第3章 数据的集中趋势和离散程度单元复习（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

第3章数据的集中趋势和离散程度单元复习 教学目标 1．理解算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、标准差的定义，熟记对应计算公式； 2．能根据数据特点选择合适的统计量（如加权平均数、中位数等）刻画集中趋势，用方差或标准差分析离散程度； 3．掌握平均数、中位数、众数的联系与区别，明确方差与数据波动的关系 教学重难点 重点：计算加权平均数、确定中位数和众数；利用方差判断数据波动大小 难点：理解“权”对加权平均数的影响；区分不同场景下合适的集中趋势统计量 知识点01反映数据集中趋势的统计量 1．平均数（算术平均数） 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数_________。 2．加权平均数 定义：当个数的权分别为时，加权平均数________。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 3．中位数 定义：将一组数据按________（或________）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于________位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的________是中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 4．众数 定义：一组数据中出现次数________的数据称为众数。 特性： 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且均为最大）； 众数一定在这组数据中； 若所有数据出现次数相同，则这组数据没有众数。 5．平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：三者均为反映数据趋势的统计量，可从不同角度呈现数据特征。 区别：①平均数：能充分利用所有数据信息，应用最广，可体现数据整体平均状态，但易受影响，无法反映个体情况； ②中位数：代表数据数值大小的“中点”，不易受极端值干扰，却不能充分利用全部数据信息； ③众数：反映数据中出现次数最多的数值，一组数据的众数可能有多个，也可能不存在。 【即学即练】 1．如果一组数据3、4、x、5的平均数是4，那么x的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．成都市某周的日最低气温统计如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温/ 4 5 3 4 6 7 2 则这七天中日最低气温(单位：)的众数、中位数分别是（   ） A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4， 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．方差 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与________差的平方的________，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越________，数据的波动越大；方差越________，数据的波动越小。 2．标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即），同样用于反映数据的波动大小。 【即学即练】 1．对于一组统计数据2，3，5，3，7，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是5 2．某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件，在相同的生产工艺和质量管控下，工作人员统计了这两条生产线一周内每天的零件合格率（%），并计算出方差的近似值，数据如下表所示，从零件合格率的稳定性角度考虑，工厂应该优先保证________生产线的稳定运行． 生产线 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 方差 甲 95 93 94 96 92 95 94 1.6 乙 91 90 92 91 90 93 92 1.1 题型01已知平均数求未知数据的值 【例1】甲、乙两数的平均数是16，甲、乙、丙三数平均数是20，可算出丙数为________． 【例2】小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．这一次是第（）次考试． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是________． 【变式1-2】有六个自然数排成一列，它们的平均数是4.5，前4个数的平均数是4，后三个数的平均数是，这六个数的连乘积最小是________． 【变式1-3】（逻辑推理）6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人．然后每个人把左、右相邻两个人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示．问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？ 题型02利用已知平均数求相关数据的平均数 【例3】如果与的平均数是4，那么与的平均数是________． 【例4】若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【变式2-1】已知，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】某小组成员男生占，一次考试中，该组男生的平均分为80分，女生的平均分为90分，则这个小组全体成员的平均分为分________． 【变式2-3】若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是________． 题型03加权平均数问题 【例5】坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例6】某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩为________分． 【变式3-1】一种什锦糖由价格为12，16，20（单位：元）的三个品种的糖果混合而成，三种糖果的比例为5:2:3，则什锦糖的价格应为元． 【变式3-2】某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按、的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是________分． 【变式3-3】八年级期末考试成绩如下：一班55人，平均分为81分；二班40人，平均分为90分；三班45人，平均分为85分；四班60人，平均分为84分．求八年级期末考试的平均分． 下面是马虎同学的解答过程，请判断他的解答过程是否正确．如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：设八年级期末考试的平均分为x，则（分）． 题型04利用（加权）平均数做决策 【例7】每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表： 选项 留空 多选 人数 11 22 4209 3934 2057 1390 占参考人数比（%） 根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（    ） A． B． C． D． 【例8】对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期（单位：天）：甲组：；乙组：．问： (1)10盆花的花期最多相差几天？ (2) 施用何种花肥，花的平均花期较长？ 【变式4-1】为了从甲、乙两位选手中选择一位代表学校参加所在区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面进行了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别占20%、10%、30%和40%计算两位选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，成绩较好的选手是________． 【变式4-2】某班开展一次综合与实践活动，部分记载如下： 【活动主题】利用树叶的特征对树木进行分类． 【实践过程】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【问题解决】 (1)同学们通过计算得到芒果树叶的长宽比的平均数是3.74，请你继续计算出荔枝树叶的长宽比的平均数； (2)从树叶的长宽比的平均数来看，现有一片长13cm，宽6.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【变式4-3】某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、、三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 B C 创新 综合知识 语言 (1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按：：的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 题型05出错情况下平均数问题 【例9】某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【变式5-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【变式5-2】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会．（填“不变”、“变大”、“变小”） 题型06利用中位数求未知数据的值 【例10】一组数据从小到大排列为1，2，4，x，6，9．这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为（   ） A．6 B． C．5 D．4 【例11】若一组数据a，3，4，5，6，7，8的中位数为5，则整数的最大值是________． 【变式6-1】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个．若要使选定的7个盲盒质量的中位数仍为，则6号盲盒和7号盲盒可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、戊 D．丙、戊 【变式6-2】一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】某班50名同学利用两周时间开展了两次劳动技能比赛，第一次比赛结束后，把学生的成绩进行统计，发现成绩只有2分、3分、4分、5分、并制成了如图1、图2所示尚不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请计算成绩是3分、4分同学的人数，并补充完整条形统计图； (2)求第一次劳动技能比赛成绩的平均数； (3)第二次劳动技能比赛结束后，发现此次比赛成绩的中位数恰好是第一次劳动技能比赛成绩的中位数，最低分变成了3分，且有5人，众数变成了5分，求第二次劳动技能比赛成绩为5分的学生人数． 题型07利用众数求未知数据的值 【例12】若一组数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4，则这组数据的中位数为________． 【例13】为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数________． 【变式7-1】一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝________ 【变式7-2】有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为________． 【变式7-3】在我市2024年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是米（精确到0.01米）． 成绩（单位：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人数 2 3 2 3 成绩（单位：米） 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 1 1 题型08利用方差求未知数据的值 【例14】某组数据的方差，则该组数据的总和是（    ） A．8 B．20 C．40 D．无法确定 【例15】已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为________． 【变式8-1】在计算一组数据的方差时，，则x表示的数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-2】如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【变式8-3】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是________. 题型09根据方差判断稳定性，做决策 【例16】2025哈尔滨亚冬会成功举办，进一步推动了冰雪运动在中国的普及．下表记录了甲、乙、丙、丁四名短道速滑男子500米运动员5次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数／秒 45.10 45.10 46.15 46.35 方差 5.5 3.3 7.1 8.2 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员________． 