第二十三章 旋转章末能力综合题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十三章 旋转 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 2．剪纸是中国非物质文化遗产的瑰宝，以刀剪为笔，红纸为媒，绘就千年文化传承．以下剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，与关于点成中心对称，有以下结论： ①点与点是对称点；②； ③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，，，P是上的任意一点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转至，使，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 8．如图，与都是等边三角形，，，连接，，若将绕点逆时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 12．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 13．如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 14．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 15．如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ． 16．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)画出关于原点的中心对称图形． (3)将绕原点逆时针旋转得，画出 ． 18．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 19．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20．如图，在中，点D是边的中点，已知，．    (1)画出关于点D的中心对称图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 21．如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 23．已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系． (1)将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系； (2)当时，将绕A点旋转到图3位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明； ②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________． 24．【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C B C C C C D 1．A 本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 2．C 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 解：A．.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 3．B 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 4．C 本题考查了中心对称、全等三角形的性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质． 利用中心对称的性质解决问题即可． 解：∵与关于点成中心对称， ∴≌， ∴点与点是对称点，，，， 故①②③正确． 故选：C ． 5．B 如图所示，在上取点E使，证明出，得到，当时，最短，即最短，如图所示，求出，进而利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 如图所示，在上取点E使 ∵ ∴，即 ∵将绕点A按顺时针方向旋转至 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵P是上的任意一点 ∴当时，最短，即最短，如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为2，即的最小值为2． 故选：B． 此题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．C 先根据菱形的性质得到，，再根据，利用直角三角形两个锐角互余，求得，然后由旋转得，根据点B在y轴上，得出点在x轴上，可知旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，再求出 ，，从而可得，再利用含有的直角三角形的性质求得，进而求得，于是可求得． 解：连接， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴，， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 作轴于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 故选：C． 本题考查了坐标与图形变化-旋转，菱形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，通过探究，确定旋转第四次时菱形所在的位置是解题的关键． 7．C 本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点D作，，连接、交于点O．根据题意先证出四边形是平行四边形，再由，，得，即有平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，当两张纸片垂直时，即时，底边最短，即可求出面积最小值． 解：过点D作，，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 旋转过程中，菱形的高不变，底变化， 当两张纸片垂直时，即时，底边最短，此时面积为：， 故选：C． 8．C 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，根据△是等边三角形，可得，由点、、在同一条直线上，需要分2种情况①当点在延长线上时；②当点在延长线上时，分别画出对应的图形，然后过点作边的垂线（或，利用含角的（或）求得垂线（或的长，最后利用勾股定理即可求解的长．熟练掌握以上知识点，学会分类讨论多种情况的图形，能够结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键． 解：与都是等边三角形， ，，， ①当点在延长线上时，作交于，连接，如图1， ，是等边三角形， ，， ，， 在中，， ； ②当点在延长线上时，作交于，如图2， 同理①可得，，， ，， 在中，由勾股定理得：； 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 9．C 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 10．D 证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断；由得，推出，，即可判断②；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断③；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断④； 解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故④正确； 故选：D 本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 11．③⑤/⑤③ 本题主要考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原来的图形重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解：等边三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；一般的直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：③⑤ ． 12．M 本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 13．9 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：9 14．1 此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可． 解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 15． 本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．或或 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 解：在中， ， ， ①如图1中， 当时， 在和中， ， ， ． ②如图2中，当时，同理可证， ， ． ③如图3中，当时，同理可证， ， 故答案为或或． 17．(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用点和点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点、的对应点，从而得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质分别画出点、、的对应点，从而得到． （1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，为所作． 18．(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． （1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 19．（1）见解析；（2）见解析 （1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案； （2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案． 解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 20．(1)见解析 (2) 本题考查了画中心对称图形，三角形三边关系的应用，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质和三角形三边关系解答即可． （1）解：如图所示，关于点D的中心对称图形即为所求：    （2）解：由中心对称的性质可得，点共线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) （1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出； （2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得． （1）证明：由题意可知，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设相交于点F，    ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 22．(1)是中心对称，图见详解 (2) 本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． （1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 23．(1) (2)①，，证明见解析；②或 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）证明，即可作答； （2）①同理先证明，即有，在和中，根据，即有，则有，问题的解； ②分两种情况：第一种，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合等腰中，，以及，即可作答． （1）解：， 即， 在和中， ， ； （2）①，， 证明：， ， 即， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 因此，； ②当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图所示， 在等腰中，， ， ， ； 当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图所示， 在等腰中，， ， ， ， 故的度数为或． 24．（1）见详解（2），理由见详解，（3） （1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； （1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $