卷2 矩形的性质与判定-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（北师大版）

真题天天练（上） 卷2矩形的性质与判定 建议用时：60分钟满分：50分 一、选择题（每小题3分，共15分） 5.(中考·上海)在四边形ABCD中，AD∥ 1.情境题要检验一个四边形的桌面是否为矩 BC,AB=CD.下列条件能使四边形ABCD 形，可行的测量方案是( 一定为矩形的是( ) A.测量两条对角线是否相等 A.AB∥CD B.AD=BC B.度量两个角是不是90° C.∠A=∠B D.∠A=∠D C,测量两条对角线的交点到四个顶点的距 二、填空题（每小题3分，共15分） 离是否相等 6.(期末·广州黄埔区)如图， D.测量两组对边是否分别相等 矩形ABCD的对角线AC,BD 2.(期末·北京西城区)在Rt△ABC中，∠ACB 相交于点O,AB=OB,则 =90°，D为斜边AB的中点.若AC=8, ∠ACB的度数为 BC=6,则CD的长为() 第6题图 7.（模考·太原小店区三模)如图，在矩形 A.10 B.6 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点 C.5 D.4 O作OE⊥AD于点E,OE=2,∠BAO= 60°，则BD的长为 B 第2题图 第3题图 3.(月考·沈阳一二六中学)如图，在矩形 第7题图 第8题图 ABCD中，O是对角线AC,BD的交点， 8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交 AE⊥BD于点E,若OE:OD=1:2,OD= 于点O,过点O的直线分别交AD和BC于 2cm,则AE的长为( 点E,F,AB=2,BC=4,则图中阴影部分 A.1cm B.√2cm 的面积为 C.3 cm D.2 cm 9.(模考·沈阳市三模)矩形ABCD中，AB=3, 4.（月考·郑州外国语中学)如图，矩形ABCD AD=4,则C到BD的距离为 D 10.(联考·沈阳铁西区)如图， E 的两对角线相交于点O, ∠AOB=60°，BC=3, 在矩形ABCD中，AB=4, 则矩形ABCD的面积 B AD=8,连接AC,分别以 第4题图 为( 点A和C为圆心，以大于 A.35 B.3V3 方4C长为半径作弧，两弧 第10题图 2 相交于点E和F,作直线EF分别与AD, c D. 4 AC,BC交于点G,O,H,则GH= 3 真题圈数学九年级12N 三、解答题（共20分） 13.(月考·山西省实验中学改编)(8分)下面 11.（模考·陕师大附中二模)(6分)如图，矩形 是小林同学设计的“作矩形ABCD”的尺规 ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F 作图过程： 分别是OB,OC上的点，且OE=OF,连接 已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.求作： AE,DE. 矩形ABCD, 求证：∠EAD=∠FDA. 作法： 如图，①以点B为圆心，AC长 为半径作弧； E ②以点A为圆心，BC长为半第13题图 径作弧； 第11题图 ③两弧交于点D,C,D在AB同侧； ④连接AD,CD,则四边形ABCD是矩形. 根据小林同学设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图 痕迹) (2)证明四边形ABCD是矩形 12.(模考·贵阳市一模)(6分)下面是多媒体 上的一道试题： 如图，在菱形ABCD中， 过点B作BE⊥CD于点 E,点F在边AB上，AF= CE,连接BD,DE求证： 四边形BFDE是矩形 第12题图 嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路： 嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然 后利用矩形定义即可得证 琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用 “有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证. (1)嘉嘉的思路 琪琪的思路 (均选填“正确”或“错误”) (2)请按照你认为的正确思路进行解答： 4答案与解析 4).故答案为(5,4) 真题天天练（上） 12.15°【解析】，四边形ABCD是菱形，.∠D=∠B=50°， CA平分∠BCD,AB∥CD,∴.∠B+∠BCD=180°，∴.∠BCD 第一章特殊平行四边形 =180°-∠B=180°-50°=130°，.∠4ACE=)∠BCD= 卷1菱形的性质与判定 65°..AE=AC,∴.∠AEC=∠ACE=65°，.∠DAE= 1.D【解析】：四边形ABCD是菱形，.AB∥CD,∠BAD= ∠AEC-∠D=15°.故答案为15。 2∠1，.∠BAD+∠D=180°.：∠D=150°，.∠BAD= 13.【证明】，AB=AC,AD是BC边上的中线，∴.AD垂直平分 180°-150°=30°，.∠1=15°.故选D. BC,.EB=EC,FB=FC. 2.D【解析】CE⊥AE,∴.∠E=90°.AC=2CE,∴.∠CAE :CF∥BE,∴.∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD. =30°.四边形ABCD是菱形，，∠BCA=∠CAE=30°， 'DB=CD,∴.△EBD≌△FCD(AAS), ,.∠CBE=∠CAE+∠BCA=60°.故选D. :BE FC,:.EB BF=FC=EC, 3.B .四边形BECF是菱形. 4.A【解析】：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,OB=OD= 14.(1)【证明】：点D,E分别是边AB,AC的中点，.DE∥BC BD,OC=AC.DHLAB,OH BD,:OD =OH ,CF∥BE,∴.四边形BEFC是平行四边形，∴.CF=BE =4,BD=8:菱形ABCD的面积=2AC·BD=64, (2)【解】由(1)可得BC=2DE. .AC=16,.0C=8,.CD=VOC2+0D2=45.故选A :BE=2DE,BE=BC,.平行四边形BEFC是菱形， 5.C .BF⊥CE,∠ACB=∠ACF=70°， 6.A【解析】如图，连接AC交BD于点O,连接AE.,四边形 ∴.∠BFC=20°. ABCD是菱形，4CLBD,B0=BD,∠BA0=∠BAD =60,AD=AB=4,∠AB0=30°，A0=34B=2, 卷2矩形的性质与判定 1.C2.C .OB=VAB2-A02=2√5，∴.BD=2B0=45. 3.C【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.AO=OC=OB= :S6m=S6a+56e,方×45×2=方×4BF4克 OD 2 cm..OE:OD 1:2,.OE=1 cm,.'AE= ×4EG,∴.EF+EG=2√3.故选A. √A02-0E2=√4-1=V5(cm).故选C. 4.A【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.AO=BO,∠ABC= 90°.：∠AOB=60°，.△AB0为等边三角形，.∠BA0= 60°，∴.∠ACB=30°.设AB=x,则AC=2x,根据勾股定理， 得AB2+BC=AC,即x2+32=(2x)2,解得x=V3,.AB=V3, .矩形ABCD的面积为AB·BC=3V5.故选A 5.C【解析】A.AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形ABCD是 B D N 平行四边形，由AB=CD,不能判定四边形ABCD为矩形， 第6题答图 第7题答图 故选项A不符合题意，B.AD=BC,AD∥BC,∴.四边形 7.D【解析】如图，设EF与BC交于点K.由平移的性质得到EF ABCD是平行四边形，由AB=CD,不能判定四边形ABCD =AB=3,四边形BNFK是平行四边形，'.FK=BW=1, 为矩形，故选项B不符合题意.C.AD∥BC,.∠A+∠B ∴.EK=EF-FK=2. =180°.∠A=∠B,.∠A=∠B=90°，.AB1AD, EK∥AB,.∠KEC=∠BAC四边形ABCD是菱形， AB⊥BC,∴.AB的长为AD与BC间的距离.：AB=CD ∠ABC=120°，∴.∠BCA=∠BAC=30°，.∴.∠KEC=∠KCE .CD⊥AD,CD⊥BC,∴.∠C=∠D=90°，∴.四边形ABCD =30°，易得EC=V3EK=2√3.故选D. 是矩形，故选项C符合题意.D.:AD∥BC,∠A+∠B= 8.D【解析】A.:四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD, 180°，∠D+∠C=180°.∠A=∠D,.∠B=∠C.AB AB∥CD,OB=OD=号BD.:CE∥BD,四边形CDBE =CD,·四边形ABCD可以是等腰梯形，故选项D不符合题 是平行四边形，BD=CE,OD=)CE,故选项A不符 意.故选C. 合题意.B.四边形ABCD是菱形，BD平分∠ABC,故选 6.30°【解析】：四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于 项B不符合题意.C.四边形CDBE是平行四边形，∴.BE= 点O,∴.∠ABC=90°，OA=OB.AB=OB,.OA=OB CD.AB BC-CD,:BC-AB=BE.BC-E =AB,∴.△OAB为等边三角形，.∠BAO=60°，∴.∠ACB =90°-∠BA0=30°.故答案为30°. 故选项C不符合题意.D.,不能得出四边形CDBE是菱形， 7.8【解析】四边形ABCD是矩形，.OA=OB=OD .BE不一定等于BD,故选项D符合题意.故选D. ∠DAB=90°，∴∠ABO=∠BA0=60°，.∠AD0=∠DAO 9.2010.47 =30°.又OE⊥AD,∴.OE是Rt△ABD的中位线，∴.AB= 11.(5,4)【解析】：菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为 20E=4,∴.BD=2AB=8.故答案为8. (-3,0),(2,0),点D在y轴上，.CD=AB=AD=5.在 「8.4【解析】·四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,AD=BC, Rt△AD0中，由勾股定理可得D0=4,∴.点C的坐标是(5， AO=OC,∴.∠EAO=∠FCO.在△AE0和△CFO中， 真题圈数学九年级12N ∠EAO=∠FCO, ∴.四边形ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形) AO=OC. .△AE0≌△CFO,即阴影部分的面积等 ∠AOE=∠COF, 卷3正方形的性质与判定 于矩形ABCD的面积的一半.：矩形ABCD的面积是AB·BC 1.B2.B =2×4=8,.阴影部分的面积是4.故答案为4 9.号【解析】如图，过C作CELBD于B.:四边形ABCD是 3.D【解析】，四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BCA= 矩形，.CD=AB=3,BC=AD=4, 45°.由作图知，∠CAP=7∠DAC=22.5,·∠P=∠BCA- ∠CAP=22.5°.故选D. ∠DCB=90°.在Rt△BCD中，由勾股 E 定理得，BD=VBC2+CD2=√42+32= 4.B【解析】四边形ABCD为正方形，AB=2,.AC= 2√2.：O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边 5.SAc=BC CD=]BD.CE, 三角形，.∠A0E=90,AE=AC=22,A0=号AC=V2, 即号×4×3=7×5：CE,解得CE= 第9题答图 0E=√AE2-A02=V(2√2)2-(W2)}=V6.故选B. 号，即C到BD的距离为号.故答案为号 5.D【解析】四边形ABCD是正方形，∴.AB=CB,∠ABD= 10.2√5【解析】连接AH(图略).：四边形ABCD为矩形， ∠CBD=45°.∠BAE=53°，∴.∠AEB=180°-∠ABD- .AD∥BC,BC=AD=8,CD=AB=4,∠B=90° ∠BAE=180°-45°-53°=82°.在△ABE和△CBE中， 由作图方法可知，EF垂直平分AC,∴.AH=CH. AB=CB. AP=AB+B,∴.AP=42+(8-AH)2,.AH=5. ∠ABE=∠CBE,∴.△ABE≌△CBE(SAS),∴.∠CEB= :AD∥BC,.∠DAC=∠ACB.:∠AOG=∠COH,AO BE=BE, =OC,∴.△AOG≌△COH(ASA),.OG=OH. ∠AEB=82°，.∠CEF=180°-∠AEB-∠CEB=180°- :AC=VAB2+BC2=V42+82=45,A0=2N5, 82°-82°=16°.故选D. .0H=√AH2-A02=V52-(2N5)2=V5, 6.C【解析】：四边形ABCD为正方形，.∠C=90°，∠CDB .GH=20H=2√5.故答案为2√5， =45°，BC=CD.又.BE平分∠CBD,EF⊥BD,.EC= 11.【证明】四边形ABCD是矩形，.OA=OC,OB=OD,AC EF:∠CDB=45°，EF⊥BD,∴.△DEF为等腰直角三角形. =BD,∴AO=OD,∴∠ODA=∠OAD. DE=√2，.EF=1,.EC=1,.BC=CD=DE+EC OF=OE,∴.OA+OF=OD+OE,即AF=DE =√2+1.故选C. AD=DA,.△DAE≌△ADF(SAS), 7.B【解析】如图，连接BE.正方形ABCD的边长为6， SE方形ACm=6×6=36,.S△An= E .∠EAD=∠FDA 12.【解】(1)正确正确 分SE5n=18,S么a=S形m (2)选择嘉嘉的思路. =18.:E为AD的中点，S△cDe= 证明：，四边形ABCD是菱形， 寻S形Cn=9:P为CE的三等分点， .AB=CD,AB∥CD Sa=号S=6,S6c= FA=EC,∴.BF=DE. 号560e=3,S6e=SE方形m 第7题答图 .四边形BFDE是平行四边形 .CD⊥BE,∴.∠BED=90°，∴.四边形BFDE是矩形 S△ADS△cp-S△cpP=36-18-6-3=9,. 选择琪琪的思路 故选B. 证明：：四边形ABCD是菱形， 8.B【解析】，四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,∠ABD= .AD=BC,∠A=∠C 45°.EF⊥CF,∴.∠EFC=∠COF=90°，∴.∠EFG+∠CFO AF=CE,.△ADF≌△CBE(SAS), =∠FCO+∠CFO=90°，.∠EFG=∠FCO. ∴.∠AFD=∠CEB=90°，∴.∠DFB=90° EG⊥BD,∴∠EGF=∠FOC=90°. :CD∥AB,∠FBE=∠CEB=90°， ∠EGF=∠FOC 在△EFG和△FCO中，{ ∠EFG=∠FCO, ∴.∠DFB=∠FBE=∠BED=90°，∴.四边形BFDE是矩形 FE=CF, 13.(1)【解】如图，四边形ABCD为所求作 ∴.△EFG≌△FCO(AAS),∴.EG=OF=3. (2)【证明】连接BD,如图. :∠ABD=45°，.△EBG是等腰直角三角形， BC=AD. ∴.BE=√2EG=32.故选B. 在△ABC和△BAD中，{AC=BD, 9.16 AB=BA, B A 10.(-1,0)【解析】：点D的坐标是(2,3)，B,C在x轴上， ∴.△ABC≌△BAD(SSS), 第13题答图 .DC=3,0C=2. ∠BAD=∠ABC=90°，∴.∠ABC+∠BAD=180°， ,四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD=3, .BC∥AD. .OB=3-2=1. :BC∥AD,BC=AD,∴.四边形ABCD是平行四边形 .点B在x轴的负半轴上，.点B的坐标为(-1,0) .AC=BD, 故答案为(-1,0).