卷25 解直角三角形及其应用&卷26 专题实际应用的常见类型-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（人教版）

真题圈数学九年级RJ12N 卷25 解直角三角形及其应用 建议用时：25分钟满分：25分 一、选择题（每小题3分，共6分） 三、解答题（共16分） 1.(月考·厦门一中)如图，一艘轮船由西向东航 4.(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分 行到O处时，发现A岛北 别是∠A,∠B,∠C的对边.若a=V5,b= 在北偏东64°的方向且 √15，试解这个直角三角形 64° 与轮船相距52 n mile, 在A岛周围20 n mile 第1题图 水域有暗礁.若该轮船不改变航向继续航 行，为了保证航行安全，需要计算A到OB 的距离AC.下列算法正确的是( 5.情境题（期中·济南市中区）(10分)风能是 A.AC=52cos64° B.AC=-52 c0s64° 一种清洁无公害的可再生能源，因此日益受 C.AC=52sin64° D.AC=52tan64° 到世界各国的重视.如图， 2.（月考·长沙一中教育集团)如图，某建筑物 AB是某地山坡上新建的一 AC直立于水平地面，BC= 台风力发电机，同学为测量。…。 9m,∠B=30°，要建造楼 这台发电机AB的高度，在 第5题图 梯，使每级台阶高度不超过B C处测得发电机底端B的仰角为15°，沿水 20cm,那么此楼梯至少要建 第2题图 平地面前进30m到达D处，测得发电机顶 ()级（最后一级不足20cm时，按一级 端A的仰角为53°，测得山坡的坡角∠BDE 计算，√3≈1.732) =30° 参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， A.27 B.26 C.25 D.24 tam53≈号5≈1.732 二、填空题（共3分） (1)求斜坡BD的长. 3.（期中·武汉江岸区)如图，一条笔直铁路MN (2)求这台风力发电机AB的高度.（结果精 和一条笔直公路PQ在 确到0.1m) 点O处交汇，∠QON=M A 30°.在点A处有一栋居 第3题图 民楼，OA=200m,已知火车行驶时，周围 200m以内都会受到噪声的影响.若火车在 铁路MN上沿ON方向以每秒20m的速度 行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为 $.（不考虑火车长度，结果保留小 数点后一位，参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732) 44 真题天天练 卷26专题 实际应用的常见类型 类型1方向角 北偏东30°方向，测绘员从A小区出发，沿主 1.如图，点A到点C的距离为100m,要测量 输气管道步行到达C处，此时测得M小区 河对岸点B到河 位于北偏西60°方向 北 岸AD的距离.小 (1)求∠AMC与∠ACM的度数； B +东 明在点A测得点 (2)现要在主输气管道AC上选择一个支管 B在北偏东60°的 道连接点N,使从N处到M小区铺设的管 方向上，在点C测 道最短，且AC=2000m,求A小区与支管 得点B在北偏东 第1题图 道连接点N的距离. 30°的方向上，则点B到河岸AD的距离为 北 ( )(点A,B,C,D在同一水平面上) A.100m B.50m 西 东 C.200W3 m D.503m 南 3 2.（中考·天津市)如图，一艘货船在灯塔C的 第3题图 正南方向，距离灯塔257 n mile的A处遇险， 发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的 南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东 60°方向上的B处，救生船接到求救信号后， 立即前往救援.求AB的长（结果取整数）， 参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73. 类型2仰角、俯角 北 4.(月考·广东实验中学)如图，从楼顶A处看 东 40 楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D 处的俯角为60°，已知楼高AB为30m,则荷 B A60 塘的宽CD为 m.(结果保留根号) 第2题图 609 .、309 459 D 第4题图 第5题图 5.（模考·大连中山区一模)如图，热气球的探 测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C 3.（模考·深圳南山区一模)如图，某天然气公 的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°， 司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区 热气球与该楼的水平距离AD为60m,则大 的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处 楼BC的高度为 m.（结果精确到 测得另一个需要安装天然气的M小区位于 1m,参考数据：√3≈1.73) 45 真题圈数学九年级RJ12N 6.