卷2 实际问题与一元二次方程-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学真题天天练（人教版）

真题天天练 卷2实际问题与一元二次方程 建议用时：40分钟满分：50分 一、选择题（每小题3分，共21分） 每台空气加湿器降价x元.根据题意，甲、 1.数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记载 乙两位同学分别列出了以下方程 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人 甲：(50-x)(30+2x)=2000,乙：(50-2x)(30+x) 去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一 =2000.则下列说法正确的是( 株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批 A.只有甲正确 B.只有乙正确 椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确 6.（期末·石家庄长安区)空地上有一段长为 3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费 恰好等于一株椽的价钱.根据题意可列方程 am的旧墙W,工人师傅欲利用旧墙和木 栏围成一个封闭的矩形菜园（如图）.已知木 3x(x-1)=6210,其中x表示( 栏总长为40m,所围成的菜园面积为 A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量 Sm2.若a=18,S=196,则( C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 A.有一种围法 2.（期末·北京海淀区)把长为2m的绳子分 M D A N B.有两种围法 成两段，使较长一段的长的平方等于较短一 C.不能围成菜园 段的长与原绳长的积.设较长一段的长为 第6题图 D.无法确定有几种围法 xm,依题意，可列方程为( 7.情境题某小区计划在一个长16m,宽9m A.x2=2(2-x) B.x2=2(2+x) 的矩形场地ABCD上修建若干条同样宽的 C.(2-x)2=2x D.x2=2-x 小路，纵向的与AB平行，横向的与AD平 3.(期末·天津河北区改编)在国庆节的一次 行，其余部分种草.已知种草部分的总面积 同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小 为112m,设小路的宽为xm,若x满足方程 礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的 x2-17x+16=0,则修建的示意图是( 同学有( A.9名 B.10名C.11名D.12名 4.(月考·中山大学附中海珠校区)已知一个 两位数，个位上的数字比十位上的数字少4， 这个两位数十位和个位上的数字交换位置 P 后，新两位数与原两位数的积为1612，那么 原两位数是( A.95 B.59 C.26 D.62 5.某商场销售一批空气加湿器，平均每天可 售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销 售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定 二、填空题（每小题3分，共9分） 采取适当的降价措施.经调查发现，如果每 台每降价10元，商场平均每天可多售出20： 8.情境题某商品的进价为5元，当售价为x元 台.在尽快减少库存的前提下，商场要想平 时，能销售该商品(x+5)个，此时获利144元， 均每天盈利2000元，则应降价多少元？设 则该商品的售价为 元 3 真题圈数学九年级RJ12N 9.(期末·武汉硚口区)某种植物的主干长出 (1)求x的值 若干数目的支干，又长出同样数目的小分 (2)求保持这个增长率不变，五月份注册用 支，主干、支干和小分支的总数是91.设 户能否达到85万人.为什么？ 每个支干长出x个小分支，则可得方程 为 10.（期中·太原市)学校秋季运动会上，九年 级准备队列表演，一开始排成8行12列， 后来又有84名同学积极参加，使得队列增 加的行数比增加的列数多1.则现在队列表 演时的列数是 三、解答题（共20分） 11.数学文化（期中·北京海淀区）(4分)阅读13.