卷4 专题特殊平行四边形的综合-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

真题天天练（上） 卷4专题 特殊平行四边形的综合 题型一折叠问题 题型二最值问题 1.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点6.（期中·西安莲湖区）如图，在Rt△ACB A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC= 中，∠C=90°，AC=6,BC=8,P是斜 24°，则∠A'EB等于() 边AB上的一个动点，且P在AB上（不包含 A.66° B.60° C.57° D.48° 端点)运动的过程中，始终保持PD∥BC, PE∥AC,点D,E分别在边AC,BC上， H F是DE的中点，连接PF,则PF的最小值 B 是( 第1题图 第2题图 2.(期中·辽宁省实验中学)如图，将矩形纸片 B ABCD折叠，AE,EF为折痕，点C落在AD c号 D号 边上的G处，并且点B落在EG上的H处， 若AB=√5，∠BAE=30°，则BC边的长 为() A.3 B.4 c.5 D.6 3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好 第6题图 第7题图 落在AD边的B'处，若AE=2,DE=6, 7.(期末·济南天桥区)如图，正方形ABCD中， ∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是( AB=3V2,点E为对角线AC上的动点，以 A.12 B.24 C.125 D.165 DE为边作正方形DEFG,点H是CD上一 A 点，若DH=CD,连接GH,则GH的最小 值为( B A.√2 B.2W2 第3题图 第4题图 4.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好 c.1 D.2 落在菱形的对称中心O处，折痕为EF若菱 8(期中·贵阳南明区)如图，在 D E 形ABCD的边长为8，∠B=120°，则EF的 矩形ABCD中，AD=3,CD 长是 =4,E是CD边上一点，连 5.(期中·青岛市北区)如图，四边形ABCD为 接AE,沿AE翻折△ADE,得 第8题图 正方形，点E是BC的中 到△AFE,连接CF当CF长度最小时，△CEF 点，将正方形ABCD沿 AE折叠，点B的对应点为 的面积是( 点F,延长EF交线段DC B E A B等 于点P,若AB=6,则DP 第5题图 的长度为 C 32 D.2 7 真题圈数学九年级12N 9.已知菱形OABC在平 13.(期中·济南历城区)如图，在矩形ABCD 面直角坐标系中的 中，AB=2,AD=4, B 位置如图所示，顶点 D 点E在边AD上，点F A(5,0),0B=4V5, 在边BC上，且AE= 第9题图 A D 点P是对角线OB上 CF,连接CE,DF,则 第13题图 的一个动点，D(0,1),当CP+DP最短时，点 CE+DF的最小值为 P的坐标为( 14.(开学考·首师大附中)如图，在菱形ABCD A.(0,0) B.1 中，AB=2,∠BAD=60°，点E,F分别在 边AB,AD上，连接EF,若点A关于EF的 a D(9》 对称点A'在线段BC上，则线段DF的最大 10.(期中·长沙青竹湖湘一外国语学校)如图 值是 所示，在菱形ABCD中， ∠A=60°，AB=2,E, F两点分别从A,B两点 同时出发，以相同的速 第10题图 度分别向终点B,C移动，连接EF,在移动 的过程中，EF的最小值为() 第14题图 第15题图 A.1 B.2 15.(模考·西工大附中五模)如图，在正方 c D.5 形ABCD中，AB=6,P,Q分别为BC, 11.（期末·广州花都区)如图，在边长为10的 AB边上的动点，且AQ=BP,AP与DQ 正方形ABCD对角线上有E,F两个动点， 交于点E,连接BE,则线段BE的最小值 AB=V2EF,点P是BC中点，连接AE, 为 PF,则AE+PF的最小值 题型三 动点问题 为() 16.（期中·厦门外国语学校)如图，在矩形 A.5V5 ABCD中，AD=3,AB=6,E为AD边上 B.10W5 一动点（不与A,D两点重合），连接CE,点 c.5V2 第11题图 D关于直线CE对称的点是F,连接CF射 D.10 12.(期中·贵阳花溪区)如图，在边长为2的 线BA与射线CF交于点M.若AM=DE, 则线段AE的长度为 正方形ABCD中，E,F D 分别是BC,CD上的动 点，M,N分别是EF,AF E 的中点，则MN的最大 B 值为 第12题图 第16题图 8 真题天天练（上） 17.