精品解析：安徽省桐城中学2025-2026学年高一上学期第一次教学质量检测（10月）数学试题

桐城中学2025--2026学年度上学期第一次教学质量检测 高一数学试卷 命题人：金黎 审题人：盛龙 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．） 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“存在x0∈R，使得mx＋mx0＋2≤0”为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A. (－∞，0]∪[8，＋∞) B. (0，8] C. [0，8) D. (0，8) 4. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 25 5. 已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 8. 关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知关于的方程，则下列结论中正确的是 （ ） A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 B. 方程有两个正实数根的充要条件是 C. 方程无实数根的必要条件是 D. 当时，方程的两个实数根之和为 10. 当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ） A. 0是任何数域的元素 B. 若数域有非零元素，则 C. 集合是一个数域 D. 任何一个数域的元素个数必为奇数 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，，，则的最小值是2 D. 若实数，满足，则的最大值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，，则______． 13. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______． 14. 若，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 16. 已知． （1）求中对应x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 17. 已知为正实数，且. （1）若，，求的最小值； （2）若， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最大值. 18. 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． （1）若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） （2）若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 19. 已知二次函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式（其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城中学2025--2026学年度上学期第一次教学质量检测 高一数学试卷 命题人：金黎 审题人：盛龙 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．） 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B，再根据集合，列举求解. 【详解】解：由，解得， 所以． 所以，共有7个元素， 故选：B． 2. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 3. 若命题“存在x0∈R，使得mx＋mx0＋2≤0”为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A. (－∞，0]∪[8，＋∞) B. (0，8] C. [0，8) D. (0，8) 【答案】C 【解析】 【分析】先得到所给命题的否定，由题意得原命题的否定为真，结合不等式的恒成立可得所求范围． 【详解】命题“存在x0∈R，使得mx＋mx0＋2≤0”的否定为“任意x∈R，使得”． 由题意得，命题“任意x∈R，使得”为真命题， ①当时，恒成立，满足题意． ②当时，由题意得，解得， 综上可得． 所以实数m的取值范围是． 故选C． 【点睛】解答类似问题的方法是从命题的否定求解，由于原命题为假命题，故其否定为真命题．根据不等式恒成立求参数的范围时，要注意对参数进行分类讨论，全面考虑的取值，避免得到错误的结果． 4. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 5. 已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 6. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得的最小值，进而可得，解不等式即可. 【详解】由已知正实数，满足， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 解得：或， 故选：A. 7. 给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【详解】 时，的个数是 时，的个数是 时，的个数是1， 时，的个数是 时，的个数是1， 时，的个数是1， 时，的个数是1， 的有序子集对的个数为：17个， 8. 关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集可得是方程的两根，利用韦达定理求得，从而可得，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为关于x的不等式的解集为， 可知是方程的两根， 且，且， 可得， 则， 可得， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知关于的方程，则下列结论中正确的是 （ ） A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 B. 方程有两个正实数根的充要条件是 C. 方程无实数根的必要条件是 D. 当时，方程的两个实数根之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据一元二次方程的性质，结合判别式和韦达定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，方程有一个正一个负根的充要条件是，解得，所以A正确； 对于B中，方程有两个正实数根的充要条件是，解得，所以B正确； 对于C中，方程无实数根，则，解得， 又由，所以C正确； 对于D中，当时，方程无实数根，所以D错误. 故选：ABC. 10. 当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ） A. 0是任何数域的元素 B. 若数域有非零元素，则 C. 集合是一个数域 D. 任何一个数域的元素个数必为奇数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据新定义进行验证. 【详解】对任意数域，只要有，则，A正确； 是的一个非零元素，则，因此，，依此类推所有正整数是的元素，从而，B正确； 集合中，，但，因此不是数域，C错； 有理数集是一个数域，但有理数集中元素个数是无穷多个，D错； 故选：AB． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，，，则的最小值是2 D. 若实数，满足，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案． 【详解】对于A，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确； 对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立）， 因为，所以，所以， 所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4，故C错误； 对于D，，设，， ∵，当且仅当，即时，取等号 ∴ 则的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算性质计算即可. 【详解】由题意，， 因为, 所以,, 即. 故答案为：. 13. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值． 【详解】由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 故答案为：. 14. 若，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简已知式为，再由基本不等式先求出的最小值，即可得出答案. 【详解】由，可得， 则两边同除以，得， 又因为， 当且仅当，即或时等号成立， 所以. 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值； （2）由题意得出，求得值后，再代入检验． 【小问1详解】 由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. 【小问2详解】 因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 16. 已知． （1）求中对应x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式，可得中对应的取值范围． （2）先因式分解，求得集合．讨论的取值情况，表示出集合．根据p是q的必要不充分条件，即可求得a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以 即， 所以 即中对应x的取值范围为 （2）设对应的集合为，对应的集合为B. 解集合q：，得 当时，不等式的解为，对应的解集为 当时，不等式的解为，对应的解集为 当时，不等式的解为，对应的解集为 若p是q的必要不充分条件， 当时，满足条件； 当时，因为，， 则满足； 当时，因为，， 则满足； 综上，实数a的取值范围为 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，解含参数的不等式，充分必要条件的应用求参数取值范围，属于中档题． 17. 已知为正实数，且. （1）若，，求的最小值； （2）若， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）首先利用已知条件得出关系的表达式，再对进行变形，利用基本不等式求最小值； （2）（ⅰ）首先利用已知条件得出关系的表达式，用换元法进行化简后利用基本不等式求的最小值；（ⅱ）同理，利用基本不等式求的最大值． 【小问1详解】 若，，则，， ， ，即， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 【小问2详解】 若，，则，变形可得， （ⅰ）令，则， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为． （ⅱ）， 令，则， ，当且仅当时取等号， 的最大值为． 18. 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． （1）若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） （2）若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【答案】（1）长宽均为； （2）长为，宽为 【解析】 【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解； （2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解. 【小问1详解】 由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. 【小问2详解】 由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 19. 已知二次函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式（其中． 【答案】（1） （2） 不等式的解集为：①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为； 【解析】 【分析】（1）由题意，整理不等式，根据二次项系数是否为零进行讨论，结合二次不等式恒成立，可得答案； （2）利用分解因式法，化简整理不等式，利用分类讨论以及二次不等式的解法，可得答案. 【小问1详解】 由得恒成立， ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，要使恒成立，则，解得； 综上，可得实数a的取值范围是． 【小问2详解】 不等式，即， 等价于，即， ①当时，不等式整理为，解得：； 当时，方程的两根为：，， ②当时，可得，解不等式得：或； ③当时，因为，解不等式得：； ④当时，因为，不等式，整理可得，即其解集为； ⑤当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $