卷5 一元二次方程及其解法-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

真题圈数学九年级12N 第二章 一元二次方程 卷5一元二次方程及其解法 建议用时：40分钟 满分：70分 一、选择题（每小题3分，共24分） 是( 1.(月考·清华附中)已知关于x的方程(k- 3)x4-1+(2k-3)x+4=0是一元二次方程，则 输入x 输出y k的值应为( y=x+1 A.±3 B.3 第7题图 C.-3 D.不能确定 A.3 B.-3 2.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式， C.-3或8 D.8 则a,b,c的值分别为( ) 8.新定义问题定义：若两个一元二次方程有且 A.5,4,1 B.5,4,-1 只有一个相同的实数根，我们就称这两个方 C.5,-4,1 D.5,-4,-1 程为“同伴方程”.例如x2=4和(x-2)(x+3) 3.(联考·青岛市南区)用配方法解一元二次方 =0有且仅有一个相同的实数根x=2,所 程3x2-6x-5=0时，下列变形正确的是( 以这两个方程为“同伴方程”.若关于x的 Ax-1)2=9 B.x-12=号 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的参数同时满 C.(x-1)2=8 D.(x-1)2=6 足a+b+c=0和a-b+c=0,且与方程(x+ 2)(x-n)=0互为“同伴方程”，则n的值 4.x=2-2+4x2x1是用公式法解一元二 2×2 为( 次方程得到的一个根，则满足要求的方程 A.1或-1 B.-1 是( C.1 D.2 A.2x2-2x-1=0 B.2x2-2x+1=0 C.2x2+2x+1=0 D.2x2+2x-1=0 二、填空题（每小题3分，共12分） 5.(月考·华南师大附中改编)已知m为一元 9.（月考·山西省实验中学)一元二次方程 二次方程x2+3x-2024=0的一个根，那么 x(x-3)=0的解是 2m2+6m-2024的值为( 10.(月考·沈阳七中)若关于x的一元二次方 A.2024 B.-2024 程(m-3)x2+4x+1=0有实数解，则m的取 C.0 D.4048 值范围是 6.(月考·成都外国语学校)下列一元二次方 11.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4 程中没有实数根的是( =0的常数项为0，则m的值等于 A.x2-3x=0 B.x2+3x-1=0 12.（期末·西安高新一中)若关于x的一元二 C.2x2-4x+3=0 D.5x-2=3x2 次方程ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为x 7.程序框图按如图所示的程序运算，如果 =7,则方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根 输出的y的值为9，则输人的x的值可能 为 10 真题天天练（上） 三、解答题（共34分） 根据上面的解答，解决下面的问题： 13.（联考·青岛市南区)(12分)解方程： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程 (1)4(x+1)2=4(直接开平方法). 中，利用 法达到了降次的目的，体 现了 的数学思想 (2)x2+4x+2=0(配方法) (2)解方程：x4-x2-12=0. (3)x(x-2)=2-x(因式分解法). (4)8x2+10x=3(公式法). 15.（月考·厦门外国语学校)(12分)已知关于 x的一元二次方程x2+mx+n2+4=0. (1)若n=1,且此方程有一个根为-1，求 m的值. (2)若m=4,判断此方程根的情况. 14.（10分)阅读材料：解方程(x2-1)2-5(x2-1) +4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，设 x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2- 5y+4=0.① 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1, .x2=2,∴.x=√2； 当y=4时，x2-1=4, .x2=5,.x=t5 ∴原方程的懈为x=√2，x2=-V2,x= V5,x4=-√5. 11答案与解析 16.1.8【解析】如图，连接EF,设MC与AD交于点G.:四边形 ,'将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处， ABCD是矩形，∴，∠D=90°，CD= D ∴.MD=MN. AB=6.:点D关于直线CE对称的 又，MD=MB,∴.MN=MB. 点是F,.DE=EF,∠EFC=∠D G .ME L BN,.EN BE,.'BN=2BE. F =90°，C℉=CD=6,∴.∠EFG=MA B .·MF⊥AB,ME⊥BC,∠ABC=90°，∴.