第3章 概率的进一步认识-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

真题圈数学九年级12N 第三章 概率的进一步认识 卷8用树状图或表格求概率 建议用时：20分钟满分：25分 一、选择题（每小题3分，共12分） 赢；若出现一个正面向上和两个反面向上， 1.传统文化“二十四节气”是中华农耕文明与 则小文赢.下面说法正确的是( 天文学智慧的结晶.小明购买了“二十四节 A.三人赢的概率都相等 气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分” B.小文赢的概率最小 三张邮票中的两张送给好朋友小亮.小明将 C.小亮赢的概率最小 它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相 D.小强赢的概率最小 同)，让小亮从中随机抽取一张（不放回），再 二、填空题（每小题3分，共6分） 从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票 恰好是“立春”和“秋分”的概率是( 5.如果有两位同学随机坐到编号1、2、3、4的座 A君 B司 c D 位上，那么这两位同学座位上编号之积为偶 数的概率是 2.情境题如图，某展览大厅 出口A 出口B 6.（期中·沈阳铁西区)甲、乙两人玩游戏，把 有2个人口和2个出口， 展览大厅 一个均匀的小正方体的每个面上分别标上 参观者可从任意一个入口 数字1,2,3,4,5,6，任意掷出小正方体后， 进入，参观结束后可从任 入口1 入口2 若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数 意一个出口离开.小明从 第2题图 字比3小，则乙胜.这个游戏对甲、乙双方 入口1进入并从出口B离开的概率是( (填“公平”或“不公平”). A方 B c D 三、解答题（共7分） 3.如图，甲、乙两人一起玩转盘游戏，将两个转 盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲 :7.情境题一次圆桌会议设有4个座位，主持 胜，否则乙胜，这个游戏( 人坐在了如图所示的座位上，嘉宾甲、乙、丁 3人等可能地坐到余下的3个座位上，请用 所学的概率知识求嘉宾甲与乙相邻而坐的 概率. 主持人 第3题图 A.公平 B.对甲有利 ①▣ ▣③ C.对乙有利 D.公平性不可预测 ② 4.小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏.三 第7题图 人同时各投出一枚质地均匀硬币，若出现三 个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若 出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮 14 真题天天练（上） 卷9用频率估计概率 建议用时：20分钟满分：20分 一、选择题（每小题3分，共9分） 投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频 1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的 率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则 是() 区域的面积是 m2. A.频率等于概率 5.在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球 B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 共60个，它们除颜色外其他都相同.小明 C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 从中任意摸出一个球，查看颜色后放回并摇 D.试验得到的频率与概率不可能相等 匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑 2.从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬 球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估计 币，重复次数很大时，落下后正面朝上的频 布袋中白球的个数是 率最有可能接近的数值是( 三、解答题（共5分） A.0.81B.0.52 C.1.50D.1.01 3.(期末·重庆渝中区)数学课上，李老师与学 6.情境题小南发现操场中有一个不规则的封 生们做“用频率估计概率”的试验：不透明 闭图形ABC(如图)，为了计算它的面积，他 袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这 在封闭图形ABC内画了一个半径为2m的 些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取 圆，在不远处向封闭图形ABC内掷石子，若 出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所 石子落在封闭图形ABC外部，则重掷.记 示，则该球的颜色最有可能是() 录结果如下： 忄频率 石子落在圆内 0.30 14 43 93 150 (含圆上)的次数 0.25 0.20 石子落在阴影 0.15 19 85 186 300 0.10 部分的次数 0.05 根据以上数据，小南得到了封闭图形ABC的 01234567次数（百次） 面积. 