（期中·济南历城区）(8分)某社区利用一 下面的材料并完成解答 块长方形空地建了一个小型的惠民停车 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨 场，其布局如图所示.已知停车场的长为 辉的著作，其中记载了这样一个数学问题： 52m,宽为28m,阴影部分设计为停车位， “直田积八百六十四步，只云长阔共六十 要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺 花砖的面积为640m2. 步，欲先求阔步，得几何？”意 (1)求通道的宽是多少米 思是：一块矩形田地的面积为 (2)该停车场共有车位64个，据调查分析， 864平方步，只知道它的长与宽 第11题图 当每个车位的月租金为200元时，可全部 之和为60步，问它的宽是多少步？书中记 租出；每个车位的月租金每上涨10元，就 载了这个问题的几何解法： 会少租出1个车位.当每个车位的月租 (1)将四个完全相同的面积为864平方步 金上涨多少元时，停车场的月租金收入为 的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正 14400元且使租出的车位较多？ 方形，则大正方形的边长为 步； (2)中间小正方形的面积为 平方步； (3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形 第13题图 的面积可用含x的代数式表示为 平方步； (4)由(2)(3)可得关于x的方程为 进而解得矩形田地的宽为24步 12.(8分)现在越来越多的人选择线上购物，某 购物平台今年二月份注册用户50万人，四 月份达到了72万人.假设二月份至四月份 注册用户的月平均增长率为x答案与解析 真题天天练 x=10陆86，x=5=-3 16 14.【解】：x=号是关于x的方程+2acx+r2=号的一个根， 第二十一章一元二次方程 ÷倡周+2a×有心=9，能理得3对2a=3 卷1一元二次方程及解一元二次方程 .a(2a-1)+a2+3a=2a2-a+a2+3a=3a2+2a=3 1.C【解析，关于x的方程(m+2)x2-3x+1=0是一元二次方程， 15.(1)【证明】.1=(4m-2)2-4m(4m-4)=4>0, .m+2≠0，解得m≠-2.故选C .方程总有两个不相等的实数根。 2.B【解析】一次项系数是6，.3x2+1=6x可变形为-3x2+ 6x-1=0,.二次项系数是-3，常数项是-1.故选B. 2I解】x=4m2》±2，即x=-2+品=-2 2m 3.C :方程的两个实数根都是整数， 4.A【解析】.a是方程x2-6x-4=0的根，∴.a2-6a-4=0, ·-2+品为整数整数m的值为士1，士2 .a2-6a=4,.a2-6a+1=4+1=5.故选A 16.【解】(1)换元转化 5.A【解析】由题意可知1☆x=x2-x-1=0,.4=1-4×1× (2)x4-x2-12=0,令x2=a,则原方程可化为a2-a-12=0,解 (-1)=5>0,.有两个不相等的实数根.故选A 得a=-3或a=4.当a=-3时，x2=-3,方程无解；当a= 6.A【解析】x2-2x-1=0,.x2-2x+1=2,即(x-1)2=2, 4时，x2=4,解得x1=2,x2=-2.综上，原方程的解是x1=2, .x=1士√2，.方程的较小根是x,=1-√2. x32=-2 .1<√2<2，.-2<-√2<-1， .1-2<1-√2<1-1，.-1<1-V2<0,.-1<x,<0.故选A 卷2实际问题与一元二次方程 7.A【解析】把x=1代入方程ar2+bx+c=0,可得a+b+c=0, 1.B ∴.方程一定有一个根是x=1.把x=2代入方程ax2+bx+c= 2.A【解析】：较长一段的长为xm,∴较短一段的长为(2- 0,可得4a+2b+c=0,.方程一定有一个根是x=2,.关 x)m.依题意得x2=2(2-x).故选A. 于x的一元二次方程a2+bx+c=0的解为x1=1,x2=2.故 3.C【解析】设参加聚会的有x名学生，根据题意，得x(x-1)= 选A. 110,解得x,=11,x2=-10(舍去)，即参加聚会的有11名同 8.B【解析】设此方程的两个根是a,B,根据题意得a+B=-p 学.故选C. =-2,a邱=g=-20,则以a,B为根的一元二次方程是 4.D【解析】设原两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为 x2+2x-20=0.故选B. (x+4),依题意，得[10(x+4)+x][10x+(x+4)]=1612,整理， 9.-1【解析】：x=q是方程x2+px+g=0的根，且q≠0，∴.gq+ 得x2+4x-12=0,解得x1=2,x2=-6(不符合题意，舍去)， pq+9=0,∴.q(q+p+1)=0,.q+p+1=0,∴.p+g=-1. ∴.10(x+4)+x=62.故选D. 故答案为-1. 5.A【解析】·每台空气加湿器降价x元， 10.11【解析】由x2+6x+c=0得x2+6x+9-9+c=0,(x+3)2=9-c ∴.每台空气加湿器可盈利(50-x)元，平均每天可售出30+20× ,x2+6x+c=0配方后得到方程(x+a)2=1, ∫a=3,解得 19-c=1, 音=（30+2x)台 依题意得(50-x)(30+2x)=2000, a=3.:atc=3+8=11.故答案为1. ∴.甲同学所列方程正确，乙同学所列方程不正确 c=8, 故选A 11.-1【解析方程x2+(m2-1)x+1+m=0的两根互为相反数， 6.A【解析】如题图所示，设矩形ABCD边AB的长为xm,则边 .1-m2=0,解得m=1或-1.把m=1代入原方程，得x2+2 BC的长为(40-2x)m. =0,该方程无解，∴.m=1不合题意，舍去.把m=-1代入 根据题意，得(40-2x)x=196,即-2x2+40x=196, 原方程，得x2=0,解得x,=x2=0(符合题意)，m=-1. 故答案为-1. 解得x=10+V5,x2=10-√2， 又40-2x≤18，.x≥11，.x=10+√2，·只有一种围法. 12.5或√29【解析】由x2-7x+10=(x-2)(x-5)=0,解得x1= 故选A 2,x,=5.当方程的一根为斜边长时，此直角三角形的斜边长 7.C【解析】x2-17x+16=0,.(x-1)(x-16)=0, 为5；当方程的两根为直角边长时，此直角三角形的斜边长为 √22+52=√29.故答案为5或√29. 解得x=1,x2=16. 又.矩形场地ABCD的长为16m,宽为9m,.x=1. 13.【解】(1)x2+4x+2=0,.x2+4x+4=2, A.种草部分的总面积=(16-1)×(9-1×2)=105(m), ∴(x+2)2=2,x+2=士√2， .105≠112，.选项A不符合题意 .x=-2+2,x2=-2-V2 B.种草部分的总面积=(16-1×3)×(9-1)=104(m2), (2)x(x-2)=2-x,∴.(x-2)(x+1)=0, 104≠112，.选项B不符合题意. .x-2=0或x+1=0,x1=2,x2=-1. C.种草部分的总面积=(16-1×2)×(9-1)=112(m2), (3)8x2+10x=3,.8x2+10x-3=0. 112=112,.选项C符合题意. :a=8,b=10,c=-3, D.种草部分的总面积=(16-1×2)×(9-1×2)=98(m2), ,∴.b2-4ac=102-4×8×(-3)=196>0, 真题圈数学九年级RJ12N .98≠112，∴，选项D不符合题意.故选C 5.A【解析】关于x的一元二次方程x2+bx-2=0,.·1=b2_4ac 8.13【解析】根据题意，得(x-5)(x+5)=144,解方程得x=13,x2 =2-4×(-2)=b2+8>0,∴，方程有两个不相等的实数根.故选A =-13(负值舍去)，所以该商品的售价为13元.故答案为13. 6.A【解析.关于x的一元二次方程x2-2x-m=0没有实数根， 9.x2+x+1=91 ∴.4=(-2)2+4m<0,解得m<-1.故选A 10.15【解析】设队列增加的列数为x,则增加的行数为(x+1), 7.-2【解析】根据题意，得a+1≠0且4=(-2)2-4×(a+1) 依题意，得(8+x+1)(12+x)=8×12+84,整理得x2+21x-72=0, ×3≥0，解得a≤-号且a≠-1，所以整数a的最大值为-2 解得x1=3,x2=-24(不合题意，舍去)， 故答案为-2. .12+x=12+3=15.故答案为15. 8.【解】(1)根据题意得m-1≠0且m2+1=2,解得m=-1,故m 11.【解】(1)60 的值-1. (2)144 (2)由(1)得原一元二次方程为-2x2+4x+n=0,·该方程有两 分析：根据题意，得中间小正方形的面积为60×60-864×4= 个不相等的实数根，∴.4=42-4×(-2)×n=16+8n>0,解得 144(平方步) n>-2,故n的取值范围n>-2. (3)(60-2x)2 9.(1)【证明】：一元二次方程x2+(m-1)x+m-2=0, 分析：若设矩形田地的宽为x步，则长为(60-x)步，中间小正 ∴.4=(m-1)2-4(m-2)=m2-2m+1-4m+8=(m-3)2 方形的边长为(60-x-x)=(60-2x)步，.