【例17】2012年A和B两座城市四季的平均气温如表所示： 气温 城市 春 夏 秋 冬 A 19 9 B 15 30 24 11 (1)分别计算A和B两座城市的年平均气温； (2)哪座城市四季的平均气温较为接近？______．（直接写城市即可） 【变式9-1】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次，每次射靶的成绩如下： 甲：，，，，，，，，，； 乙：，，，，，，，，，； 丙：，，，，，，，，，． (1)根据以上数据完成下表： 运动员 平均数 中位数 方差 甲 8 8 乙 8 8 2.2 丙 6 3 (3) 依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由． 【变式9-2】为了从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次（单位：环）： 甲：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10 乙：9，6，7，6，2，7，7，a，8，9 (1)求甲选手的平均成绩； (2)已知乙选手的平均成绩是7环，求乙的中位数； (3)已知，请通过计算说明谁的成绩较稳定？ 【变式9-3】某校八年级举行了“手工小达人”比赛，甲、乙两个班各选取五名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）．甲班：7，8，9，8，8；乙班：7，10，5，9，9．该校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表． 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 a 8 c 0.4 乙班 8 b 9 3.2 (1)填空：______；______；______； (2)王校长需要在甲、乙两班中选出一个班级作为学校代表参加市里的比赛，那么王校长应选择哪个班级作为代表去参赛？请说明理由． 一、单选题 1．数据：9、6、3、5、9、6、4、3、8、9中，众数、中位数和平均数分别为（    ） A．3、5、 B．9、6、 C．9、5、 D．9、6、6 2．七年级（1）班学生在某周参加运动的次数只有4次，5次，6次，7次四种情况，图中描述了这班学生运动的相关的情况．则下列有关该七年级（1）班说法正确的是（    ） A．七年级（1）班学生数为40人 B．七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为16 C．七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为5 D．七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为5 3．某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．某校对名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布直方图（不完整）如图所示，设这次抽样调查所得数据的中位数为，根据图中的信息判断的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 8．已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．某包装的大米的标准质量是每袋，现抽取袋样品进行检测，结果如下：（超过标准质量的记作正数） 标号 1 2 3 4 5 6 与标准质量差/ 0 则这袋大米的平均质量为________． 10．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则显示的结果为________． 11．某班第二组女生参加体育测试，仰卧起坐的成绩（单位：个）如下：43、41、39、40、37．这组数据的中位数是________； 12．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是________． 13．太极拳自年月日申遗成功后，受到了越来越多人的喜爱．某地区把太极拳表演作为中考体育测试的一部分，某校九年级（一）班的名学生中招测试的太极拳表演成绩（满分分）如下表所示： 成绩／分 人数 已知这名学生成绩的平均数为分，众数为分，中位数为分，则的值为________． 14．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为________． 成绩(分) 次数(人) 三、解答题 15．体育课上，全班男生进行了立定跳远测验，把跳远距离达标成绩1.6米记为0，大于1.6米的用正数表示，小于1.6米的用负数表示．第一小组8名男生的立定跳远成绩如下：，，0，，，，，0． (1)第一小组男生达标率为多少？（达标率） (2)第一小组男生的平均成绩是多少米？ 16．某公司销售部有营销人员人，销售部为了制定某商品的月销售定额，统计了这人某月的销售量如表所示： 每人销售件数 人数 (1)这名营销员该月销售量的平均数为______件，中位数为______件； (2)请从“平均数”“中位数”“众数”三个统计量中考虑，选取多少件作为月销售定额最佳． 17．我校为了纪念“一二·九”举办了八年级红歌合唱比赛，为了保证这次比赛的公正性，规定：参赛班级的基本素养、精神面貌、服装三项打分分别按的比例计入总评成绩．二班、三班、五班的基本素养、精神面貌、服装的打分如下表，计算哪个班是第一名？ 基本素养 精神面貌 服装 二班 三班 五班 18．某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测得成绩如下表：（单位：环） (1)填空：①______；②_____； (2)请计算甲六次测试成绩的方差； (3)若乙六次测试成绩的方差为，你认为推荐谁参加比赛更合适？请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数 甲 10 8 9 8 10 9 9 ① 乙 10 7 10 10 9 8 ② 19．在学校“建设生态文明，保护美丽家园”演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数． (1)若去掉一个最高分，平均分为；去掉一个最低分，平均分为；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为．则，，的大小关系为______．（用“”连接） (2)若五个评委给出的分数分别为，，，，，求出这组数据的方差． (3)若积分规则变为，最高分占，最低分占，中位数占，其他的分数各占，按照（2）中评委给出的分数，请计算圆圆的最后得分． 20．项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章数据的集中趋势和离散程度单元复习 教学目标 1．理解算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、标准差的定义，熟记对应计算公式； 2．