对称轴是直线() 8.(6分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x A.x=-3B.x=-1C.x=2D.x=3 轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于 4.二次函数y=ar2+bx+c的图象如图，则 点C(0,3),其顶点为D,对称轴1与x轴交 ax2+bx+c+2=0的根的情 y 况是() 于点H A.无实根 (1)求抛物线的表达式 B.有两个不相等的实根 (2)若点P是该抛物线对称轴1上的一个动 C.有两个相等的实根 点，求PB+PC的最小值. D.有两个同号不等实根 第4题图 二、填空题（每小题3分，共6分） 5.(月考·广东实验中学)已 y 知二次函数y=-x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关 于x的一元二次方程-x+ 4 2x+m=0的解为 第8题图 第5题图 6.关于x的一元二次方 程-x2+x-n=0没有实数根，则抛物线y =-x2+x-n的顶点在第 象限 三、解答题（共12分） 7.(月考·合肥四十五中)(6分)已知二次函数 y=x2-（m+2)x+2m-1. 真题天天练（下） 卷28专题二次函数图象上的最值问题 1.(月考·西安高新一中)当-2≤x≤1时，4.（模考·重庆一中一模节选）在平面直角坐 二次函数y=-(x-m)2+5有最大值4，则实 标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过 数m的值为() 点A(-3,0),B(3,-3),与y轴交于点C,连 A.-3 B.-1或2 接AC,BC C.2或-3 D.2或-3或-1 (1)求抛物线的函数表达式 2.已知点A(2,4),B(0,1),点M在抛物线y= (2)如图，点P是线段AC上方抛物线上的一 各2上运动，则AM4BM的最小值为 个动点，过点P作PQ∥BC,交AC于点Q, 3.(月考·吉林省第二实验学校)已知函数y= 当线段PQ的长度取得最大值时，求点P的 x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3)， 坐标和PQ长度的最大值 (6,3) (1)求b,c的值； (2)当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值 之差 第4题图 45真题圈数学九年级12N 14.【解】(1)因为二次函数图象的顶点为P(-2,2), 7.【解】(1)根据题意，得绿化区的较短边为[30-(50-2x)]÷2= 所以设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+2. x-10(m),∴.y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1500. 将点A(0,-2)的坐标代入，得4a+2=-2,解得a=-1, (2)设投资费用为w元 所以该抛物线的表达式为y=-(x+2)2+2. 由题意，得w=50×(-4x2+40x+1500)+40×4x(x-10) (2)将x=1代人函数表达式，得y=-(1+2)2+2=-7≠-6， =-40x2+400x+75000=-40(x-5)2+76000, 所以点B不在此函数的图象上. 当w=72000时，解得x=-5(舍去)，x2=15. 15.解1(1)当b=-1时，y=+h+1=3x+1=x-1)24 .·a=-40<0,对称轴为直线x=5, ·该二次函数图象的对称轴为直线x=1,最小值为号 .当x≥15时，w≤72000. 又.4个出口宽度相同，其宽度不小于14m, (2)"y=3+bx+1, ∴.50-2x≥14，.x≤18，∴.15≤x≤18 ·抛物线的对称轴为直线x=二”=-b. 答：绿化区较长边x的取值范围为15≤x≤18. 8.【解】(1)当0≤t≤40时，设销售单价p(元/kg)与时间t(天) ①若x=-b≤0，即b≥0，则当0≤x≤2时，y随x的增大 之间的函数表达式为p=kt+b. 而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为1>-1，.b≥0； ②若0<-b<2,即-2<b<0,则当x=-b时，y有最小值，最小 将(0,30，(40,40)代人，得b=30, k=子 值为-b)24b(-b)+1=-号+1，令-号41≥-1，解 140k+b=40,b=30, 得-2≤b≤2，∴.