(月考·重庆一中)如图，周末，小明和小红类型3坡度、坡角 相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点 7.如图为大坝的横断面，斜坡AB的坡比 A,B在同一水平线上).小明在A点处测得 i=1:2,背水坡CD的坡比i=1:1,若 山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿 坡面CD的长度为6√2m,则斜坡AB的 AC爬山到达山顶C.小红从点B出发，先爬 长度为( ) 长为400W3m的山坡BD到达点D,BD的 A.43m 坡度为√3：1，然后沿水平观景步道DE走了 B.63m 900m到达点E,此时山顶C正好在点E的 C.6/5m 第7题图 东北方向1800m处，最后爬山坡EC到达山 D.24m 顶C(点A,B,C,D,E在同一平面内，小明、 8.（(月考·西安高新一中)某商场准备改善原 小红的身高忽略不计).（参考数据：√2≈ 有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°， 1.414,3≈1.732) 已知原楼梯长为5m,则调整后的楼梯大约 (1)求山顶C到AB的距离（结果保留整数）. (2)若小明和小红分别从点A、点B同时出 会加长 参考数据：5m37≈房， 发，小明的爬山速度为70m/min,小红的 爬山速度为60m/min(小红在山坡BD、山 c0s37°≈ ，an37 4 坡EC段的速度相同)，小红的平路速度为 9.(模考·广州海珠区一模)如图，某地为了让 90m/min,请问谁先到达山顶C处？请通过 山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线， 计算说明理由 经过中转站D,再连通到山顶A处，测得山 北 顶的高度AC为300m,从山脚B到山顶A 西 ·东 南 的水平距离BC是500m,斜坡BD的坡度 B i=1:2(指DF与BF的比)，从点D测得点 第6题图 A的仰角为45° (1)斜坡AD的坡度i= (2)求AD与BD的长度和（结果保留根号） D 第9题图 46真题圈数学九年级RJ12N 第二十八章锐角三角函数 ∴.∠ABG=∠BCO 卷24锐角三角函数 ·m∠c=8=器-7∠A0G=%-瓷-9， AB BC2 1.C【解析】∠C=90°，AC=4,AB=5, .AG=V3,BG=3,.OG=OB+BG=1+3=4, Bc=Va82-4C=3.mA=8瓷= .顶点A的坐标是(4，√3).故答案为(4，√5). 2.D【解析】连接BC(图略)，由题意可得OB=OC=BC,则 13.【解(1)原式=1-√5+2=3-√5. △0BC是等边三角形，故si血∠40C=sin60°=5.故选D. 2)原武=93x52x9×号 2 3.D =9-35-1=-6-1 4.A【解析】设大正方形的边长为c,直角三角形的短直角边 14.【解】(1)：CD⊥AB,∴.△ACD,△BCD均为直角三角形 长为a,长直角边长为b,由题意可得c2=25,b-a=√1=1， 在Rt△CDB中，：BD=6,mB-品-子CD=4 4=c,解得a=3,b=4,c=5,tama=号-是放选A 在Rt△CDA中，AC=VCD2+AD2=V42+22=2√5 5.B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A的度数不断增 (2)如图，过点E作EF⊥AB,垂足为F 大时，cosA的值的变化情况是不断减小，故选B. .CD⊥AB,EF⊥AB,.CD∥EF 6.C【解析】如图，设AC与BD交于点O. A 又：点E是边BC的中点， ,四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,AO ∴.EF是△BCD的中位线 D =2AC=2,∠A0B=90°. DF=BF-3.EF-CD=2. 第14题答图 :sm∠BD=号且40=2品=号， .AF=AD+DF=5. ∴AB=3,.在Rt△AB0中，BO= B 在Rt△AEF中，AE=√AF2+EF2=V52+22=√29 √AB2-A02=V32-22=5,∴BD=2B0 第6题答图 如∠0-器-高易西 =25,·菱形ABCD的面积=2AC·BD=7×4×25= 15.【解】如图，过点C作CE∥AB,则点E为格点，且∠AOD= 4W5.故选C. ∠DCE,过点E作EF⊥CD于点F,则 7.B【解析】由题意得AB=8,OA-OH=3.,OH⊥AB,∴.AH ∠EFC=90°，连接DE. =BH 4..AH2+0H2=OA,..42=(0A+0H)(OA-OH), 由图可得CD=√22+62=2√10，CE= 0a+oH-9,0A-2,oH=, V?+12=2, 册-青装故选A COs Z OAB=4H 4 Sae=3x6-3x5x3-2×1× 1-7x2×6=4:S6e=方× B 8.A【解析】：∠ACB=90°，BC=4,AB=5,.AC= √AB2-BC2=V52-4?=3.由旋转的性质，可得AB=B=5, CD·EF,即4=号×210×EF, 第15题答图 ∴.AC=AB-BC=5-4=1. 2V10 ∠ACB=90°，.∠ACA'=180°-∠ACB=90° ·EF=2 5 .