卷3 正方形的性质与判定-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

真题圈数学九年级12N ∠EAO=∠FCO, ∴.四边形ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形) AO=OC. .△AE0≌△CFO,即阴影部分的面积等 ∠AOE=∠COF, 卷3正方形的性质与判定 于矩形ABCD的面积的一半.：矩形ABCD的面积是AB·BC 1.B2.B =2×4=8,.阴影部分的面积是4.故答案为4 9.号【解析】如图，过C作CELBD于B.:四边形ABCD是 3.D【解析】，四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BCA= 矩形，.CD=AB=3,BC=AD=4, 45°.由作图知，∠CAP=7∠DAC=22.5,·∠P=∠BCA- ∠CAP=22.5°.故选D. ∠DCB=90°.在Rt△BCD中，由勾股 E 定理得，BD=VBC2+CD2=√42+32= 4.B【解析】四边形ABCD为正方形，AB=2,.AC= 2√2.：O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边 5.SAc=BC CD=]BD.CE, 三角形，.∠A0E=90,AE=AC=22,A0=号AC=V2, 即号×4×3=7×5：CE,解得CE= 第9题答图 0E=√AE2-A02=V(2√2)2-(W2)}=V6.故选B. 号，即C到BD的距离为号.故答案为号 5.D【解析】四边形ABCD是正方形，∴.AB=CB,∠ABD= 10.2√5【解析】连接AH(图略).：四边形ABCD为矩形， ∠CBD=45°.∠BAE=53°，∴.∠AEB=180°-∠ABD- .AD∥BC,BC=AD=8,CD=AB=4,∠B=90° ∠BAE=180°-45°-53°=82°.在△ABE和△CBE中， 由作图方法可知，EF垂直平分AC,∴.AH=CH. AB=CB. AP=AB+B,∴.AP=42+(8-AH)2,.AH=5. ∠ABE=∠CBE,∴.△ABE≌△CBE(SAS),∴.∠CEB= :AD∥BC,.∠DAC=∠ACB.:∠AOG=∠COH,AO BE=BE, =OC,∴.△AOG≌△COH(ASA),.OG=OH. ∠AEB=82°，.∠CEF=180°-∠AEB-∠CEB=180°- :AC=VAB2+BC2=V42+82=45,A0=2N5, 82°-82°=16°.故选D. .0H=√AH2-A02=V52-(2N5)2=V5, 6.C【解析】：四边形ABCD为正方形，.∠C=90°，∠CDB .GH=20H=2√5.故答案为2√5， =45°，BC=CD.又.BE平分∠CBD,EF⊥BD,.EC= 11.【证明】四边形ABCD是矩形，.OA=OC,OB=OD,AC EF:∠CDB=45°，EF⊥BD,∴.△DEF为等腰直角三角形. =BD,∴AO=OD,∴∠ODA=∠OAD. DE=√2，.EF=1,.EC=1,.BC=CD=DE+EC OF=OE,∴.OA+OF=OD+OE,即AF=DE =√2+1.故选C. AD=DA,.△DAE≌△ADF(SAS), 7.B【解析】如图，连接BE.正方形ABCD的边长为6， SE方形ACm=6×6=36,.S△An= E .∠EAD=∠FDA 12.【解】(1)正确正确 分SE5n=18,S么a=S形m (2)选择嘉嘉的思路. =18.:E为AD的中点，S△cDe= 证明：，四边形ABCD是菱形， 寻S形Cn=9:P为CE的三等分点， .AB=CD,AB∥CD Sa=号S=6,S6c= FA=EC,∴.BF=DE. 号560e=3,S6e=SE方形m 第7题答图 .四边形BFDE是平行四边形 .CD⊥BE,∴.∠BED=90°，∴.四边形BFDE是矩形 S△ADS△cp-S△cpP=36-18-6-3=9,. 选择琪琪的思路 故选B. 证明：：四边形ABCD是菱形， 8.B【解析】，四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,∠ABD= .AD=BC,∠A=∠C 45°.EF⊥CF,∴.∠EFC=∠COF=90°，∴.∠EFG+∠CFO AF=CE,.△ADF≌△CBE(SAS), =∠FCO+∠CFO=90°，.∠EFG=∠FCO. ∴.∠AFD=∠CEB=90°，∴.∠DFB=90° EG⊥BD,∴∠EGF=∠FOC=90°. :CD∥AB,∠FBE=∠CEB=90°， ∠EGF=∠FOC 在△EFG和△FCO中，{ ∠EFG=∠FCO, ∴.∠DFB=∠FBE=∠BED=90°，∴.四边形BFDE是矩形 FE=CF, 13.(1)【解】如图，四边形ABCD为所求作 ∴.△EFG≌△FCO(AAS),∴.EG=OF=3. (2)【证明】连接BD,如图. :∠ABD=45°，.△EBG是等腰直角三角形， BC=AD. ∴.BE=√2EG=32.故选B. 在△ABC和△BAD中，{AC=BD, 9.16 AB=BA, B A 10.(-1,0)【解析】：点D的坐标是(2,3)，B,C在x轴上， ∴.