3.1用树状图或表格求概率（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

3.1用树状图或表格求概率（六大题型提分练） 类型一、列举法求概率 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）现把分别写有“我”“爱”“武”“汉”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的盒子并密封起来，随机打乱盒子的顺序，然后在四个盒子的外边也分别写上“我”“爱”“武”“汉”四个字，打开盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况按字的相同个数分等级发放奖品，那么中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）． (1)小丽第一次转到一等奖的概率是 ； (2)求小丽两次都转到一等奖的概率． 3．（2024·湖北宜昌·二模）已知：甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球比赛． (1)若四位选手进行单循环（即每位选手与其他选手打一场比赛）单打比赛，一共要打多少场比赛； (2)若四位选手进行双打比赛，求甲、乙两位同学配对的概率． 类型二、树状图法求概率 4．（2024·四川成都·模拟预测）成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片卡片除图案外都相同各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江西南昌·模拟预测）2024年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市（哈尔滨，南昌，三亚），为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市名字写在颜色、大小和厚度都一样的卡片上，洗匀然后反扑在桌面上，小明先从中抽一张卡片后放回，然后小红又从中抽取一张卡片； (1)小明抽到写有“南昌”的卡片是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 (2)请用列表或树状图的方法，求出小明和小红都抽中“哈尔滨”城市卡片的概率． 6．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）西安是中华文明的重要发祥地，其饮食文化也十分丰富多彩．某校要举行“我为家乡美食代言”的宣讲活动，主要介绍西安的特色美食，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．羊肉泡馍；B．面；C．肉夹馍；D．凉皮．参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小乐和小阳都参加了这项活动． (1)小乐抽中“C．肉夹馍”主题的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小乐和小阳抽中不同主题的概率． 类型三、列表法求概率 7．（2024·浙江·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东青岛·模拟预测）在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． (1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ． (2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 9．（2024·江苏盐城·二模）暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩． (1)小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为 ； (2)小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率． 类型四、游戏的公平性 10．（2024·山东青岛·模拟预测）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字之积为3的倍数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．这个游戏对公平吗？请说明理由． 11．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子中装有2个白球和1个红球，乙袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是 ； (2)小明和小亮两人将甲、乙两个袋子中的球混合在一起，摸出白球小明获胜，摸出红球小亮获胜，这个游戏公平吗，说明理由． 12．（22-23九年级上·山东青岛·期末）小明、小亮做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小亮赢；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明赢；在其它情况下，则小明、小亮不分胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 类型五、概率在转盘抽奖中的应用 13．（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 14．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 15．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 类型六、概率在比赛中的应用 16．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 17．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 18．（2020·新疆·二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 一、单选题 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．其中等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取2人进行经验分享，则恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·河南周口·模拟预测）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小豫为了深入了解“二十四节气”，购买了若干张“二十四节气”主题邮票，他将2张“立春”和2张“立夏”背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回）．再从中随机抽取一张，则小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·广东深圳·三模）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是 5．（2024九年级上·河北·专题练习）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 6．（2024·四川成都·模拟预测）2024龙年春晚的节目精彩纷呈，特别是刘谦的纸牌魔术惊艳全场，魔术的背后其实是一个巧妙的数学原理．先选择不同点数的2张扑克牌，将扑克牌对折剪开，任意打乱，然后同一方向摞在一起，随机抽取两张，则这两张牌恰好可以拼成一张完整扑克牌的概率是 ． 三、解答题 7．（23-24九年级上·福建南平·期末）某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动．班主任张老师决定从4名女生（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加． 抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ． (2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率． 8．（22-23七年级下·四川达州·期末）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 9．（2024·福建泉州·模拟预测）今年“五一”假期，泉州以“青春律动”为主题，策划“来泉州·松弛一夏”系列活动及惠民措施300多项，文旅消费潜力不断释放，逛世遗、游古城、品美食、赏南戏、戴簪花、购国潮成为假日热点，泉州成为全省最热门旅游地．文旅局对本次“五一”假期选择蟳埔村、晋江五店市、石狮洛迦寺、西街开元寺（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的游客有_______人； (2)扇形统计图中，A所占百分比为_________，C所在扇形的圆心角的度数为______； (3)若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他有一个景区恰好选择A的概率． 10．（2024·江苏连云港·模拟预测）班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下． (1)第一个摘下D灯笼的概率是 ； (2)求第二个摘下A灯笼的概率． 11．（2024·山东青岛·模拟预测）将一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b． (1)求点落在直线上的概率； (2)求以点，，为顶点能构成等腰三角形的概率． 