四边形MFBE为矩形 90°.设AM=DE=x,则AE=3-x, 第16题答图 'MF=BE. ∠MAG=∠EFG=90°， 四边形ABCD是正方形，.∠CAB=45°， BM=6+x.在△AMG与△FEG中， ∠MGA=∠EGF, .∠MAF=∠AMF=45°，.MF=AF, AM=EF, ·ME=5AM,:.BN=2AM 2 ∴.△AMG≌△FEG(AAS),∴.MG=EG,AG=FG,∴.AG+ EG=FG+MG,即FM=AE=3-x,∴.CM=6+3-x=9-x D CMP=BC2+BMP,(9-x)2=32+(6+x)2,x=1.2, .AE=3-1.2=1.8.故答案为1.8. 17.【解】(1)PB=(18-t)cm. (2)如图①，过B点作BN⊥CD于点N.:AB∥CD,∠ADC =90°，∴.∠A=90°，∴.∠A=∠ADC=∠BND=90°， ① ② .四边形ADNB是矩形， 第18题答图 .'BN AD 12 cm,DN AB 18 cm. (2).四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， .CD=23 cm,.'.CN=CD-DN=5 cm. .AB=BC,AC⊥BD,DO=BO, 在Rt△BNC中，根据勾股定理可得BC=√BW2+CW2= ∴.△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD,∴DM=BM, V52+122=13(cm). .'DM=MN,∴.MN=BM 直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平 如图②，作MH∥BA交BC于点H,EH∥AM交BA于点E, 行四边形，分两种情况： 则四边形AMHE是平行四边形，∠CMH=∠BAC=60°， ①四边形PQCB是平行四边形，示意图如图②所示 ∠CHM=∠ABC=60°，∴.△CMH,△BEH都是等边三角形， :AB∥CD,即PB∥CQ, ∴.AM=BH=EH. .只需PB=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm. 作MG⊥BC于点G,则CG=GH,NG=BG, :Q以2cms的速度沿折线B-C-D向终点D运动， ∴.CN=BH,∴.AM=CN .运动时间为ts时，CQ=2-BC=(2t-13)cm, 六18-1=21-13，解得1=引 第二章一元二次方程 ②四边形ADQP是平行四边形，示意图如图③所示 卷5一元二次方程及其解法 同理，：AP∥DQ,∴只需AP=DQ,四边形ADQP是平行 1.C2.C3.A4.D 四边形.AP=tcm,DQ=CD+CB-2t=(36-2t)cm, 5.A【解析】：m为一元二次方程x2+3x-2024=0的一个根， ∴.36-2t=t,解得t=12. ∴.m2+3m=2024,∴.2m2+6m=2(m2+3m)=2×2024= 综上所述，当1=}或12时，直线PQ把四边形ABCD分成两 4048,.2m2+6m-2024=2024.故选A. 个部分，且其中的一部分是平行四边形 6.C7.C (3)设Q的速度为xcms,由(2)可知，Q在CD边上，此时四边 8.A【解析】：关于x的方程ar2+bx+c=0(a≠0)的参数同时 形PBCQ可为菱形. 满足a+b+c=0和a-b+c=0,.关于x的方程axr2+bx+c=0 :PB∥CQ,∴.只需满足PB=BC=CQ即可， (a≠0)的两个实数根为x=1或x=-1.(x+2)(x-n)=0, 由(1)知，PB=(18-t)cm, ∴.x+2=0或x-n=0,.(x+2)(x-n)=0的根为x=-2或x 由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC=13cm, =n.ar2+bx+c=0(a≠0)与(x+2)(x-n)=0互为“同伴方 .18-1=13,xt-13=13,解得t=5,x=5.2, 程”，.n=1或n=-1.故选A .当点Q的速度为5.2cms时，四边形PBCQ可为菱形 9.x1=0,x2=310.m≤7且m≠311.-2 B B 12.x=8【解析】a(x-1)2+bx-3=b,.a(x-1)2+b(x-1)-3 =0.令x-1=t,则at+bt-3=0.由题意可知，方程a2+bt-3 =0有一根为t=7,.a(x-1)2+b(x-1)-3=0有一根满足x-1 Q =7,∴.x=8.故答案为x=8. ① ⊙ 第17题答图 13.(解]1)46412=(x1)2=61=± 18.【证明】(1)①，·四边形ABCD是正方形，，AC⊥BD,OB= OD,∴.MB=MD (2)x2+4x+2=0,.x2+4x+4=2, ②如图①，过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AB于点F ∴.(x+2)2=2,.x+2=±V2, 真题圈数学九年级12N .x1=-2+V2,x2=-2-√2 由根与系数的关系可知3+√2+m=6,解得m=3-√2. (3)x(x-2)=2-x,.