能根据数据特点选择合适的统计量（如加权平均数、中位数等）刻画集中趋势，用方差或标准差分析离散程度； 3．掌握平均数、中位数、众数的联系与区别，明确方差与数据波动的关系 教学重难点 重点：计算加权平均数、确定中位数和众数；利用方差判断数据波动大小 难点：理解“权”对加权平均数的影响；区分不同场景下合适的集中趋势统计量 知识点01反映数据集中趋势的统计量 1．平均数（算术平均数） 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数。 2．加权平均数 定义：当个数的权分别为时，加权平均数。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 3．中位数 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于中间位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 4．众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。 特性： 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且均为最大）； 众数一定在这组数据中； 若所有数据出现次数相同，则这组数据没有众数。 5．平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：三者均为反映数据集中趋势的统计量，可从不同角度呈现数据特征。 区别：①平均数：能充分利用所有数据信息，应用最广，可体现数据整体平均状态，但易受极端值影响，无法反映个体情况； ②中位数：代表数据数值大小的“中点”，不易受极端值干扰，却不能充分利用全部数据信息； ③众数：反映数据中出现次数最多的数值，一组数据的众数可能有多个，也可能不存在。 【即学即练】 1．如果一组数据3、4、x、5的平均数是4，那么x的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 故选：D． 2．成都市某周的日最低气温统计如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温/ 4 5 3 4 6 7 2 则这七天中日最低气温(单位：)的众数、中位数分别是（   ） A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4， 【答案】A 【分析】 【详解】解：将数据按照从小到大依次排列，处在中间位置的数是， ∴中位数是； ∵出现次数最多的数是， ∴众数是． 故选：A． 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．方差 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 2．标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即），同样用于反映数据的波动大小。 【即学即练】 1．对于一组统计数据2，3，5，3，7，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是5 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确，不符合题意； B、这组数据的平均数是：，故此选项正确，不符合题意； C、，此选项正确，不符合题意； D、将这组数据按从小到大的顺序排列2，3，3，5，7，中位数为3，此选项错误，符合题意； 故选：D． 2．某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件，在相同的生产工艺和质量管控下，工作人员统计了这两条生产线一周内每天的零件合格率（%），并计算出方差的近似值，数据如下表所示，从零件合格率的稳定性角度考虑，工厂应该优先保证生产线的稳定运行． 生产线 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 方差 甲 95 93 94 96 92 95 94 1.6 乙 91 90 92 91 90 93 92 1.1 【答案】乙 【分析】 【详解】解：， 乙生产线零件合格率的稳定性比甲生产线高． ∴工厂应该优先保证乙生产线的稳定运行． 故答案为：乙． 题型01已知平均数求未知数据的值 【例1】甲、乙两数的平均数是16，甲、乙、丙三数平均数是20，可算出丙数为． 【答案】 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【例2】小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．这一次是第（）次考试． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：设这一次是第次考试， ∵小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分． ∴ 解得， ∴这一次是第8次考试， 故选：B． 【变式1-1】如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是． 【答案】7 【分析】 【详解】解：由题意知, 解得 故答案为：7． 【变式1-2】有六个自然数排成一列，它们的平均数是4.5，前4个数的平均数是4，后三个数的平均数是，这六个数的连乘积最小是． 【答案】 【分析】 【详解】这六个自然数的平均数是， 这六个数的和为， 前4个数的平均数是4， 前个数的和为， 后两个数字的和为， ∵和为定值的几个自然数，要使乘积最小，各数之间的差应尽可能大， 最后两个数数字应该为和， 后三个数的平均数是， 后个数的和为， 第个数为， 前个数的和为， 前个数分别为，，， 这六个数的连乘积最小是：； 故答案为． 【变式1-3】（逻辑推理）6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人．然后每个人把左、右相邻两个人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示．问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？ 【答案】 【详解】解：设亮的人心里想的数是， ∴亮9的人心里想的数就是，亮8的人心里想的就是， ∵亮9和8中间的人报的数是4， ∴可列方程为， 解得：， 答：亮出的人原来心中想的数是． 题型02利用已知平均数求相关数据的平均数 【例3】如果与的平均数是4，那么与的平均数是． 【答案】3 【分析】 【详解】解：与的平均数是4， ， 与的平均数， 故答案为：3． 【例4】若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【答案】C 【详解】解：由平均数的定义可得： ， ， 则，，，，的平均数为： ， 故选：C． 【变式2-1】已知，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵，，…，的平均数为2， ∴， ∴， 故选B． 【变式2-2】某小组成员男生占，一次考试中，该组男生的平均分为80分，女生的平均分为90分，则这个小组全体成员的平均分为分． 【答案】 【详解】解：设总人数有人， ∴这个小组全体成员的平均分为：（分）， 故答案为： 【变式2-3】若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是． 【答案】 【分析】 【详解】∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3， ∴，， ∴a，b，c，4，d，e的平均数是， ． 故答案为：． 题型03加权平均数问题 【例5】坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根； 故选：B. 【例6】某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩为分． 【答案】88 【分析】 【详解】解：根据题意得： （分）． 即小明这学期的英语成绩是88分． 故答案为：88． 【变式3-1】一种什锦糖由价格为12，16，20（单位：元）的三个品种的糖果混合而成，三种糖果的比例为5:2:3，则什锦糖的价格应为元． 【答案】 【分析】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2】某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按、的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是分． 【答案】96 【详解】解：设思想素质测试的成绩为x分． 由题意得， 解得， ∴思想素质测试的成绩至少为96． 故答案为：96． 【变式3-3】八年级期末考试成绩如下：一班55人，平均分为81分；二班40人，平均分为90分；三班45人，平均分为85分；四班60人，平均分为84分．求八年级期末考试的平均分． 下面是马虎同学的解答过程，请判断他的解答过程是否正确．如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：设八年级期末考试的平均分为x，则（分）． 【答案】他的解答过程不正确，分 【详解】解：他的解答过程不正确．正确解答过程如下： 设八年级期末考试的平均分为， 则（分）． 题型04利用（加权）平均数做决策 【例7】每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表： 选项 留空 多选 人数 11 22 4209 3934 2057 1390 占参考人数比（%） 根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分， 最后一道单选题参考人数得分的平均分题目难度系数该题的满分， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键． 【例8】对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期（单位：天）：甲组：；乙组：．问： (1)10盆花的花期最多相差几天？ (2)施用何种花肥，花的平均花期较长？ 【答案】(1)10盆花的花期最多相差6天 (2)施用甲种花肥，花的平均花期较长 【分析】 【详解】（1）天， 答：10盆花的花期最多相差6天， （2）（天）， （天）， ， ∴施用甲种花肥，花的平均花期较长． 【变式4-1】为了从甲、乙两位选手中选择一位代表学校参加所在区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面进行了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别占20%、10%、30%和40%计算两位选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，成绩较好的选手是． 【答案】乙 【详解】解：=85×0.2+78×0.1+85×0.3+73×0.4=79.5 =73×0.2+80×0.1+82×0.3+83×0.4=80.4 ∵＞ ∴应选派乙． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的求法以及运用加权平均数决策是解答本题的关键． 【变式4-2】某班开展一次综合与实践活动，部分记载如下： 【活动主题】利用树叶的特征对树木进行分类． 【实践过程】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【问题解决】 (1)同学们通过计算得到芒果树叶的长宽比的平均数是3.74，请你继续计算出荔枝树叶的长宽比的平均数； (2)从树叶的长宽比的平均数来看，现有一片长13cm，宽6.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】(1) (2)可能来自荔枝，理由见解析 【分析】 【详解】（1）荔枝树叶的长宽比的平均数为， 故荔枝树叶的长宽比的平均数为：． （2）芒果树叶的长宽比的平均数为， ∵一片长13cm，宽6.5cm的树叶，长宽比为， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 【点睛】本题考查了平均数的公式，根据平均数进行判断，熟练掌握平均数的定义和计算公式是解题的关键． 【变式4-3】某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、、三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 B C 创新 综合知识 语言 (1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按：：的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 【答案】(1)候选人A将被录用 (2)候选人将被录用 【分析】 【详解】（1）解：A的平均成绩为：（分）， B的平均成绩为：（分）， C的平均成绩为：（分）， 所以，候选人A将被录用． （2）解：A的测试成绩为：（分）， B的测试成绩为：（分）， C的测试成绩为：（分）， 所以候选人将被录用． 【点睛】本题主要考查的是加权平均数和算术平均数的求法，解题的关键是熟记加权平均数和算术平均数的计算公式． 题型05出错情况下平均数问题 【例9】某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 【变式5-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是． 【答案】 【详解】解：由题意得，输入错误的数据为：． 故答案为：． 【变式5-2】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 题型06利用中位数求未知数据的值 【例10】一组数据从小到大排列为1，2，4，x，6，9．