第3题图 A.黑色 B.黄色 C.红色 请根据以上信息，回答下列问题： D.白色 (1)估计石子落在阴影部分的概率： 二、填空题（每小题3分，共6分） (2)估计封闭图形ABC的面积，并写出推理 4.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中 过程. 的阴影部分)的面积，画一个边长为3m的 正方形，使不规则区域落在 正方形内，现向正方形内随 机投掷小石子（假设小石子 落在正方形内每一点都是 第6题图 等可能的)，经过大量重复 第4题图 15真题圈数学九年级12N .x1=-2+V2,x2=-2-√2 由根与系数的关系可知3+√2+m=6,解得m=3-√2. (3)x(x-2)=2-x,.(x-2)(x+1)=0, ∴.k=(3+2)×(3-√2)=7. .x-2=0或x41=0,x1=2,x2=-1. .k的值为7，方程的另一个根为3-√2 (4)将原方程化为一般式，得8x2+10x-3=0. (3)-11 a=8,b=10,c=-3, 分析：：x,x2是这个方程的两个根，x+x2=6,xx2=飞 .b2-4ac=100-4×8×(-3)=196>0, x+x3+3xx2=25,.(x,+x2)2+xx2=25,∴.6+k=25, “x=10含6，==-3 解得k=-11.故答案为-11. 16 14.【解】(1)换元换元 (2)令a=x,则原方程可化为d2-a-12=0, 卷7应用一元二次方程 解得a=-3或a=4, 1.B2.A3.B x2=-3(舍去)或x2=4, 4.B【解析】设每个支干长出的小分支个数是x. 解得x,=2,x2=-2. 由题意得1+x+x2=73,即x2+x-72=0, 故原方程的解是x1=2,x2=-2. ∴.(x+9)(x-8)=0,解得x,=8,x2=-9(舍去)， 15.【解(1)将x=-1,n=1代入原方程，得(-1)2-m+12+4=0, ∴.每个支干长出8个小分支，故选B 5.x(x-1)=182 解得m=6. 6.20【解析】设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70- (2)当m=4时，原方程为x2+4x+2+4=0, 2x+2=（72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)=640,化简，得x2- .4=42-4×1×(m2+4)=-42. 36x+320=0,解得x1=16,x2=20.当AB=16m时，BC= 当n=0时，4=-4n2=0,此时原方程有两个相等的实数根； 72-2×16=40(m)>35(m),不符合题意，舍去；当AB=20m时， 当n≠0时，4=-4<0，此时原方程无解 BC=72-2×20=32(m)<35(m,符合题意，.当羊圈的边AB 为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈.故答案为20. 卷6一元二次方程的根与系数的关系 7.【解】设1s时，△PBQ的面积等于4cm2,则(5-)×2t=4, 1.C2.C 整理，得-544=0，解得1=1，专2=4（舍去）. 3.D【解析】x2-√2x-1=0的两个实数根分别是x,x2, 答：如果P,Q两点同时出发，那么1s时，△PBQ的面积等于 =V2x+l,x+x2=V2,.x+2x2=V2x+1+V2x2= 4cm2. √2(x+x)+1=2+1=3.故选D. 4.A【解析】根据题意，得3+4=-b,1×2=c,解得b=-7,c 第三章概率的进一步认识 =2,∴.原来的方程为x2-7x+2=0.故选A 卷8用树状图或表格求概率 5.D【解析】，m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根， 1.C2.C3.A .∴.m2+2m-1=0,m+n=-2,mn=-1,.m2=-2m+1, ：m+m2m-mm=mm+m-(-1）=-2m+)x-2+1= 4.D【解析】画树状图如图 2m-1 2m-1 2m-1 开始 2+1=3.故选D. 小强 6.D【解析】由方程a2+bx+c=0有两个不相等的实根x,x2,可 得a≠0，=-台6=后“5=243%=名2 小亮 正 反 =台2（名八-台袋理得ae=2以，则69c=-沙46 小文正反正反正反正反 第4题答图 =-2(b2-2b)=-2(b-1)2+2,故4b-9ac的最大值为2.故选D. 共有8种等可能的结果，出现三个正面向上或三个反面向上的 结果有2种，出现两个正面向上和一个反面向上的结果有3种， 7.-2023 8.2023【解析】：x,x2是一元二次方程x2+x-2024=0的两 出现一个正面向上和两个反面向上的结果有3种，则P(小强赢) 个根，∴.x+x2=-1,且x+x-2024=0,则x+x=2024, -专-P(小亮赢)P(小文赢)居则小强羸的概率最 .+2x+x2=x2+x+x+x2=2024+(-1)=2023. 小，小亮和小文赢的概率相等.故正确的答案只有D.故选D 故答案为2023. 5名6.不公平 9.1 7.【解】画树状图如图 10.-1【解析】.方程x2+(m2-1)x+1+m=0的两根互为相反数， 开始 .1-m2=0,解得m=1或m=-1.把m=1代入原方程， 分 ① ② ⊙ 得x2+2=0,该方程无解，.m=1不合题意，舍去；把m=-1 代人原方程，得x2=0,解得x=x2=0,符合题意，∴.m=-1. 乙②③①③①② 故答案为-1 丁③②③①②① 11.