(联考·青岛市南区)如图，在四边形ABCD:18.(期中·沈阳铁西区) 中，AB∥CD,∠ADC=90°，AD=12cm, 【基础运用】 AB=18cm,CD=23cm,动点P从点A (1)如图①，在正方形ABCD中，对角线AC 出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时 和BD交于点O,点M是线段OA上的一 动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折 个动点，且不与点O和点A重合，连接MB 线B-C-D向终点D运动，其中一个动点到 和MD,将线段MD绕点M旋转，点D恰 达终点时，另一个动点也随之停止运动，设 好落在边BC上的点N处，点N不与点B 运动时间为ts. 重合 (1)用含t的式子表示PB的长 ①求证：MB=MD; (2)当t为何值时，直线PQ把四边形 ②求证：BN=V2AM. ABCD分成两个部分，且其中的一部分是 【创新探究】 平行四边形？ (2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°， (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中 对角线AC和BD交于点O,点M是线段 某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的 OA上的一个动点，且不与点O和点A重合， 运动速度应为多少？ 连接MB和MD,将线段MD绕点M旋转， 点D恰好落在边BC延长线上的点N处」 求证：AM=CN, 第17题图 ① ② 第18题图 9答案与解析 11.√5【解析】如图，连接AC,CF在正方形ABCD和正方形 ∠A'EF-∠BEF=120°-60°=60°. CEFG中，∠ACG=45°，∠FCG= G 在Rt△A'EB中，，∠A'B'E=90°-60°=30°，.B'E= 45°，.∠AC℉=90°.BC=1, 2AE=4,.B=25,.AB=25.AE=2,DE=6, CE=3,.AC=√2，CF=32 ∴.AD=AE+DE=2+6=8,∴.矩形ABCD的面积=AB·AD 由勾股定理得，AF=√AC2+CF2= =2V5×8=16V3.故选D. 2W5.又H是AF的中点，∴.CH 4.4【解析】如图，连接AC,BD,则AC与BD交于点O. =74F=5.故答案为5. :四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD=CD=BC,AC⊥BD, 第11题答图 12.5【解析】四边形ABCD为正方形，∴.∠BAE=∠D=90°， ∠ABD=LCBD=3∠ABC=60°， AB=AD.,'AE=DF,,.△ABE≌△DAF(SAS),∴.∠ABE ∴.△ABD是等边三角形，BD=AB=8. =∠DAF,'∠ABE+∠BEA=90°，∴.∠DAF+∠BEA= 折叠后A与O重合，∴.EF⊥AC,EF平分AO. 90°，∴.∠BGF=∠AGE=90°.，BC=8,CF=CD-DF=8-2 AC⊥BD,∴EF∥BD, =6,∴BF=VBC2+CF2=10.点H为BF的中点，.GH .E,F分别是AD,AB的中点， =)BF=5.故答案为5. “EBF为△4BD的中位线EF=号BD=号×8=4 13.【证明】，四边形ABCD为正方形， 故答案为4. .AB=BC=CD=DA,∠B=∠C=∠D=90° 设AB=BC=CD=DA=a. :E是BC的中点，CF=}CD, BE-EC-jd.CF-a,DF-a o 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB=AB+BE-各a, B E 同理可得，EN=BC+C=名，AP=AD4Dr=完2 第4题答图 第5题答图 :AE+EFP=AF,.△AEF为直角三角形，∠AEF=90°， 5.2【解析】如图，连接AP四边形ABCD为正方形， 14.(1)【证明】，四边形ABCD是矩形， AD=BC=AB=6,∠B=∠C=∠D=90° ∴AD∥BC,AB∥CD,∠BAD=∠BCD=90°， ”点E是BC的中点，BE=CE=)BC=3 .∠GAB=∠ECH=90°. 由翻折可知，AF=AB=6,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°， :AD∥BC,EF∥AC,.四边形AGEC是平行四边形， ∴.AD=AF,∠AFP=∠D=90°.在Rt△AFP和Rt△ADP ..AG=EC. 