这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为（   ） A．6 B． C．5 D．4 【答案】A 【详解】解：∵一组数据从小到大排列为1，2，4，x，6，9．这组数据的中位数是5， ∴， 解得， 则这组数据为1，2，4，6，6，9，数字6出现次数最多，故众数为6． 故选：A． 【例11】若一组数据a，3，4，5，6，7，8的中位数为5，则整数的最大值是． 【答案】5 【详解】解：∵一组数据a，3，4，5，6，7，8的中位数为5，且整数的值最大， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式6-1】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个．若要使选定的7个盲盒质量的中位数仍为，则6号盲盒和7号盲盒可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、戊 D．丙、戊 【答案】B 【详解】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， ∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， ∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， 结合题图可得，6号盲盒和7号盲盒分别可以选择甲、戊或丙、丁或乙、丁，选项B符合题意 故选：B． 【变式6-2】一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m， ∴数据按大小排序为：1，2，m，m，5，7， ∴整数m可能是2，3，4，5， ∴整数m可能的值有4个． 故选：D． 【变式6-3】某班50名同学利用两周时间开展了两次劳动技能比赛，第一次比赛结束后，把学生的成绩进行统计，发现成绩只有2分、3分、4分、5分、并制成了如图1、图2所示尚不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请计算成绩是3分、4分同学的人数，并补充完整条形统计图； (2)求第一次劳动技能比赛成绩的平均数； (3)第二次劳动技能比赛结束后，发现此次比赛成绩的中位数恰好是第一次劳动技能比赛成绩的中位数，最低分变成了3分，且有5人，众数变成了5分，求第二次劳动技能比赛成绩为5分的学生人数． 【答案】(1)5人，25人，见解析 (2)3.7分 (3)23或24人 【分析】 【详解】（1）解：成绩是3分的学生人数为：， 成绩是4分的学生人数为： （2）解：（分） （3）解：第一次劳动技能比赛成绩的中位数为4分，第二次劳动技能比赛最低分是3分，且有5人， 因此得4分或5分为45人； 由于中位数仍然是4分，众数是5分， 因此成绩自小到大排列后，第25、26个成绩必须是4，且得5分的人数要比得4分人数多， 因此得5分的人数为23或24人． 【点睛】考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握意义和计算方法是正确解答的前提． 题型07利用众数求未知数据的值 【例12】若一组数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4，则这组数据的中位数为． 【答案】 【详解】解：因为数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4， 所以， 所以八个数中中间两个数为4和5， 则这组数据的中位数为． 故答案为：． 【例13】为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 【答案】46件 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数是50件， ∴， 将这组数据从小到大排列为42，45，46，50，50， 所以这组数据的中位数为46件． 【变式7-1】一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝ 【答案】3 【详解】解：当这组数的众数是2时，， 此时平均数是：， 故此情况不成立； 当这组数的众数是3时，， 此时平均数是：， 故此情况成立； 当这组数的众数是4时，， 此时平均数是：， 故此情况不成立． 故答案为：3． 【变式7-2】有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为． 【答案】35 【详解】解：个正整数，平均数是10， 和为110， 中位数是9，众数只有一个8， 当11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35时，最大的正整数最大为35， 故答案为：35． 【变式7-3】在我市2024年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是米（精确到0.01米）． 成绩（单位：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人数 2 3 2 3 成绩（单位：米） 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 1 1 【答案】 【详解】解：根据分析可知，成绩为1.75的有4人，成绩为1.80的有1人， 所以这17名运动员的平均跳高成绩是米． 故答案为：． 题型08利用方差求未知数据的值 【例14】某组数据的方差，则该组数据的总和是（    ） A．8 B．20 C．40 D．无法确定 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵数据的方差， ∴该组数据共有8个，平均数为5， ∴该组数据的总和是． 故选：C 【例15】已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为． 【答案】5 【分析】 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 解得：， 则的平均数为：5， 故答案为：5． 【变式8-1】在计算一组数据的方差时，，则x表示的数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵方差公式中每个数据均减去6，数据为3、4、6、x、9， ∴这组数据的平均数为6． ∴， 解得． 故选：C． 【变式8-2】如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【分析】 【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 【变式8-3】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是. 【答案】8 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据的方差是． 故答案为：8． 题型09根据方差判断稳定性，做决策 【例16】2025哈尔滨亚冬会成功举办，进一步推动了冰雪运动在中国的普及．