在Rt△CEF中，sin∠DCE=ES =2= 在R△AC中，am∠'AC==兮放选A 25 sim∠40D=25 5 9.-1【解析】原式=2-√5×√3=2-3=-1.故答案为-1. 1a60【解析]由题意得血4-9-0，}-co小-0， 卷25解直角三角形及其应用 六snA-9,cosB=∠A=60,∠B=60, kA【解折】由题意可得∠CM0=64,c0s∠C40=品，即 ∠C=180°-∠A-∠B=60°.故答案为60° c0s64=%4C=52cos640,故选A 1山.号【解析]在R胜△ABC中，：∠ACB=90,4C=3,BC=4, 2.B【解析】所有台阶高度和为AC的长.设此楼梯至少要建x ,AB=√AC2+BC2=5.∠ACB=90°，CD⊥AB, 阶，可得n0=器-=9所以x=155=26(阶).数选日 .∠ACD+∠A=90°，∠A+∠B=90°， 3.17.3【解析】如图，过点A作AC⊥MN于C,以点A为圆心， 六∠4CD=∠B,cs∠4CD=sB=验=号.故答案为号 AB-51 以200m为半径画圆，则⊙A交MN --.BN 于点O.设另一个交点为B,连接 P、 12.(4,√3)【解析】如图，过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G, :B,C的坐标分别是(1,0)， AB.当火车行驶到点O,开始影响居 M (0,√5)，0C=3,0B=1, 30 民楼，当驶离点B时，结束影响居民 楼.：OA=200m,∠A0B=30°， 第3题答图 BC=V12+(N3)2=2. :∠ABC=90°，∠BAC=30°， :.0c=50A=100N5m OB G 2 第12题答图 .AC LOB,.OB 20C =2003 m, ∴.影响所持续的时间为200√5÷20=10W3≈17.3(s). :∠ABG+∠CB0=90°，∠BCO+∠CBO=90°， Q故答案为17.3. 答案与解析 4.【解】在Rt△ABC中，由勾股定理得c=√a2+b2= (2)如图，当MW⊥AC时，从N处到M小区铺设的管道最短，在 +=25.m4=号=治=号4= Rt△AMC中，：∠AMC=90°，∠MAC=30°，AC=2000m, 30°，.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. :4M=5AC=200x5=10005(m. 2 2 5.【解】(1)由题意得∠BCE=15°，CD=30m 在Rt△AMN中，：∠AWM=90° :∠BDE是△CDB的一个外角，∠BDE=30°， R4N=94M=10ooW3×9=1500(m ∴.∠CBD=∠BDE-∠BCE=15°， 答：A小区与支管道连接点N的距离为1500m .∠CBD=∠BCE=15°， 4.(30-105)【解析】由题意知∠BAC=90°-45°=45°， ∴.CD=BD=30m, △ABC是直角三角形. .斜坡BD的长为30m (2)在Rt△BDE中，∠BDE=30°，BD=30m, 在Rt△1BC中，m∠B4C-%,AB=30m, ∴.BC=AB·tan45°=30m BE=BD 15 m,DE=3 BE =15 3 m. 在R△AED中，∠ADE=53,am∠ADE=, :∠BAD=90-60=30,am∠BAD-=90, AE=DE·tan53≈155×等205(m), ÷BD=AB·m30°=30×号=10W5m, .CD=BC-BD=(30-10√3)m.故答案为(30-10√5). .AB=AE-BE=205-15≈19.6(m), 5.95【解析】由题意可得AD=60m,∠ADC=∠ADB=90° ∴.这台风力发电机AB的高度约为19.6m 在Rt△ADC中，∠CAD=30°，AD=60m, 卷26专题实际应用的常见类型 m∠C0=8-0-9c0=2w5m 1.D【解析】过点B作BML AD于点M,如图 在Rt△ADB中，∠DAB=45°，AD=60m, 由题意，得∠BAD=90°-60°=30°， m∠DMB=0=1,BD=60m, ∠BCD=90°-30°=60°，∴.∠ABC= ∴.BC=BD+CD=(60+20N5)m≈95m, ∠BCD-∠BAD=30°，∴.∠BAD= 即这栋楼的高度BC约为95m ∠ABC,,.BC=AC=100m. 6.【解】(I)如图，过点C作CH⊥AB,垂足为H,过点D作DF⊥ .'BM⊥AD,.∠BMC=90° BA,垂足为F,延长DE交CH 北 在R△BCM中，sn∠BCM=2, 于点G. 东 第1题答图 BM=BC·sim∠BCM=100×5=50N5(m). 由题意得DG⊥CH,DF= DE 南 2 2--G 即点B到河岸AD的距离为503m.故选D GH,∠CEG=45° H 2.【解】如图，过点B作BH⊥CA,垂足为H. 在Rt△BDF中，tanB=DE BF 第6题答图 根据题意，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257 n mile. -5-5,∠B=60 在Rt△ABH中， 北 n∠BMH=器，cos∠BAH= AH →东 :BD=4005m,DF=BD·sin60°=4005×5 AB' 40 .BH=AH·tan60°=√5AH,AB= 60(m,BF=BD·cos60=405×号2005(m, cos60°=2AH AH H. '.DF=GH=600m. B 在Rt△BCH中，，'tan∠BCH= BH A/60 在Rt△CEG中，CE=1800m, CH ∴.CH= BH 3AH 第2题答图 icG=CEsm45=180×号=90w5m). Ftan40°=tan40° .