(x-2)(x+1)=0, ∴.k=(3+2)×(3-√2)=7. .x-2=0或x41=0,x1=2,x2=-1. .k的值为7，方程的另一个根为3-√2 (4)将原方程化为一般式，得8x2+10x-3=0. (3)-11 a=8,b=10,c=-3, 分析：：x,x2是这个方程的两个根，x+x2=6,xx2=飞 .b2-4ac=100-4×8×(-3)=196>0, x+x3+3xx2=25,.(x,+x2)2+xx2=25,∴.6+k=25, “x=10含6，==-3 解得k=-11.故答案为-11. 16 14.【解】(1)换元换元 (2)令a=x,则原方程可化为d2-a-12=0, 卷7应用一元二次方程 解得a=-3或a=4, 1.B2.A3.B x2=-3(舍去)或x2=4, 4.B【解析】设每个支干长出的小分支个数是x. 解得x,=2,x2=-2. 由题意得1+x+x2=73,即x2+x-72=0, 故原方程的解是x1=2,x2=-2. ∴.(x+9)(x-8)=0,解得x,=8,x2=-9(舍去)， 15.【解(1)将x=-1,n=1代入原方程，得(-1)2-m+12+4=0, ∴.每个支干长出8个小分支，故选B 5.x(x-1)=182 解得m=6. 6.20【解析】设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70- (2)当m=4时，原方程为x2+4x+2+4=0, 2x+2=（72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)=640,化简，得x2- .4=42-4×1×(m2+4)=-42. 36x+320=0,解得x1=16,x2=20.当AB=16m时，BC= 当n=0时，4=-4n2=0,此时原方程有两个相等的实数根； 72-2×16=40(m)>35(m),不符合题意，舍去；当AB=20m时， 当n≠0时，4=-4<0，此时原方程无解 BC=72-2×20=32(m)<35(m,符合题意，.当羊圈的边AB 为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈.故答案为20. 卷6一元二次方程的根与系数的关系 7.【解】设1s时，△PBQ的面积等于4cm2,则(5-)×2t=4, 1.C2.C 整理，得-544=0，解得1=1，专2=4（舍去）. 3.D【解析】x2-√2x-1=0的两个实数根分别是x,x2, 答：如果P,Q两点同时出发，那么1s时，△PBQ的面积等于 =V2x+l,x+x2=V2,.x+2x2=V2x+1+V2x2= 4cm2. √2(x+x)+1=2+1=3.故选D. 4.A【解析】根据题意，得3+4=-b,1×2=c,解得b=-7,c 第三章概率的进一步认识 =2,∴.原来的方程为x2-7x+2=0.故选A 卷8用树状图或表格求概率 5.D【解析】，m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根， 1.C2.C3.A .∴.m2+2m-1=0,m+n=-2,mn=-1,.m2=-2m+1, ：m+m2m-mm=mm+m-(-1）=-2m+)x-2+1= 4.D【解析】画树状图如图 2m-1 2m-1 2m-1 开始 2+1=3.故选D. 小强 6.D【解析】由方程a2+bx+c=0有两个不相等的实根x,x2,可 得a≠0，=-台6=后“5=243%=名2 小亮 正 反 =台2（名八-台袋理得ae=2以，则69c=-沙46 小文正反正反正反正反 第4题答图 =-2(b2-2b)=-2(b-1)2+2,故4b-9ac的最大值为2.故选D. 共有8种等可能的结果，出现三个正面向上或三个反面向上的 结果有2种，出现两个正面向上和一个反面向上的结果有3种， 7.-2023 8.2023【解析】：x,x2是一元二次方程x2+x-2024=0的两 出现一个正面向上和两个反面向上的结果有3种，则P(小强赢) 个根，∴.x+x2=-1,且x+x-2024=0,则x+x=2024, -专-P(小亮赢)P(小文赢)居则小强羸的概率最 .+2x+x2=x2+x+x+x2=2024+(-1)=2023. 小，小亮和小文赢的概率相等.故正确的答案只有D.故选D 故答案为2023. 5名6.不公平 9.1 7.【解】画树状图如图 10.-1【解析】.方程x2+(m2-1)x+1+m=0的两根互为相反数， 开始 .1-m2=0,解得m=1或m=-1.把m=1代入原方程， 分 ① ② ⊙ 得x2+2=0,该方程无解，.m=1不合题意，舍去；把m=-1 代人原方程，得x2=0,解得x=x2=0,符合题意，∴.m=-1. 乙②③①③①② 故答案为-1 丁③②③①②① 11.【解(1)：方程有两个不相等的实数根， 第7题答图 ∴.(-6)24k>0,解得k<9,故k的取值范围是k<9. 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种， (2)令方程的另一个根为m, 0 ·嘉宾甲与乙相邻而坐的概率为=子 96=31