卷7 专题二次函数的综合-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（人教版）

真题圈数学九年级RJ12N 卷7专题 二次函数的综合 类型1最值问题 类型2面积问题 1.已知点A(2,4),B(0,1),点M在抛物线y= 4.（期中·中山市)如图，正方形的边长为4，以 子2上运动，则AM4BM的最小值为 正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作 2.(期中·武汉汉阳区)如图，四边形ABCD的 出函数y=青2与y=- }公的图象，其中 两条对角线AC,BD互相垂直，垂足为O点， 阴影部分的面积是 且AC+BD=10.若四边形ABCD有最大面 DC 积，则求出此时的AC与BD的长及这个最 大的面积. B 第4题图 第5题图 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x2+4x+m与x轴交于点C,D,与y轴交 第2题图 于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点 B.若AB+CD=6,则四边形ABCD的面积 为 6.（月考·合肥四十五中节选)如图，已知抛物 线y=-寻+bx+c经过点A(0,2,点C(4, 0),且交x轴于另一点B. (1)求抛物线的解析式. 3.(月考·吉林省第二实验学校)已知函数y= (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求 x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3)， △ACM面积的最大值及此时点M的坐标. (6,3) y (1)求b,c的值 (2)当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值 B O 之差 备用图 第6题图 12 真题天天练 7.(中考·陕西)已知抛物线Ly=x2+x-6与：类型3 存在性问题 x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 8.如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C, 并与y轴相交于点C. 点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若存在 (1)求A,B,C三点的坐标，并求△ABC的 △PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P 面积. 的坐标为 (2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物 线L',且L与x轴相交于A',B两点（点A在 点B'的左侧)，并与y轴相交于点C',要使 △A'B'C和△ABC的面积相等，求所有满 BI O 足条件的抛物线的函数解析式 第8题图 第9题图 9.如图，抛物线y=)+)x3与x轴的负半 轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点D, E分别是直线x=-1与抛物线上的点，若点 A,B,D,E围成的四边形是平行四边形，则 点E的坐标为 10.(期中·福州晋安区改编)如图，在平面直 角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c交x轴于A(-1,0), B(3,0)两点，交y轴于点C 若在x轴上方的抛物线上 存在一点D,使得∠ACO= 第10题图 ∠BCD,点D的坐标为 11.已知抛物线y=-x2+2bx+n(b>0)的顶点为 A,交y轴于点B;抛物线y=x2+2bx+m的 顶点为C,交y轴于点D.若m-n=6,且存 在以A,B,C,D四点为顶点的四边形为矩 形，则b= 12.如图，直线y=-x-2与抛物线y=ax2+bx 6a≠0)相交于点4行，和点B(4,n) 抛物线与x轴的交点分别为C,D(点C在 点D的左侧)，点P在线段AB上运动（不 与点A,B重合)，过点P作直线PE⊥x轴 于点F,交抛物线于点E (1)求抛物线的函数解析式， 13 真题圈数学九年级RJ12N (2)如图，连接AE,是否存在点P,使13.探究性问题如图，二次函数y=x+bx+c的 △APE是直角三角形？