∴.CH=CG+GH=900W2+600≈1873(m), 又：CA=CH+AH,257=3A tan 40 :+AH, .山顶C到AB的距离约为1873m :AH=257×tan40 (2)小红先到达山顶C. (n mile). tan40°+√3 理由：在Rt△ACH中，∠A=30°，CH=(600+900W2)m, AB=2x257xtam40°≈2x257x0,84=168(mile). ∴.AC=2CH=(1200+1800W2)m tan40°+√3 0.84+1.73 DE=900m,小明的爬山速度为70m/min,小红的爬山速 答：AB的长约为168 n mile.. 度为60m/min,小红的平路速度为90m/min,.小明到达山顶 3.【解(1)如图，：∠MAC 北 =60°-30°=30°，∠ACM 60° C需要的时间=4S=1200+1800W5≈53.5(min).小红到达 70 70 =30°+30°=60°， 山顶C需要的时间=D+CE+D5=400W5+1800+900≈ N南 60 90 60 90 .∠AMC=180°-30° 30 60o 51.5(min) 60°=90°， .∠AMC与∠ACM的 西 “东 ,51.5min<53.5min,.小红先到达山顶C. A I.C【解析】过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥AD于F,如图 度数分别为90°，60°. 第3题答图 所示，则四边形BEFC是矩形，·BE=CF 真题圈数学九年级RJ12N .背水坡CD的坡比i=1:1,CD=6W2m, 4.C5.不变 .CF=DF=2 CD=6m,BE CF=6m 6.8V3【?解析】：∠ACB=90°，BC=12cm,AC=8cm, 又：斜坡4B的坡比i=1:2=距4B=28E=12m, .4B =4v13 cm :△ABC∽△AB,C1, .AB=√AE2+BE2=V122+62=65(m). .A,B,:AB=B,C,:BC=24cm:12cm=2:1, 故选C. .A,B,=8W13cm. B 故答案为8√3， 7.【解如图，延长MC交AB于点T,则四边形MNBT是矩形， .MN BT =1m,BN MT. E F 设BN=MT=xm, 第7题答图 8.1【解析】如图，在Rt△BAD中，AB=5m,∠BAD=37°， :D∥器=器， 则BD=AB·sSin∠BAD≈5×2=3(m). 授=024=2xm, AT 51 .'AB AT+BT =(2x+1)m. 在Rt△BCD中，∠C=30°， EF∥AB, .∴.BC=2BD≈6m, 1 则调整后的楼梯大约会加长6-5=1(m), ·器=腸·=6中 故答案为1. 解得x=49, .AB=2x+1=99m. 答：揽月阁的高度为99m A D 第8题答图 9.【解(1)1：1 分析：：从点D测得点A的仰角为45°，DE⊥AE, ∴.∠ADE=∠DAE=45°， ∴.DE=AE. 、D .斜坡AD的坡度i=AE:DE=1:1. 这F B NEP (2)设DF为xm,DF:BF=1:2,.BF=2xm 第7题答图 AC=300m,BC=500m, ∴.AE=(300-x)m,DE=(500-2x)m 卷28三视图 AE=DE,.300-x=500-2x, 1.B2.C3.B 解得x=200, 4.A【解析】若去掉1号小正方体，主视图一定变化，主视图中 .'DF 200 m,BF =400 m,AE DE 100 m. 最右边的一列由两个小正方形变为一个小正方形.从上面看 在Rt△ADE中，AD=√DE2+AE2=100√2m 到的小正方形的个数与排列方式都不变，所以俯视图不变.从 在Rt△BDF中，BD=√BF2+DF2=200√5m, 左面看到的小正方形的个数与排列方式都不变，所以左视图不 .AD+BD=(100V2+200V5)m 变.所以A项符合题意，B,C,D项都不符合题意.故选A 5.B 第二十九章投影与视图 6.主视图左视图7.圆柱 卷27投影 8【解】这个组合体的三视图如图所示 1.A 2.C【解析】A.平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题 意；B.线段的正投影可能是线段，也可能是点，故此选项不符合 题意；C.圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合 题意；D.若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相 主视图 左视图 同，故此选项不符合题意.故选C. 3.A【解析】一天中太阳位置的变化规律是：从东到西，太阳 的高度变化规律是：低→高→低.影子位置的变化规律是：从 西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长.根据影子变化 俯视图 的特点，按时间先后顺序排序是②④①③⑤.故选A 20 第8题答图