△ABC≌△BAD(SSS), 第13题答图 .DC=3,0C=2. ∠BAD=∠ABC=90°，∴.∠ABC+∠BAD=180°， ,四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD=3, .BC∥AD. .OB=3-2=1. :BC∥AD,BC=AD,∴.四边形ABCD是平行四边形 .点B在x轴的负半轴上，.点B的坐标为(-1,0) .AC=BD, 故答案为(-1,0). 答案与解析 11.√5【解析】如图，连接AC,CF在正方形ABCD和正方形 ∠A'EF-∠BEF=120°-60°=60°. CEFG中，∠ACG=45°，∠FCG= G 在Rt△A'EB中，，∠A'B'E=90°-60°=30°，.B'E= 45°，.∠AC℉=90°.BC=1, 2AE=4,.B=25,.AB=25.AE=2,DE=6, CE=3,.AC=√2，CF=32 ∴.AD=AE+DE=2+6=8,∴.矩形ABCD的面积=AB·AD 由勾股定理得，AF=√AC2+CF2= =2V5×8=16V3.故选D. 2W5.又H是AF的中点，∴.CH 4.4【解析】如图，连接AC,BD,则AC与BD交于点O. =74F=5.故答案为5. :四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD=CD=BC,AC⊥BD, 第11题答图 12.5【解析】四边形ABCD为正方形，∴.∠BAE=∠D=90°， ∠ABD=LCBD=3∠ABC=60°， AB=AD.,'AE=DF,,.△ABE≌△DAF(SAS),∴.∠ABE ∴.△ABD是等边三角形，BD=AB=8. =∠DAF,'∠ABE+∠BEA=90°，∴.∠DAF+∠BEA= 折叠后A与O重合，∴.EF⊥AC,EF平分AO. 90°，∴.∠BGF=∠AGE=90°.，BC=8,CF=CD-DF=8-2 AC⊥BD,∴EF∥BD, =6,∴BF=VBC2+CF2=10.点H为BF的中点，.GH .E,F分别是AD,AB的中点， =)BF=5.故答案为5. “EBF为△4BD的中位线EF=号BD=号×8=4 13.【证明】，四边形ABCD为正方形， 故答案为4. .AB=BC=CD=DA,∠B=∠C=∠D=90° 设AB=BC=CD=DA=a. :E是BC的中点，CF=}CD, BE-EC-jd.CF-a,DF-a o 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB=AB+BE-各a, B E 同理可得，EN=BC+C=名，AP=AD4Dr=完2 第4题答图 第5题答图 :AE+EFP=AF,.△AEF为直角三角形，∠AEF=90°， 5.2【解析】如图，连接AP四边形ABCD为正方形， 14.(1)【证明】，四边形ABCD是矩形， AD=BC=AB=6,∠B=∠C=∠D=90° ∴AD∥BC,AB∥CD,∠BAD=∠BCD=90°， ”点E是BC的中点，BE=CE=)BC=3 .∠GAB=∠ECH=90°. 由翻折可知，AF=AB=6,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°， :AD∥BC,EF∥AC,.四边形AGEC是平行四边形， ∴.AD=AF,∠AFP=∠D=90°.在Rt△AFP和Rt△ADP ..AG=EC. 中， :AB∥CD,EF∥AC,.四边形AFHC是平行四边形， MP=AC:Rt△AP≌Rt△ADP(HL,PF=PD AF=AD. ∴.AF=CH,∴.△AFG≌△CHE(SAS) 设PF=PD=x,则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x (2)【解】四边形ABCD是正方形 在Rt△PEC中，根据勾股定理得，EP2=EC2+CP2,,∴.(3+x)2 证明：：EF∥AC,∠G=∠CAD. =32+(6-x)2,解得x=2.则DP的长度为2.故答案为2. :∠G=∠BAC,∴.∠BAC=∠CAD. 6.C【解析】如图，连接PC.PD∥BC,PE∥AC,∴.四边形 :∠BAD=90°，.∠BAC=45°. CDPE是平行四边形.又∠ACB=90°，∴.四边形CDPE ∠B=90°，.∠BAC=∠ACB=45°， ∴BA=BC,∴.矩形ABCD是正方形. 是矩形，DE=PC,∠DPE=90,.PF=iDE=2PC, ∴.当PC最小时，PF也最小.当CP⊥AB时，PC最小.：AC=6, 卷4专题特殊平行四边形的综合 BC=8,AB=10,.PC的最小值为4C,BC=6x8=24 AB -10-5 1.C【解析】：四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90° :PF的最小值是冬，故选C 由折叠的性质，得∠BA'E=∠A=90°，∠A'BE=∠ABE, A D ·.∠ABE=LABE=(90°-∠DBC)=)×(90°-240)= 33°，∠AEB=90°-∠A'BE=90°-33°=57°.