中， :AB∥CD,EF∥AC,.四边形AFHC是平行四边形， MP=AC:Rt△AP≌Rt△ADP(HL,PF=PD AF=AD. ∴.AF=CH,∴.△AFG≌△CHE(SAS) 设PF=PD=x,则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x (2)【解】四边形ABCD是正方形 在Rt△PEC中，根据勾股定理得，EP2=EC2+CP2,,∴.(3+x)2 证明：：EF∥AC,∠G=∠CAD. =32+(6-x)2,解得x=2.则DP的长度为2.故答案为2. :∠G=∠BAC,∴.∠BAC=∠CAD. 6.C【解析】如图，连接PC.PD∥BC,PE∥AC,∴.四边形 :∠BAD=90°，.∠BAC=45°. CDPE是平行四边形.又∠ACB=90°，∴.四边形CDPE ∠B=90°，.∠BAC=∠ACB=45°， ∴BA=BC,∴.矩形ABCD是正方形. 是矩形，DE=PC,∠DPE=90,.PF=iDE=2PC, ∴.当PC最小时，PF也最小.当CP⊥AB时，PC最小.：AC=6, 卷4专题特殊平行四边形的综合 BC=8,AB=10,.PC的最小值为4C,BC=6x8=24 AB -10-5 1.C【解析】：四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90° :PF的最小值是冬，故选C 由折叠的性质，得∠BA'E=∠A=90°，∠A'BE=∠ABE, A D ·.∠ABE=LABE=(90°-∠DBC)=)×(90°-240)= 33°，∠AEB=90°-∠A'BE=90°-33°=57°.故选C. 2.A【解析】如图，连接CG.Rt△ABE中，∠BAE=30°，∠AEB =60°，AB=√5，设BE=x(x>0),则A G D AE=2x,根据勾股定理得x2+（V3)2 第6题答图 第7题答图 =(2x)2,得x=1,即BE=1,AE=2. H 7.C【解析】如图，连接CG.四边形ABCD是正方形，四边 :∠AEH=∠AEB=60°，AD∥BC, 形DEFG是正方形，∴.DA=DC=AB=3V2,DE=DG, B ∴.∠GAE=∠AEB=60°，∴.△AEG ∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，.∠ADE=∠CDG, 第2题答图 ∴.△ADE≌△CDG(SAS),∴.∠DCG=∠DAE=45°，∴点 为等边三角形.易证△CGE也为等边三角形，.EC=EG= G的轨迹是射线CG.根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时， AE=2,∴.BC=BE+EC=3.故选A 3.D【解析】在矩形ABCD中，，AD∥BC,.∠B'EF=∠EFB GH的值最小.：DH=号CD=号×32=22，CH =60°.由折叠的性质得∠A'=∠A=90°，'E=AE=2,AB CD-DH=32-22=反，GH=反×号=1.放选C =A'B',∠A'EF=∠AEF=180°-60°=120°，∠A'EB'=8.C【解析】连接AC(图略).：△ADE沿AE翻折至△AFE, 真题圈数学九年级12N ∴.△ADE≌△AFE,∴.AF=AD,EF=DE. 共线时，AE+EQ的值最小，最小值为线段AQ的长.·CD= ,AF+CF≥AC,.当A,F,C三点共线时，AF+CF最小，此时 10,点Q为CD的中点，.DQ=5.在Rt△ADQ中，DQ=5, CF最小，CF的最小值=AC-AD AD=10,由勾股定理得，AQ=5V5.故选A 四边形ABCD是矩形，∴.∠D=90° 12.√2【解析】如图，连接AE.M,N分别是EF,AF的中点， AD=3,CD=4,∴AC=√AD2+CD2=5,.CF长度的 W是△AEF的中位线，MW=)AE.:四边形ABCD 最小值=5-3=2.设EF=DE=x,则CE=4-x 是正方形，∴.∠B=90,AE=√AB2+BE2=V4+BE2,当 ,∠AFE=∠D=90°，∴.∠CFE=90° BE最大时，AE最大，此时MN最大.：点E是BC上的动点， CE2=EF+CFP,∴.(4-x)2=x2+22,解得x= 21 ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，此时AE ·EP=号△CBF的面积是×号×2=多故选C =V4+2=22,∴.W=3E=万，∴W的最大值为2.故 9.D【解析】如图，连接AC,AP,AC交OB于G,作BK⊥x轴于 答案为√2 K.:四边形OABC是菱形，AC上 6 OB,GC=AG,OG=BG=25,A, C关于直线OB对称，∴.PC+PD=D 、G PA+PD≥AD.