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是，，卡片除了实数不同外，其余均相同 (1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率． (2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1用树状图或表格求概率（六大题型提分练） 类型一、列举法求概率 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）现把分别写有“我”“爱”“武”“汉”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的盒子并密封起来，随机打乱盒子的顺序，然后在四个盒子的外边也分别写上“我”“爱”“武”“汉”四个字，打开盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况按字的相同个数分等级发放奖品，那么中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列举法求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意得出总的情况数和失败的情况数，即可得出至少有一个盒子与里面的卡片上写的字相同的情况数，再利用概率公式即可计算出中奖概率． 【详解】解：设“我”、“爱”、“武”、“汉“四个字对应的字母为、、、，则所有的可能性为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，则都不相同的可能有：、、、、、、、、，故嘉宾中奖的概率为：． 故选：C． 2．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）． (1)小丽第一次转到一等奖的概率是 ； (2)求小丽两次都转到一等奖的概率． 【答案】(1) (2)小丽两次都转到一等奖的概率为． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． （）用除以即可求解； （）利用列举法求出总的结果数和小丽转两次转盘的结果数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：小丽第一次转到一等奖的概率是； 故答案为：； （2）解：将一等奖区域记为A，二等奖区域平均划分为两个区域，分别记为B，C． 小丽转两次转盘的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B），（C，C）共有9种结果，它们出现的可能性相同． 满足两次一等奖的结果有1种，即（A，A），所以小丽两次都转到一等奖的概率为． 3．（2024·湖北宜昌·二模）已知：甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球比赛． (1)若四位选手进行单循环（即每位选手与其他选手打一场比赛）单打比赛，一共要打多少场比赛； (2)若四位选手进行双打比赛，求甲、乙两位同学配对的概率． 【答案】(1)一共要打6场比赛 (2) 【分析】本题主要考查列举法求概率： （1）运用列举法列出所有情况即可； （2）运用列举法列出所有配对情况，再根据概率公式求解即可 【详解】（1）解：四位选手进行单循环比赛的情况为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6种情况； 所以，一共要打6场比赛 （2）解：甲、乙、丙、丁4位同学共有6种配对情况：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），其中甲、乙两位同学配对的有1种， 所以，甲、乙两位同学配对的概率． 类型二、树状图法求概率 4．（2024·四川成都·模拟预测）成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片卡片除图案外都相同各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片分别为A、B、C、D， 画树状图如图：    由图知，一共有16种等可能的结果，其中抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”有2种， ∴抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率为， 故选：A． 5．（2024·江西南昌·模拟预测）2024年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市（哈尔滨，南昌，三亚），为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市名字写在颜色、大小和厚度都一样的卡片上，洗匀然后反扑在桌面上，小明先从中抽一张卡片后放回，然后小红又从中抽取一张卡片； (1)小明抽到写有“南昌”的卡片是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 (2)请用列表或树状图的方法，求出小明和小红都抽中“哈尔滨”城市卡片的概率． 【答案】(1)B； (2)． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率， （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可； （2）分别使用树状图法或列表法将小明和小红抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次抽中A城市“哈尔滨”卡片的抽取结果，即可算出概率． 【详解】（1）解：从三张卡片中抽取一张卡片，抽到写有“南昌”的卡片是随机事件，故选B． （2）三个旅游城市哈尔滨，南昌，三亚分别记为A、B、C，根据题意，画出树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中满足小明和小红都抽中A城市“哈尔滨”卡片的结果有1种， 所以，小明和小红都抽中A城市“哈尔滨”卡片的概率为． 6．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）西安是中华文明的重要发祥地，其饮食文化也十分丰富多彩．某校要举行“我为家乡美食代言”的宣讲活动，主要介绍西安的特色美食，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．羊肉泡馍；B．面；C．肉夹馍；D．凉皮．参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小乐和小阳都参加了这项活动． (1)小乐抽中“C．肉夹馍”主题的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小乐和小阳抽中不同主题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小乐和小阳抽中不同主题的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共有：A．羊肉泡馍；B．面；C．肉夹馍；D．凉皮4个主题， ∴小乐抽中“C．肉夹馍”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小乐和小阳抽中不同主题的结果有12种， ∴所求概率为． 类型三、列表法求概率 7．（2024·浙江·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与2个球颜色相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 白 白 黄 红 （红，红） （白，红） （白，红） （黄，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （黄，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （黄，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （黄，白） 黄 （红，黄） （红，黄） （白，黄） （白，黄） 共有20种等可能的结果，2个球都摸到颜色相同的有4种情况， 两次都摸到红球的概率为， 故选：C． 8．（2024·山东青岛·模拟预测）在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． (1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ． (2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 【答案】(1)随机， (2)此游戏对三人是公平的 【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）根据题意在表格内列举出所有情形，找出所有等可能的情况数，得出投掷两次，底面数字和为5的情况即可求解； （2）根据题意列出表格，分别求出三人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否． 【详解】（1）解：投掷1次，底面数字出现3是随机事件； 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 从上表可知，共有12种等可能的情况，投掷两次，底面数字和为5的情况有4种， 故投掷两次，底面数字和为5的概率为， 故答案为：随机，； （2）由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为， 故此游戏对三人是公平的． 