故选C. 2.A【解析】如图，连接CG.Rt△ABE中，∠BAE=30°，∠AEB =60°，AB=√5，设BE=x(x>0),则A G D AE=2x,根据勾股定理得x2+（V3)2 第6题答图 第7题答图 =(2x)2,得x=1,即BE=1,AE=2. H 7.C【解析】如图，连接CG.四边形ABCD是正方形，四边 :∠AEH=∠AEB=60°，AD∥BC, 形DEFG是正方形，∴.DA=DC=AB=3V2,DE=DG, B ∴.∠GAE=∠AEB=60°，∴.△AEG ∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，.∠ADE=∠CDG, 第2题答图 ∴.△ADE≌△CDG(SAS),∴.∠DCG=∠DAE=45°，∴点 为等边三角形.易证△CGE也为等边三角形，.EC=EG= G的轨迹是射线CG.根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时， AE=2,∴.BC=BE+EC=3.故选A 3.D【解析】在矩形ABCD中，，AD∥BC,.∠B'EF=∠EFB GH的值最小.：DH=号CD=号×32=22，CH =60°.由折叠的性质得∠A'=∠A=90°，'E=AE=2,AB CD-DH=32-22=反，GH=反×号=1.放选C =A'B',∠A'EF=∠AEF=180°-60°=120°，∠A'EB'=8.C【解析】连接AC(图略).：△ADE沿AE翻折至△AFE,真题天天练（上） 卷3正方形的性质与判定 建议用时：60分钟满分：50分 一、选择题（每小题3分，共24分） 6.（模考·北师大附中三模)如图，在正方形 1.(期中·广东广雅中学)已知正方形ABCD ABCD中，BE平分∠CBD,EF⊥BD于点F, 的周长为4，则它的对角线AC的长为( ) 若DE=√2，则BC的长为() A.1 B./2 A.2 B.2 C.√5 D.2 C.2+1 D.1 2.(模考·西安交大附中一模)添加下列一个条 件，能使矩形ABCD成为正方形的是( A.AB=CD B.AC⊥BD C.∠BAD=90° D.AC=BD 3.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以 第6题图 AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E,再 第7题图 7.如图，已知边长为6的正方形ABCD,E为 分别以D,E为圆心，以大于号DE的长为半径 AD的中点，P为CE的三等分点，则△BDP 画弧，两弧交于点F,连接AF并延长，与BC 的面积是( 的延长线交于点P,则∠P=（ A.8 B.9 C.10 D.12 A.90° B.45° 8(模考·重庆一中二模)如图， C.30° D.22.5° 正方形ABCD的对角线相 交于点O,点E在AB边上， 点F在OD上，过点E作 EG⊥BD,垂足为点G,若 第8题图 FE=FC,EF⊥CF,OF 第3题图 第4题图 =3,则BE的长为( 4.(月考·沈阳一二六中学)如图，O为正方形 A.3 B.3v2 ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三 C.3V5 D.2V3 角形.若AB=2,则OE的长度为( A.6 2 B.6 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.如果正方形的一条对角线长为42，那么该 C.2W2 D.2W3 正方形的面积为 5.(开学考·重庆育才中学)A 10.（月考·首师大附中)如图， 如图，在正方形ABCD中， E是对角线BD上一点， 正方形ABCD的顶点 AE的延长线交CD于点F, B,C都在直角坐标系 连接CE,若∠BAE=53°，B 的x轴上，点D的坐标 B O 则∠CEF的度数为( 第5题图 是(2,3)，则点B的坐标 第10题图 A.13° B.14° C.15° D.16° 是 5 真题圈数学九年级12N 11.(期中·北师大贵阳附中)如图，正方形：14.探究性问题(8分)如图，在矩形ABCD中， ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上， E是边BC上一点，过点E作对角线AC的 BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么 平行线，交AB于点F,分别交DA和DC的 CH的长是 延长线于点G,H. (1)求证：△AFG≌△CHE. G G (2)若∠G=∠BAC,则四边形ABCD是正 方形吗？并证明你的结论 第11题图 第12题图 12.(月考·郑州实验外国语中学)已知：正方 形ABCD的边长为8，点E,F分别在AD, CD上，AE=DF=2,BE与AF相交于点 第14题图 G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的 长为 三、解答题（共14分） : 13.(月考·武汉二中广雅中学)(6分)如图， 在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是 CD上一点，且CF=CD,求证：∠AEF =90° D 第13题图 6