当A,P,D三点共线时，O A E PC+PD=AD,此时PC+PD最短. 第9题答图 M 在Rt△A0G中，AG=VOA2-0G2=V52-(25)2=V5, AC=25.OA.BK=AC.OB,BK=4, 第12题答图 第13题答图 .AK=√AB2-BK2=3,∴点B的坐标为(8,4). 13.4√2【解析】如图，连接BE.四边形ABCD是矩形， 易得直线0s的表达式为y=号x,直线D的表达式为y=号+L .AB=CD,∠BAE=∠DCF=90° AE=CF,∴.△ABE≌△CDF(SAS),.BE=DF .1 y= x=9 '：点P的坐标为(9引 ,∴.CE+DF=CE+BE. 解得 故选D. 5 宜y+1y 作点B关于AD的对称点B',连接CB',易知CB'的长即 CE+BE的最小值，即CE+DF的最小值. 1O.D【解析】如图，连接DB,作DH⊥AB于H AB=2,AD=4,.BB=4,BC=4, ,四边形ABCD为菱形，.AD=AB=BC=CD,∠C= ∠A=60°，∴.△ABD和△BCD都是等边三角形， .BC=VBB2+BC2=V42+42=4V2.故答案为4V2 .∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD 14.2-√5【解析】如图，作BP⊥AD于点P,则∠APB=90°. 在R△ADH中，AH=方B=1,AD=2,DH=5. :四边形ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°， :'AD=AB 2,BP=3. AD=BD, 在△ADE和△BDF中，{∠A=∠FBD,∴.△ADE≌△BDF, 连接AA',FA,点A关于FE的对称点A'在线段BC上， AE=BF, ∴.FE垂直平分AA',.AF=AF,·当A'F=BP=√3时，A'F .∠2=∠1，DE=DF,.∠1+∠BDE=∠2+∠BDE= 的值最小，.AF的最小值为√5.，当AF最小时，DF最大， ∠ADB=60°，.△DEF为等边三角形，.EF=DE. DF的最大值为2-√5.故答案为2-√5. 当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为V3,.EF的 最小值为√3.故选D. 0 P B E. ) E B EH B 第14题答图 第15题答图 第10题答图 第11题答图 15.3√5-3【解析】如图，取AD的中点O,连接OE,OB. 11.A【解析】如图，取CD的中点Q,连接PQ,EQ,AQ.:'四边 :四边形ABCD是正方形， 形ABCD是正方形，且边长为1O,∴.AB=BC=CD=AD .BC=CD=AD=AB=6,∠DAQ=∠ABP=90° =10,∠ADC=∠DAB=90°.在Rt△ABD中，AB=AD= AQ=BP,.△DAQ≌△ABP(SAS),∴.∠ADQ=∠BAP 10,由勾股定理得BD=√AD2+AB2=10W2.:点P为BC ,∠BAP+∠DAE=90°，.∠ADQ+∠DAE=90°， 的中点，点Q为DC的中点，∴.PQ是△CBD的中位线， .∠ABD=90,0E=)AD=3. ·PQ∥BD,PQ=3BD=52.又：AB=2EF,EF= A0=3,AB=6,∠BA0=90°，.B0=√AB2+A02= 5V2,.PQ=EF,.四边形PQEF为平行四边形，.PF= V62+32=3V5,.BE≥0B-0E=3√5-3， EQ.要求AE+PF的最小值，只需求出AE+QE的最小值即可，根 ∴BE的最小值为3√5-3. 据“两点之间线段最短”，得AE+EQ≥AQ,.当A,E,Q三点 故答案为3V5-3. 答案与解析 16.1.8【解析】如图，连接EF,设MC与AD交于点G.:四边形 ,'将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处， ABCD是矩形，∴，∠D=90°，CD= D ∴.MD=MN. AB=6.:点D关于直线CE对称的 又，MD=MB,∴.MN=MB. 点是F,.DE=EF,∠EFC=∠D G .ME L BN,.EN BE,.'BN=2BE. F =90°，C℉=CD=6,∴.∠EFG=MA B .·MF⊥AB,ME⊥BC,∠ABC=90°，∴.四边形MFBE为矩形 90°.设AM=DE=x,则AE=3-x, 第16题答图 'MF=BE. ∠MAG=∠EFG=90°， 四边形ABCD是正方形，.∠CAB=45°， BM=6+x.在△AMG与△FEG中， ∠MGA=∠EGF, .