9．（2024·江苏盐城·二模）暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩． (1)小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为 ； (2)小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或画树状图进行概率的计算，列出所有的可能是求解的关键． （1）根据概率的定义即可求解； （2）用列表法列出所有可能的组合，然后根据概率的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好是珠溪古镇的结果有1种， ∴小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为； （2）解：将大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的结果有：，，共2种， ∴选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率为． 类型四、游戏的公平性 10．（2024·山东青岛·模拟预测）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字之积为3的倍数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．这个游戏对公平吗？请说明理由． 【答案】公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，列表法或画树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有赢的机会，本题中即小明先挑选或小亮先挑选的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可列表如下： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 / 2 / 3 / 4 / 从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有6种， ∴； 则这个游戏公平． 11．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子中装有2个白球和1个红球，乙袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是 ； (2)小明和小亮两人将甲、乙两个袋子中的球混合在一起，摸出白球小明获胜，摸出红球小亮获胜，这个游戏公平吗，说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性： （1）用红球数除以球的总数即可得到答案 ； （2）依据概率计算公式分别求出摸出红球和摸出白球的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵甲袋子中装有2个白球和1个红球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 由题意得，摸出红球的概率为， 摸出红球的概率为， ∵， ∴小明获胜的概率大于小亮获胜的概率， ∴这个游戏不公平． 12．（22-23九年级上·山东青岛·期末）小明、小亮做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小亮赢；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明赢；在其它情况下，则小明、小亮不分胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析 【分析】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与配成紫色与配成绿色的情况，然后利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知游戏对双方是否公平． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，配成紫色的有3种情况，配成绿色的有2种情况， ∴P（小亮），P（小明）， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 类型五、概率在转盘抽奖中的应用 13．（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 14．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 15．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 类型六、概率在比赛中的应用 16．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 17．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 18．（2020·新疆·二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析 【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算； （2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“． 【详解】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为， 所以建议小新在第二题使用“求助卡” 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 一、单选题 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．其中等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取2人进行经验分享，则恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要利用列表法或树状图求概率，运用列表法列出所有等可等结果，然后找出符合提议的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男1，男2 / 男2，女1 男2，女2 女1 男1，女1 男2，女1 / 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 / 从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取人进行经验分享，共有种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有种情况， 所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为． 故选D． 2．（2024·河南周口·模拟预测）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小豫为了深入了解“二十四节气”，购买了若干张“二十四节气”主题邮票，他将2张“立春”和2张“立夏”背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回）．再从中随机抽取一张，则小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，理解题意，画出相应的树状图是解题的关键．根据题意，可以画出相应的树状图，求得所有可能得结果数，以及抽到的两张邮票恰好不同的情况数，由于是等可能性，从而可以得到小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率． 【详解】解：设“立春”用表示，“立夏”用表示，画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能结果， 其中小豫抽到的两张邮票恰好不同的情况有8种， 小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率为． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查几何概率的知识，根据阴影部分面积占正六边形面积的比例得出概率是解题的关键，将对角线和的中点连接，设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为，利用几何概率即可求得答案． 【详解】解：作如图所示连接， 设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为， 那么，一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是． 故选∶D． 4．（2024·广东深圳·三模）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先列表求出所有等可能结果数和两人选择每个项目一样的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 200米 800米 200米 （200米，200米） （200米，800米） 1000米 （1000米，200米） （1000米，800米） 共有4种等可能的结果，其中小明、小花所选的必考项目不同的结果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3种， ∴小明、小花所选的必考项目不同的概率为． 故答案为：． 