下表记录了甲、乙、丙、丁四名短道速滑男子500米运动员5次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数／秒 45.10 45.10 46.15 46.35 方差 5.5 3.3 7.1 8.2 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员． 【答案】乙 【详解】解：由表中数据得到四名运动员成绩的方差大小为：， 所以乙运动员发挥稳定， 所以应该选择乙运动员参加比赛． 故答案为：乙． 【例17】2012年A和B两座城市四季的平均气温如表所示： 气温 城市 春 夏 秋 冬 A 19 9 B 15 30 24 11 (1)分别计算A和B两座城市的年平均气温； (2)哪座城市四季的平均气温较为接近？______．（直接写城市即可） 【答案】(1)A城市的平均气温是；B城市的平均气温是 (2)B城市 【分析】 【详解】（1）解：A城市的平均气温是， B城市的平均气温是； （2）解：B城市四季的平均气温较为接近． 理由如下：， ， 因为，所以B城市四季气温的平均气温较为接近， 故答案为：B城市． 【变式9-1】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次，每次射靶的成绩如下： 甲：，，，，，，，，，； 乙：，，，，，，，，，； 丙：，，，，，，，，，． (1)根据以上数据完成下表： 运动员 平均数 中位数 方差 甲 8 8 乙 8 8 2.2 丙 6 3 (2)依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由． 【答案】(1)2，6 (2)甲的成绩最稳定，见解析 【分析】 【详解】（1）解：甲的平均数是8， 甲的方差为：； 把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是； 故答案为：2，6； （2）甲的方差乙的方差丙的方差，而方差越小，数据波动越小， 甲的成绩最稳定． 【变式9-2】为了从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次（单位：环）： 甲：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10 乙：9，6，7，6，2，7，7，a，8，9 (1)求甲选手的平均成绩； (2)已知乙选手的平均成绩是7环，求乙的中位数； (3)已知，请通过计算说明谁的成绩较稳定？ 【答案】(1)7 (2)7 (3)乙的成绩比较稳定 【分析】 【详解】（1）解：甲选手的平均成绩； （2）解：， 将乙这组数据从小到大排列为：2，6，6，7，7，7，8，9，9，9， 处在第5、6位的两个数都是7， 因此乙的中位数是7； （3）解：， ∵， ∴乙的成绩比较稳定． 【变式9-3】某校八年级举行了“手工小达人”比赛，甲、乙两个班各选取五名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）．甲班：7，8，9，8，8；乙班：7，10，5，9，9．该校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表． 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 a 8 c 0.4 乙班 8 b 9 3.2 (1)填空：______；______；______； (2)王校长需要在甲、乙两班中选出一个班级作为学校代表参加市里的比赛，那么王校长应选择哪个班级作为代表去参赛？请说明理由． 【答案】(1)8，9，8 (2)应选择甲班级作为代表去参赛，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：， 乙班5名学生的成绩众数是（9分），即， 将甲班成绩数据排列为：7，8，8，8，9，处在中间位置的一个数是（8分），因此中位数是（8分），即， 故答案为：8，9，8； （2）因为平均数相同，但甲班的方差比乙班的小，所以王校长应选择甲班级作为代表去参赛． 一、单选题 1．数据：9、6、3、5、9、6、4、3、8、9中，众数、中位数和平均数分别为（    ） A．3、5、 B．9、6、 C．9、5、 D．9、6、6 【答案】B 【详解】解：在这组数据中，9出现了3次，出现次数最多， 所以其众数为9； 将这组数据按从小到大进行排序为3、3、4、5、6、6、8、9、9、9，则第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 所以其中位数为； 这组数据的平均数为； 故选：B． 2．七年级（1）班学生在某周参加运动的次数只有4次，5次，6次，7次四种情况，图中描述了这班学生运动的相关的情况．则下列有关该七年级（1）班说法正确的是（    ） A．七年级（1）班学生数为40人 B．七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为16 C．七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为5 D．七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为5 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、七年级（1）班学生数为（人），故不符合题意； B、七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为5，故不符合题意； C、七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为，故不符合题意； D、七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为，故符合题意． 故选：D． 3．某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【详解】解：无论为何值，这组数据的中位数均为，不受影响， 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为； 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为． 故选： 4．某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】 【详解】解：当时，这组数据按从小到大顺序排列为x，8，10，10 由题意得， 则； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，x，10，10 由题意得， 则（不合题意，舍）； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，10，10，x 由题意得， 则； 综上所述：或12，符合的只有选项C． 故选：C． 5．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 6．