-2<b<0; :p=4430 ③若x=-b≥2，即b≤-2，则当0≤x≤2时，y随x的增 当40<1<80时，p=40. 大而减小，.当x=2时，y有最小值，最小值为号×22+2b+1 综上所述，p={41 [1+300≤1≤40， =2b+3,令2b+3≥-1，解得b≥-2，.b=-2. 40(40<t<80). 综上所述，b的取值范围为b≥-2. (2)设日销售利润为w元. 当0≤t≤40时， 卷26二次函数的应用 w=p-25)y=(4+30-25-24120)=-2P4204600 1.D =-(t-20)2+800, 2 2.B【解析】设垂直于墙的材料长为xm,则平行于墙的材料长 :-2<0, 为28+2-3x=(30-3x)m,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+ ∴.当t=20时，w有最大值，最大值为800元. 30x=-3(x-5)2+75,∴.当x=5时，建成的饲养室总占地面积 当40<1<80时， 最大.故选B. w=(p-25)·y=15×(-2t+120)=-30t+1800, 3.B【解析】从图象上看，抛物线开口向上，有最低点，抛物线上 -30<0,.w<-30×40+1800,即w<600. 的点离对称轴越近，函数y的值就越小.·y,y>y2,B点离 综上可得，第20天的销售利润最大，最大日销售利润为800元. 对称轴最近，C点离对称轴最远，∴.x<x<x2故选B. 4.10 卷27二次函数与一元二次方程 5.6【解析】如图，建立平面直角坐标系.由题意，得C为抛物线顶 点且坐标为0,2)，A(-2,0),B(2 y 1.B2.B3.C 0).设抛物线的表达式为y= 4.B【解析】ax2+bx+c+2=0的解即函数y=ar2+bx+c+2的图 ax2+2,将B(2,0)的坐标代入，得0 象与x轴的交点的横坐标.由题图可知，函数y=ax2+bx+c的 =4a+2,即a=-),抛物线的 图象向上平移2个单位长度后与x轴有2个不同的交点，∴.函 数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴有2个不同的交点，.方程 表达式为y=-+2当水面宽 4m ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实根.故选B. 度为45，即当x=25时y= 第5题答图 5.x1=4,x2=-2 ×（2√3)2+2=-4，.水面下降的高度为4m,.拱顶离水面 6.四【解析】：关于x的一元二次方程-x2+x-n=0无实数根， 6m.故答案为6. 4=1+4x(-n)<0,.m>1 ·抛物线y=2+-n的对 6.【解】(1)抛物线的顶点坐标为(0,3.5)， 12,1 .可设抛物线的函数表达式为y=ax2+3.5. 称缩为直线x=y=一（+n=：心学 点(1.5,3.05)在抛物线上， ∴}-n<0,…顶点在第四象限.故答案为四 ∴.将它的坐标代入上式，得3.05=1.52a+3.5, 7.(1)【证明】令y=0,则x2-(m+2)x+2m-1=0, .a=-0.2,.y=-0.2x2+3.5 .∴.4=[-(m+2)]2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4. (2)设这次跳投时，球出手点离地面hm (m-2)2≥0，.>0， .y=-0.2x2+3.5, .当x=-2.5时，h=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25 .方程总有两个不相等的实数根， ∴.这次跳投时，球出手点离地面2.25m ○∴.不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点. 答案与解析 (2)【解】：函数的图象与y轴交于点(0,3)， 如图，过点P作PH⊥x轴，交AC于点H,过点B作BI∥AC, .2m-1=3,.m=2,.抛物线的表达式为y=x2-4x+3. 交y轴于点1 当y=0时，x2-4x+3=0,.x=3,x2=1, 设直线BI的函数表达式为y=+i,将 ∴.该函数的图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(1,0). B(3,-3)的坐标代入，得3+i=-3,解得 8.