小正方形的面积为 (m-3)2≥0，.4≥0.∴.该方程总有两个实数根。 (60-2x)2平方步. (2)【解】：x2+(m-1)x+m-2=0, (4)(60-2x)2=144 .(x+m-2)(x+1)=0,∴.x1=2-m,x2=-1. 12.【解】(1)依题意，得50(1+x)2=72, ·该方程有一个根为正数，.2-m>0,.m<2. 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 10.D【解析】由一元二次方程x2-2x+p-1=0有两个非负实根， 答：x的值为20%. (-2)2-4(p-10≥0， (2)能.理由：72×(1+20%)=86.4（万人）， ,86.4>85,.五月份注册用户能达到85万人 得{2-22-4p-0≥0， 解得1≤p≤2..a+b=2,ab 2 13.【解(1)设通道的宽是xm,则铺花砖的部分可合成长为(52- =p-1,∴.(a-1)(b-1)=-(a+b)+ab+1=-2+p-1+1=p-2. 2x)m,宽为(28-2x)m的长方形， 当p=1时，(a-1)(b-1)的值最小，最小值为1-2=-1.故选D. 依题意，得(52-2x)(28-2x)=640,整理得x2-40x+204=0, 11.A【解析】a2-6a+4=0,b-6b+4=0,且a≠b,∴.a,b可 解得x=6,x2=34(不符合题意，舍去) 看成方程2-6c4=0的两根，a+b=6,b=4,“名+号 答：通道的宽是6m =2+=a+b-2ab=6-2x4=7.故选A (2)设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为 ab ab 4 (200+y)元，可租出64-兰 12.-6【解析】：关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实 10 个车位， 数根分别为x,=2,x2=-4,2+(-4)=-m,2×(-4)=n, 依题意得(200+y)64-】=1440, .m=2,n=-8,∴.m+n=-6.故答案为-6. 10 13.-1【解析】：方程x2-x+2m-1=0有两个实根，设原方程 整理，得y2-440y+16000=0,解得y1=40,y2=400, 的两根分别为a,B,则a+f=m,a邱=2m-1.c2+B2=2+B2 当y=40时，64六=64铝=60， +2a6-2a6=(a+B)2-2a6=m2-2(2m-1)=m2-4m+2=7,即 当)=400时，646=640-24 m24m-5=0,解得m=-1或m=5.当m=-1时，>0，符 10 60>24,.y=40. 合题意；当m=5时，<0，不符合题意. 答：每个车位的月租金上涨40元， .m=-1.故答案为-1. 14.6【解析】：一元二次方程2x2-bx+c=0的两根为x,x2, 卷3专题一元二次方程中的含参问题 x场=身=5,5=号=2 1.B【解析】x=2是一元二次方程x2=c的一个根，.c= .b=10,c=-4,b+c=6.故答案为6. 22=4,.原方程为x2=4,解得x=2,x2=-2.故选B. 15.【解】(1)依题意有1-(m+1)+m2-1=0, 2.D【解析】.方程x2-bx+a=0的一个根是a(a≠0)，∴.a2- 即m㎡-m-1=0,解得m=1±5 ab+a=0,两边同除以a(a≠0)，得a-b+1=0,∴.b-a=1.故选D. 2 (2)依题意得m+1=m2-1,即m2-m-2=0,解得m=-1或2. 3.A【解析】把x=0代入方程(a+2)x2+x+a2-4=0得a2-4 =0,解得a=±2.方程(a+2)x2+x+a2-4=0是关于x的一 当m=-1时，x2=0,解得x1=x2=0,符合题意； 当m=2时，4<0，方程无实数根，故m=-1. 元二次方程，.a+2≠0，.a≠-2，∴.a的值为2.故选A 4.x,<-4,x,>-3【解析】把方程a(x+m+3)2+b=0(a,m,b均 16.【解】(1)若b=5,a=4,则x2+5x+4=0,.(x+1)(x+4)=0, 为常数，a≠0)看成关于x+3的一元二次方程 .x+1=0或x+4=0,.x1=-1,x2=-4 又：关于x的方程a(x+m)24b=0的两根满足x<-1,x,>0, (2)由一元二次方程根与系数的关系，得x+x2=-b,x2=a, .x+3<-1,x+3>0,.x<-4,x,>-3. 又=2425t56护-号0放可以取a=2.b=3 2x2=a, 故答案为x<-4,x,>-3.