若存在，请求出点 图象交x轴于点A(-3,0),B(1,0),交y P的坐标；若不存在，请说明理由 轴于点C.点P(m,0)是x轴上的一动点， y PMLx轴，交直线AC于点M,交抛物线于 D 点N (1)求这个二次函数的解析式 (2)①若点P仅在线段AO上运动，求线段 B MN长度的最大值 第12题图 ②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否 存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四 边形为菱形？若存在，请直接写出所有满 足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明 理由 第13题图 14真题圈数学九年级RJ12N 坐标分别为(0,0)，(2,0).综上，b的值是1或0.故答案为1或0. 当40≤1K80时，w=(p-25)·y=(40-25)(-24120)=-301+ 7.y=x2+4x+3【解析】设A(x,0),B(x2,0).令y=0,则x2+4x+ 1800,:-30<0,.w随着t的增大而减小，.当t=40时，w m=0.由根与系数的关系，得x+x2=-4,x2=m, 取最大值，此时w=-40×30+1800=600(元). 则AB=x-x,=V(x+x2)}2-4xx2=V16-4m. 800>600, 令x=0,得y=m,.C(0,m). ∴.第20天的销售利润最大，最大日销售利润为800元 :CD∥x轴，.点D的纵坐标为m.当y=m时，则x2+4x+m 7.【解】(1)设矩形的宽AB的长为xm,则有AD=(40-2x)m, =m,解得x=4或x=0,D(-4,m),∴.CD=0-(-4)=4. .x(40-2x)=150,解得x1=5,x2=15.当x=15时，AD= ,AB+CD=6,∴.AB=V16-4m=2,解得m=3. 10m,不满足AD≥AB,.宽AB的长为5m .抛物线的解析式为y=x2+4x+3.故答案为y=x2+4x+3. (2)已知矩形的宽AB的长为xm,矩形ABCD的面积为ym, 8.(1)【证明】冷y=0,则x2-(m+2)x+2m-1=0,.4=[-(m+ 由题意，得y=x(40-2x)=-2x2+40x. 2)]2-4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4=m2-4m+8=(m-2)244≥4， “AD≥B,40-2≥x,解得0<x≤想，y与x的函数解 ∴.>0，∴.方程总有两个不相等的实数根，即不论m取何值， 析式为y=-2x+40x,自变量x的取值范围为0x≤智 该函数图象与x轴总有两个交点。 (3)由(2)可知y=-2x2+40x, (2)【解.函数图象与y轴交于点(0,3)..2m-1=3,∴.m=2, ∴.-2<0，即开口向下，对称轴为x=10. .抛物线的解析式为y=x2-4x+3.,y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 当y=0时，0=(x-2)2-1,∴.x=3,x2=1,∴该函数的图象 ”自变量x的取值范围为0≤9， 与x轴的交点坐标为(3,0)或(1,0). ∴.当x=10时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为y= -2×102+40×10=200(m2). 卷6实际问题与二次函数 答：当矩形地块的宽为10m时，矩形ABCD的面积最大，最大 1.C【解析】：长方形一边的长为xm,周长为20m,∴.与此 面积为200m2. 边相邻一边的长为(10-x)m,则长方形的面积y=x(10-x)= 8【解】(1)·8-6=2，∴抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线 -x2+10x.故选C. 的解析式为y=a(x-2)2+3,把点A(8,0)的坐标代入，得36a+3= 2.C【解析】：h=-2P+20t+1=-2(t-5)2+51, 0,解得a=立抛物线的函数解析式为y=--2)43 .当t=5时，礼炮升到最高点.故选C 3.B【解析】从图象上看，抛物线开口向上，有最低点，x的值离 (2)当x=0时y=-立×43=号>24，球不能射进球门。 (3)已知，小明带球向正后方移动nm,则移动后抛物线的解析 对称轴越近，函数y的值越小，若对称轴是x=x2,A,C两点应 该要一样高（即y值相等），但是很明显A点比C点低，说明A 式为y=x2-n43由题意，得25≤-02-43， 点离对称轴更近，所以对称轴在A,B之间，即x,<x<x2故选B. 解得-5≤n≤1由题意，得240-2243，解得心-2 42+厨【解析】当y=0时，-方4号+月=0，解得x= 6g5或m-246g5.又n0.2+5 5 <n≤1. 5 2+34,x=2-34(不合题意，舍去)，所以推铅球的水平距 3 3 卷7专题 二次函数的综合 离是2+y34m.故答案为2+y34m 3 1.5【解析】设点Mmm 5.26【解析】由二次函数的图象可知，A(22,0)在抛物线上，把 42,0的坐标代入y=岛6x1k得0=贵(2-1 则点M到x轴的距离为子m心， A +6,解得太=13，y=岛x-)41B3:P和P关于x轴 aM=y(m-0+1) M 对称，∴.Pp'=2×13=26(m).故答案为26. =号㎡+1，点M到点B的 30=b, 0 6.【解】(1)当0≤tK40时，设p=t+b,则有{ 解得 距离与点M到直线y=-1 B 40=40k+b, 的距离相等.：点A的横坐 第1题答图 [k=子此时p=云*30： 标为2，∴.当点M为直线x=2与抛物线的交点时，AM+BM b=30, 取得最小值.如图，设直线x=2与直线y=-1的交点为 当40≤tK80时，p=40, B(2,-1),.AB为AM+BM的最小值，AB'=4-(-1)=5.故 综上所述，销售单价p(元kg)与时间t(天)之间的函数解析式 答案为5. 为p= 2+300≤1<40， 2.【解】设AC=x,则BD=10-x 40(40≤t<80). 又ACLBD,所以=24C~BD (2)设日销售利润为w元，则有当0≤K40时， 即Sm=号4C~BD=x(10-)=-x-5)42 w=0p-25y=(（2+30-25j-24120)=-号4204600 则当4C=BD=5时，S边形4D有最大值，最大值为匀 =-2-204800 3.【解】(1)函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3)， :-3<0当1=20时，w有最大值为800元： ∴.c=3,.y=x2+bx+3.将点(6,3)的坐标代人可得3=6+6b+ 3,解得b=-6,.b=-6,c=3. 答案与解析 (2)y=x2-6x+3=(x-3)2-6,当0≤x≤4时， In-ml=5, ①当x=3时，y取得最小值，此时y=(3-3)2-6=-6; ∴.(n-m)2=25,,∴.(m+n)2-4mn=25, ②当x=0时，y取得最大值，此时y=(0-3)2-6=3. ∴.b2-4×6=25,解得b=7或b=-7, 3-(-6)=9,∴.当0≤x≤4时，y的最大值与最小值之差为9. ∴.抛物线L的解析式为y=x2+7x+6或y=x2-7x+6. 4.8【解析小：函数y=32与y=-了2的图象关于x轴对称， 综上所述，抛物线L'的解析式为y=x2-x-6或y=x2+7x+6或 ∴.题图中的阴影部分的面积是题图中正方形面积的一半.又 y=x2-7x+6. 边长为4的正方形的面积为16，.题图中的阴影部分的面积 8.(1+√2,2)或(1-√2,2)【解析】.'△PCD是以CD为底的等 是8.故答案为8. 腰三角形，∴.点P在线段CD的垂直平分线上，如图，作CD的 5.9【解析】y=-x2+4x+m,.抛物线的对称轴为x=2, 垂直平分线PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点. .AB=4AB+CD=6,.CD=6-4=2,∴.由抛物线的 .抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C, 对称性可得点D的坐标为(1,0)，点C的坐标为(3,0).将(1,0) .C(0,3),且D(0,1), 代入y=-x2+4x+m得0=-1+4+m,解得m=-3,.0A=3, ∴.点E的坐标为(0,2)， :四边形ABCD的面积为4B+CDOA=方×6x3=9故 ∴.点P的纵坐标为2，在y=-x2+2x+3中， 令y=2,可得-x2+2x+3=2, 答案为9. 解得x=1士√2， 6.【解】(1)将点A(0,2),点C(4,0)的坐标代入抛物线的解析 第8题答图 ∴.点P的坐标为(1+√2,2)或(1-√2,2) =C, 式y=-4bxc,可得 1 解得 b2 故答案为(1+√2,2)或(1-√2,2). 