【解】(1)把A(-3,0),B(1,0),C(0,3)的坐标代入表达式，得 i=-6,.直线B1的函数表达式为y=x-6, 9a-3b+c=0, a=-1, ∴.I(0,-6),.C1=9. {a+b+c=0,解得{b=-2,∴.抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. :PQ∥BC,BI∥AC,∴.∠PHQ=∠HCI c=3, c=3, =∠CIB,∠PQH+∠PQC=∠CBI+∠ACB (2)如图所示， =180°，∠ACB=∠PQC, 点A,B关于对称轴I对称，·PA=PB ∴.∠PQH=∠CBI,.△PQH∽△CBI, 第4题答图 连接AC交1于点P,则点P为所求的点， ÷器-器-5-90-5pm 此时PB+PC=PA+PC=AC ∴.当PH取得最大值时，PQ也取得最大值， A(-3,0),C(0,3),.0A=3,0C=3, 设P-+3水-3<0，则H,43) .AC=V32+32=3V2. 第8题答图 .PB+PC的最小值为3√2 PH=-号43-3=r=++ ∴当1= 多时，PH取得最大值号 8 卷28专题二次函数图象上的最值问题 1.C【解析】二次函数图象的对称轴为直线x=m,①当m<-2 六点P的坐标为3，》，PQ长度的最大值为×号-35 3 8=8 时，x=-2时取得最大值，.-（-2-m)2+5=4,解得m=-3; ②当-2≤m≤1时，x=m时取得最大值，最大值为5，不合 卷29专题 二次函数图象与几何综合 题意；③当m>1时，x=1时取得最大值，.-(1-m)245=4, 1.C【解析】把A(-3,0)的坐标代人y=x2+mx-6,得9-3m-6= 解得m=2.综上所述，实数m的值为2或-3.故选C 0,解得m=1,.抛物线的表达式为y=x2+x-6.当y=0时， 2.5【解析]设点Mm,m x2+x-6=0,解得x=-3,x2=2,B(2,0).当x=0时，y=-6, ÷C(0,6.△ABC的面积S=方×(2+3)x6=15.故选C 则点M到x轴的距离为好m, 2.8【解析函数y=号2与y=-方2的图象关于x轴对称。 BM=m-02+m2-1 ∴.题图中的阴影部分的面积是题图中正方形面积的一半，而边 长为4的正方形面积为16，∴.题图中的阴影部分的面积是8.故 =m+1, 答案为8 B ,点M到点B的距离与点 3【解11)把A(0,2),C(4,0)的坐标代入y=-寻+bx+c,得 M到直线y=-1的距离相等. 第2题答图 c=2, :点A的横坐标为2，.点M为直线x=2与抛物线的交点， 解得= -4+4b+c=0 如图，设直线x=2与直线y=-1的交点为B(2,-1),∴.AB c=2, 为AM+BM的最小值，AB=4-(-1)=5,故答案为5. ·抛物线的表达式为y=-寻4)+2 3.【解】(1)函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3)， (2)如图①，过点M作MK∥y轴，交AC于点K .c=3,.y=x2+bx+3. 将点(6,3)代入可得，3=6+6b+3,解得b=-6, 设Mm,-4m2+m+20<m<4),△ACM的面积为S .b=-6,c=3. 由A(0,2),C(4,0),得直线AC的表达式为y=-号x+2, (2)y=x2-6x+3=(x-3)2-6,:0≤x≤4， .当x=3时，y取得最小值，此时y=-6; Km-2m+2月 当x=0时，y取得最大值，此时y=(0-3)2-6=3. :3-(6)=9,.当0≤x≤4时，y的最大值与最小值之差为9. KM=(m+m+2-(m+2=-m4m, 4.【解】(1)把点A(-3,0),B(3,-3)的坐标代入y=a2+bx+3中， s=Kkex=×（2+m×4=-m+2m 得9a+3b+3=-3, 得{ 2(m-2)2+2 9a-3b+3=0, :-号<0,0<m<4,当m=2时，S取最大值2，此时M(2,2), ·抛物线的函数表达式为y=-方2x+3 ∴.△ACM面积的最大值是2，此时点M的坐标为(2,2). (2):抛物线y=-方-方x43与y轴交于点C,C(0,3)。 点A(-3,0),B(3,-3),BC=V32+62=3√5 设直线AC的函数表达式为y=+d. 将A-3,0,c(0,3)的坐标代入，得3+d=0,解得 d=3, d=3, .直线AC的函数表达式为y=x+3. 17 第3题答图