【解(1)：方程有两个不相等的实数根， 第7题答图 ∴.(-6)24k>0,解得k<9,故k的取值范围是k<9. 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种， (2)令方程的另一个根为m, 0 ·嘉宾甲与乙相邻而坐的概率为=子 96=31 答案与解析 卷9用频率估计概率 故图中的相似三角形有4对.故选D. 1.B2B3B4? 5.24 6.C【解析】，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥DC,AB=DC,∴.∠DEF=∠BAF,∠EDF=∠ABF 6解11)号 .△DFE∽△BFA,DF:BF=DE:AB.DE=2CE, (2)设封闭图形ABC的面积为a. ∴.DE:DC=2:3,∴DE:AB=2:3,.DF:BF=2:3, :小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， ∴.DF:BD=2:5.故选C ÷径=分，解得a=12,则估计封闭图形ABC的面积为12元 7.D【解析】.△ABC为等边三角形，.∠B=∠C=60°，AC =BC=AB=4.CD=1,∴BD=BC-CD=3.∠ADC 第四章图形的相似 =∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,∠ADE=60°，∴.∠CDE= ∠BAD,∴.△ABD∽△DCE,∴BA:CD=BD:CE,即4：1 卷10成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形 =3:CE,CE=},AB=AC-CE=4-寻-号故选D. 1.B2.D 8.C【解析】：在平行四边形ABCD中，∴.AD=BC,AB=CD, 3.D【解析)设号-号=异=，则a=2k,b=3k,c=4k:a+ AD∥BC,易证△ECF∽△EDA.,AD=3CF,∴.FC:FB=1:4, c=6,.2k+4k=6,即6k=6,.k=1,.a-b=2k-3k=2- 故A错误；CE:CD=1:4,故B错误；CE:AB=1:4,故C正 3=-1.故选D 确；AE:AF=3:4.故D错误.故选C. 4.B 9.2【解析】如图，①作∠ADF'=∠C; 5.C【解析】：直线l∥5∥，且DE:EF=2:3,织= BC ②作DF∥BC.因此共有2种作法.故 =-号小瓷=骨C=号×15=9故选C 答案为2. D/= 6.167.3 10.号【解析由题意可知，BC=1,4D 8.12【解析]名-号-异设a=6,b=5x,c=4x =2,AC=V32+42=5,BC∥AD,易 B ,a+b-2c=6,∴.6x+5x-8x=6,解得x=2,故a=12. 证△0c△0D1,6=8 第9题答图 故答案为12. “540=号放答案为号 3 9.2√2【解析】：矩形ECDF与原矩形ABCD相似， .FD-DC DC=笳·：一张矩形纸片ABCD的长BC=x,宽AB= 11.4【解析】：点G是△ABC的重心，.AD为中线，AG= 2GD,BD=CD=号BC=6:GE∥BC,易证△AGE CD=2,沿EF将矩形纸片ABCD剪成大小相同的两个小矩形， △ADC,.AG:AD=GE:DC,即GE:6=2:3,.GE=4. &FD=2,“号-2解得x=2(负数不合题意，已舍 故答案为4. 去)，故答案为2W2. 12.多【解析】：四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边 10.【解】△ABC是直角三角形.理由如下： 形，.BC=AD=CE,AC∥DE,易证△BCP∽△BER, 设-6-告3= △PCQ∽△RDQ,.PB=PR,PC:RE=1:2. 3 4 又，点R是DE中点，.DR=RE,PQ:QR=PC:DR= ∴.a=3k-1,b=4k+4,c=8k-3. a+b+c=30,∴.3k-1+4k+4+8k-3=30, PC:RE=1:2,∴.QR=2PQ.又BP=PR=PQ+QR= 解得k=2,∴.a=5,b=12,c=13. 3PQ,8服=号故答案为号 .a2+b2=c2,∴.△ABC是直角三角形 13.【证明】四边形ABCD为矩形，.∠BAD=∠D=90°， .∠DAE+∠BAE=90°. 卷11相似三角形的判定 :BF⊥AE于点F,∴∠AFB=∠D=90°， 1.D ∴.∠ABF+∠BAE=90°， 2.C【解析】如图，CD∥AB, .∠DAE=∠ABF,∴.△ABF∽△EAD ∴.∠DCE=∠BAE,∠CDE=∠ABE, 14.【解】.AE=2,BE=4, .△CDE∽△ABE, ∴.AB=AE+BE=2+4=6 ÷=品==2 BD,CE分别是AC,AB边上的高， 六雕=号5a-号×号×4×4 .∠ADB=∠AEC=90° =号故选C 第2题答图 :∠A=∠A,△MD8n△ABC,是= 3.A4.C 又∠A=∠A,∴.△AED∽△ACB, 5.D【解析l①，∠A=∠A,∠1=∠3，.△ADE∽△ABC “器-0即器-= ②：∠3=∠2，∠A=∠A,.△ABC∽△ACD. 15.(1)【证明】，CD是边AB上的高，.∠ADC=90°. ③：∠A=∠A,∠1=∠2，∴.△ADE∽△ACD. ∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB. ④∠1=∠3，∴DE∥BC,.∠BCD=∠CDE. :∠A=∠A,.△ACD∽△ABC. 又∠3=∠2，.△BCD∽△CDE 2【解：△4CDn△ABc,∴治=把