5．（2024九年级上·河北·专题练习）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 【答案】 方案2 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）先列表得到方案1的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：（1）方案1所有情况如下表： ① ② 从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为通路的有1种， 所以该电路为通路的概率为； 故答案为：， （2）方案2更稳定可靠，理由如下： 由（1）得，方案1中电路系统正常工作的概率为， 方案2中从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案2中电路系统正常工作的概率为 方案2更稳定可靠． 故答案为：方案2． 6．（2024·四川成都·模拟预测）2024龙年春晚的节目精彩纷呈，特别是刘谦的纸牌魔术惊艳全场，魔术的背后其实是一个巧妙的数学原理．先选择不同点数的2张扑克牌，将扑克牌对折剪开，任意打乱，然后同一方向摞在一起，随机抽取两张，则这两张牌恰好可以拼成一张完整扑克牌的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据题意画出树状图即可求出概率． 【详解】解：将扑克牌对折剪开，分别记为， 其中可以拼成一张完整扑克牌，可以拼成一张完整扑克牌， 共有种结果，符合条件的由种， 故． 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24九年级上·福建南平·期末）某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动．班主任张老师决定从4名女生（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加． 抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ． (2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率． 【答案】(1)不可能；随机； (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件； 树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比. （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可. 【详解】（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 故答案为：不可能；随机； （2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为, 列表如下: A B C D A —— (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) —— (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) —— (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) —— 由表可知，共有种等可能结果，其中小惠被抽中的有种结果， 所以小惠被抽中的概率为 8．（22-23七年级下·四川达州·期末）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1) (2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． （1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答； （2）利用（1）中求法得出答案即可． 【详解】（1）解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是， 所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于． 故答案为：． （2）解：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，则阴影区域的小正三角形的数量为个， 即还要涂黑2个小正三角形， 如图所示（答案不唯一）： 9．（2024·福建泉州·模拟预测）今年“五一”假期，泉州以“青春律动”为主题，策划“来泉州·松弛一夏”系列活动及惠民措施300多项，文旅消费潜力不断释放，逛世遗、游古城、品美食、赏南戏、戴簪花、购国潮成为假日热点，泉州成为全省最热门旅游地．文旅局对本次“五一”假期选择蟳埔村、晋江五店市、石狮洛迦寺、西街开元寺（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的游客有_______人； (2)扇形统计图中，A所占百分比为_________，C所在扇形的圆心角的度数为______； (3)若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他有一个景区恰好选择A的概率． 【答案】(1)600 (2)，． (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键． （1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数； （2）用A景区的人数除以总人数即可A所占百分比，用乘以C景区人数的占比即可求出C所在扇形的圆心角的度数． （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后得出他有一个景区恰好选择A的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：人 本次参加抽样调查的游客有600人． 故答案为：600． （2）扇形统计图中，A所占百分比为∶ C所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：，． （3）画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他选择的景区恰好选择A景区的有6种， ∴游客随机选择四个景区中的两个，有一个景区恰好选择A的概率为． 10．（2024·江苏连云港·模拟预测）班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下． (1)第一个摘下D灯笼的概率是 ； (2)求第二个摘下A灯笼的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键，用到的知识点为：概率． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解： 第一次摘只能先从和中选择任意一个， 第一个摘下灯笼的概率是； 故答案为：； （2）解：由题意，画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种， 第二个摘下灯笼的概率为． 11．（2024·山东青岛·模拟预测）将一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b． (1)求点落在直线上的概率； (2)求以点，，为顶点能构成等腰三角形的概率． 【答案】(1)点落在直线上的概率为 (2)能构成等腰三角形的概率为 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，等腰三角形的定义，判断点是否在一次函数上，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）列表得到的所有情况，找到落在落在直线的点即可； （2）试验发生包含的事件数36种结果，而满足条件的事件是以点，，为顶点能构成等腰三角形，可以通过列举得到事件数，根据概率公式得到结果． 【详解】（1）解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∵落在直线上的点有、、三个， ∴点落在直线上的概率为； （2）试验发生包含的事件数36种结果， 由图可知，满足条件的事件是以点、、为顶点能构成等腰三角形的有点与，，，共有4种结果，故能构成等腰三角形的概率为． 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是，，卡片除了实数不同外，其余均相同 (1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率． (2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率，画出相应的树状图． （1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为4，，，直接利用概率公式求解即可求得答案． （2）根据题意画出树状图或列表，然后由图表即可求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：抽出一张卡片是无理数的概率是， 理由：三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有张， 抽出一张卡片是无理数的概率是； （2）解：列表得 被减数 减数 差 一共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有种可能的结果， 差为有理数． ( 28 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$