∠MAF=∠AMF=45°，.MF=AF, AM=EF, ·ME=5AM,:.BN=2AM 2 ∴.△AMG≌△FEG(AAS),∴.MG=EG,AG=FG,∴.AG+ EG=FG+MG,即FM=AE=3-x,∴.CM=6+3-x=9-x D CMP=BC2+BMP,(9-x)2=32+(6+x)2,x=1.2, .AE=3-1.2=1.8.故答案为1.8. 17.【解】(1)PB=(18-t)cm. (2)如图①，过B点作BN⊥CD于点N.:AB∥CD,∠ADC =90°，∴.∠A=90°，∴.∠A=∠ADC=∠BND=90°， ① ② .四边形ADNB是矩形， 第18题答图 .'BN AD 12 cm,DN AB 18 cm. (2).四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， .CD=23 cm,.'.CN=CD-DN=5 cm. .AB=BC,AC⊥BD,DO=BO, 在Rt△BNC中，根据勾股定理可得BC=√BW2+CW2= ∴.△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD,∴DM=BM, V52+122=13(cm). .'DM=MN,∴.MN=BM 直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平 如图②，作MH∥BA交BC于点H,EH∥AM交BA于点E, 行四边形，分两种情况： 则四边形AMHE是平行四边形，∠CMH=∠BAC=60°， ①四边形PQCB是平行四边形，示意图如图②所示 ∠CHM=∠ABC=60°，∴.△CMH,△BEH都是等边三角形， :AB∥CD,即PB∥CQ, ∴.AM=BH=EH. .只需PB=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm. 作MG⊥BC于点G,则CG=GH,NG=BG, :Q以2cms的速度沿折线B-C-D向终点D运动， ∴.CN=BH,∴.AM=CN .运动时间为ts时，CQ=2-BC=(2t-13)cm, 六18-1=21-13，解得1=引 第二章一元二次方程 ②四边形ADQP是平行四边形，示意图如图③所示 卷5一元二次方程及其解法 同理，：AP∥DQ,∴只需AP=DQ,四边形ADQP是平行 1.C2.C3.A4.D 四边形.AP=tcm,DQ=CD+CB-2t=(36-2t)cm, 5.A【解析】：m为一元二次方程x2+3x-2024=0的一个根， ∴.36-2t=t,解得t=12. ∴.m2+3m=2024,∴.2m2+6m=2(m2+3m)=2×2024= 综上所述，当1=}或12时，直线PQ把四边形ABCD分成两 4048,.2m2+6m-2024=2024.故选A. 个部分，且其中的一部分是平行四边形 6.C7.C (3)设Q的速度为xcms,由(2)可知，Q在CD边上，此时四边 8.A【解析】：关于x的方程ar2+bx+c=0(a≠0)的参数同时 形PBCQ可为菱形. 满足a+b+c=0和a-b+c=0,.关于x的方程axr2+bx+c=0 :PB∥CQ,∴.只需满足PB=BC=CQ即可， (a≠0)的两个实数根为x=1或x=-1.(x+2)(x-n)=0, 由(1)知，PB=(18-t)cm, ∴.x+2=0或x-n=0,.(x+2)(x-n)=0的根为x=-2或x 由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC=13cm, =n.ar2+bx+c=0(a≠0)与(x+2)(x-n)=0互为“同伴方 .18-1=13,xt-13=13,解得t=5,x=5.2, 程”，.n=1或n=-1.故选A .当点Q的速度为5.2cms时，四边形PBCQ可为菱形 9.x1=0,x2=310.m≤7且m≠311.-2 B B 12.x=8【解析】a(x-1)2+bx-3=b,.a(x-1)2+b(x-1)-3 =0.令x-1=t,则at+bt-3=0.由题意可知，方程a2+bt-3 =0有一根为t=7,.a(x-1)2+b(x-1)-3=0有一根满足x-1 Q =7,∴.x=8.故答案为x=8. ① ⊙ 第17题答图 13.(解]1)46412=(x1)2=61=± 18.【证明】(1)①，·四边形ABCD是正方形，，AC⊥BD,OB= OD,∴.MB=MD (2)x2+4x+2=0,.x2+4x+4=2, ②如图①，过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AB于点F ∴.(x+2)2=2,.x+2=±V2,