0= ×42+4b+c. 4 c=2, ·该抛物线的解析式为y=一+方x2 9.(-4,3)或(2,0)或(-2，-2)【解析】抛物线y=+2x -3与x轴的负半轴交于点A,与y轴 (2)如图，过点M作MN⊥x轴，与AC交于点N 交于点B,.A(-3,0),B(0,-3).当 设直线AC的解析式为y=x+b,将 y M AB为平行四边形的边时，AB∥DE, 点A(0,2),C(4,0)的坐标代入， E D, 且AB=DE,∴线段DE可由线段 可每=，解得及=- B O AB平移得到.·点D在直线x=-1 0=4k+b, 6=2, 上，①当点B的对应点为D,时，如图， ∴.直线AC的解析式为y=-2+2, 第6题答图 需先将AB向左平移1个单位长度， 可设点Mm-子m2+m+2,则Nm,-m+2, 此时点A的对应点E,的横坐标为-4， 将x=4代人y=43,得y 第9题答图 w-(m+m+2） m2+m =3,∴E,(-4,3).②当点A的对应点为D,时，同理，先将AB =2MW0C=2×（ 向右平移2个单位长度，可得点B的对应点E,的横坐标为2， 4 m2+m×4=-(m-2)2+2, ∴当m=2时，△ACM的面积最大，最大值为2，此时点M的 将x=2代入y=7+7x-3,得y=0,E,(2,0当AB为 坐标为(2,2) 平行四边形的对角线时，可知B的中点坐标为（多引 7.【解】(1)令y=0,得x2+x-6=0, D,在直线x=-1上，∴.根据对称性可知E,的横坐标为-2， 解得x1=-3,x2=2, 将x=-2代人y=+x-3,得y=-2,·E,(-2,-2).综 A(-3,0),B(2,0). 上所述，点E的坐标为(-4,3)或(2,0)或(-2，-2).故答案为(-4， 令x=0,得y=x2+x-6=-6,∴.C(0,-6), 3)或(2,0)或(-2，-2) ∴S6Hc=3AB·0C=3×(2+3)x6=15 10.(4,5)【解析】由题知y=(x-3)(x+1)= (2):将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线'， x2-2x-3,则点C(0,-3).如图，过点A作 .A'B'=AB 5. AK⊥AC交CD于点K,过点K作H⊥x轴 :△'BC和△ABC的面积相等， 于点H,.·∠ACO=∠BCD,.∠ACOH ∴.OC=OC=6,即点C的坐标为(0，-6)或(0,6). ∠DCO=∠BCD+∠DCO,即∠ACD=∠BCO 设抛物线L'的解析式为y=x2+ax-6或y=x2+bx+6, :OB=OC=3,.∠ACD=∠BC0= 设'(m,0),B(n,0), 45°，∴AC=AK.:∠AOC=∠KHA= 第10题答图 当m,n为方程x2+ax-6=0的两根时，m+n=-a,mn=-6. 90°，∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH,.△OAC≌△HKA In-ml =5, (AAS),.AH=C0=3,KH=OA=1,.K(2,1).设直线 .∴.（n-m)2=25,.∴.(m+n)2-4mn=25, CD的解析式为y=x-3,∴2k-3=1,k=2,∴直线CD .∴.a2-4×(-6)=25, 的解析式为y=2x-3,联立y=-2x-3,解得x=0(舍去) 解得a=1或a=-l, y=2x-3, .抛物线L'的解析式为y=x2+x-6(舍去)或y=x2-x-6. 或x=4,.D(4,5).故答案为(4,5) 当m,n为方程x2+bx+6=0的两根时，m+n=-b,mn=6. 5山5【解析由题意可得，当x=2之)=6时，y=4, 2b 真题圈数学九年级RJ12N 当x=0时，y=46,m4的B0,m小.当x=费=-b :C(0,-3),∴.MC=Vm-0)2+(-m-3+3)2=V2m2. 时，y=m-b2,当x=0时，y=m,.D(0,m),C(-b,m-b), .-m2-3m=√2m2. ,AC,BD是该四边形的对角线.：四边形为矩形，m-n=6, 将方程两边平方并整理，得m+6m+7m2=0. ∴.AC=BD2,即(2b)2+(n-m+2b2)2=(n-m)2,化简，得1+b2+ :m≠0，∴.m+6m+7=0,解得m,=-3+√2，m,=-3-√2 (n-m)=0,解得b,=√5，b,=-√5（不符合题意，舍去）. 当m=-3+√2时，CQ=MW=3√2-2， 故答案为V5。 .0Q=3+(32-2)=3V2+1,∴.Q(0,-3V2-1): 12.【解】(1)直线y=-x-2经过点B(4,n),.n=-4-2=-6, 当m=-3-√2时，CQ=MW=3v2+2, “B(4,6.把A3,引和B(4,-6)的坐标分别代入y= .0Q=-3+(3√2+2)=3√2-1，.Q(0,32-1). ◆y 1 4-6,得+-6=-解得 5 a=-2, 16a+4b-6=6, b=8, 0 B x ∴.该抛物线的函数解析式为y=-2x2+8x-6. (2)存在 设P(m,-m-2)2<m<4,则E(m,-2m+8m-6) 1 设直线AB交x轴于点K,则K(-2,0),过点B作BH⊥x轴于 点H,则H(4,0)(图略)， Q .BH=6,HK=4-(-2)=6,.BH=HK, ① ③ .△BHK是等腰直角三角形，.∠BKD=45° 第13题答图 .PE⊥x轴，∴.∠APE=45°. (i)如图②，当四边形MNCQ为菱形时，有MN=NC=CQ, :△APE是直角三角形，∴∠PAE=90°或∠AEP=90°， :'N(m,m2+2m-3),C(0,-3), 当∠ABP=90时，AE∥x轴，.-2m+8m-6=-2, 5 .NC=V(m-0)2+(m2+2m-3+3)2=Vm+4m2+5m2 .-m2-3m=√m4+4m3+5m2, 解得m=舍去)或m=子P径-) 将方程两边平方并整理，得2m+4m2=0. 当∠PAE=90时，过点A作AT⊥PE于点T(图略)， :m2≠0，∴.m+2=0,解得m=-2. 则7m-引 当m=-2时，MN=CQ=2,∴.Q(0,-1). 综上，点Q的坐标为(0，-3√2-1)或(0，-1)或(0,32-1). :△APE是等腰直角三角形，AT=号PE, m号=号(-2m48m-6)-(m-2], 第二十三章旋转 卷8图形的旋转 解得m=(舍去)或m=3,·P(3,-5). 1.A 综上所述，点P的坐标为3》成3，-5) 2.D【解析】OB旋转后的对应边为OF,故∠BOF可以作为旋 13.【解】(1)把A(-3,0),B(1,0)的坐标代入y=x2+bx+c,得 转角，故A选项不符合题意；OA旋转后的对应边为OD,故 0=9-36+6解得=2， ∠AOD可以作为旋转角，故B选项不符合题意；OC旋转后的 0=1+b+c,1c=-3。 对应边为OE,不是OF,故∠COE可以作为旋转角，∠COF不 .这个二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 可以作为旋转角，故C选项不符合题意，D选项符合题意. (2)①由(1)可得C(0,-3),设直线AC的解析式为y=c+t, 3.D 把A(-3,0),C(0,-3)的坐标代入y=+t, 4.B【解析】：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C, 得0=3k+解得=3y=x-3. .AC=AC,∠CAC=90°，∠B=∠AB'C,.∠ACC=45°， -3=6, .∠ABC=∠ACC+∠CCB'=45°+20°=65， 点P(m,0)是x轴上的一动点，且PMLx轴， .∠B=∠ABC=65°.故选B. .M(m,-m-3),N(m,m2+2m-3). 5.B【解析】：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, :点P在线段OA上运动，即-3≤m≤0， ∴AB=AD,AC=AE,BC=DE,∠ABC=∠ADE=65°， w=(m3》-(m+2m3)=r3m=-(a++2 .∠BAD=∠CAE=50°.故选B, 6.C :-1<0,W有最大值.当m=-多时，W有最大值t? 7.D【解析】当a=30时，过点C作CF⊥AE,如图①. ②存在.点Q的坐标为(0，-3√2-1)或(0，-1)或(0,3√2-1) .四边形ABCD是正方形，∴.AC=√2a. 分析：：点P(m,0)是x轴上的一动点，且PM⊥x轴 根据旋转的性质可得AE=√2a, .M(m,-m-3,N(m,m2+2m-3). ∴.MN=1(-m-3)-（m2+2m-3)川=-m2-3ml. =9a,AP=9a,Er=反a-5a ·cF=2。 (i)如图①，当四边形MWQC为菱形时，有MN=MC=CQ, 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得b=(4-2√5)a2,