某校对名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布直方图（不完整）如图所示，设这次抽样调查所得数据的中位数为，根据图中的信息判断的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，第一组有人，第二组有人， ∵被调查的学生总人数是， ∴将这名初中毕业生进行抽样调查所得数据按从小到大的顺序排列，第和个数据的平均数为这组数据的中位数， ∵第和个数据均落在第二组， ∴这次抽样调查所得数据的中位数， 故选：． 7．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵这一人的成绩和前44人的平均成绩相等， ∴全班45人成绩平均数不变； ∵原44人中位数为第22、23位数的平均，即86，加入90分后，总人数45，中位数为第23位数， ∴若原第22、23位均为86，加入90后第23位仍为86，中位数不变； 若原第22位为85，第23位为87（平均86），加入90后第23位为87，中位数变大； 因此，中位数可能不变或变大，无法确定； 综上，平均数不变，中位数无法确定， 故选：B． 8．已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵原数据为4、5、5、6、， ∴平均数为． ∴方差为 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．某包装的大米的标准质量是每袋，现抽取袋样品进行检测，结果如下：（超过标准质量的记作正数） 标号 1 2 3 4 5 6 与标准质量差/ 0 则这袋大米的平均质量为． 【答案】501 【详解】解：， 故答案为：501 10．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则显示的结果为． 【答案】2 【分析】 【详解】解：根据计算器上的按键功能，求该组数据的平均数为， 故答案为：2． 11．某班第二组女生参加体育测试，仰卧起坐的成绩（单位：个）如下：43、41、39、40、37．这组数据的中位数是； 【答案】40 【详解】解：这组数据按大小顺序排列为：37，39，40，41，43， 其中第3位是40， 即这组数据的中位数是40， 故答案为：40． 12．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是． 【答案】7.6 【详解】解：平均数为， 则方差 ． 故答案为：7.6． 13．太极拳自年月日申遗成功后，受到了越来越多人的喜爱．某地区把太极拳表演作为中考体育测试的一部分，某校九年级（一）班的名学生中招测试的太极拳表演成绩（满分分）如下表所示： 成绩／分 人数 已知这名学生成绩的平均数为分，众数为分，中位数为分，则的值为． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴众数，中位数． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，平均数、众数、中位数的意义，解题的关键是根据题意建立关于，的二元一次方程组． 14．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为． 成绩(分) 次数(人) 【答案】 【分析】 【详解】解：全班共有人， ， 又众数为分， ，， ， 当时，，中位数是第、两个数的平均数，都为分，则中位数为分，符合题意； 当时，，中位数是第、两个数的平均数，则中位数为分，不符合题意； 同理当，，，，，时，中位数都不等于分，不符合题意． ，． ． 故答案为． 三、解答题 15．体育课上，全班男生进行了立定跳远测验，把跳远距离达标成绩1.6米记为0，大于1.6米的用正数表示，小于1.6米的用负数表示．第一小组8名男生的立定跳远成绩如下：，，0，，，，，0． (1)第一小组男生达标率为多少？（达标率） (2)第一小组男生的平均成绩是多少米？ 【答案】(1) (2)第一小组男生的平均成绩是米 【分析】 【详解】（1）解：第一小组男生达标率为：． 答：第一小组男生达标率为． （2）解：第一小组男生的平均成绩为： （米） 答：第一小组男生的平均成绩是米． 16．某公司销售部有营销人员人，销售部为了制定某商品的月销售定额，统计了这人某月的销售量如表所示： 每人销售件数 人数 (1)这名营销员该月销售量的平均数为______件，中位数为______件； (2)请从“平均数”“中位数”“众数”三个统计量中考虑，选取多少件作为月销售定额最佳． 【答案】(1)；； (2)销售额定为件合适些，因为件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额． 【分析】 【详解】（1）解：平均数是： 件． 表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是，因而中位数是件． 故答案为：，． （2）解：月销售定额定为件合适些，由表格数据可知：出现了次最多，即众数是；则件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额． 17．我校为了纪念“一二·九”举办了八年级红歌合唱比赛，为了保证这次比赛的公正性，规定：参赛班级的基本素养、精神面貌、服装三项打分分别按的比例计入总评成绩．二班、三班、五班的基本素养、精神面貌、服装的打分如下表，计算哪个班是第一名？ 基本素养 精神面貌 服装 二班 三班 五班 【答案】五班是第一名 【详解】解：二班总评成绩：， 三班总评成绩：， 五班总评成绩：， ∵， ∴五班成绩最高． 故五班是第一名． 18．某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测得成绩如下表：（单位：环） (1)填空：①______；②_____； (2)请计算甲六次测试成绩的方差； (3)若乙六次测试成绩的方差为，你认为推荐谁参加比赛更合适？请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数 甲 10 8 9 8 10 9 9 ① 乙 10 7 10 10 9 8 ② 【答案】(1)9，9 (2) (3)推荐甲参加比赛合适 【分析】 【详解】（1）解：甲的中位数是：9， 乙的平均数是：． 故答案为：9，9． （2）解：甲的方差． （3）解：推荐甲参加比赛合适，理由如下： ∵，， ∴， ∴甲的成绩比较稳定，故推荐甲参加比赛合适． 19．在学校“建设生态文明，保护美丽家园”演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数． (1)若去掉一个最高分，平均分为；去掉一个最低分，平均分为；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为．则，，的大小关系为______．（用“”连接） (2)若五个评委给出的分数分别为，，，，，求出这组数据的方差． (3)若积分规则变为，最高分占，最低分占，中位数占，其他的分数各占，按照（2）中评委给出的分数，请计算圆圆的最后得分． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，若去掉一个最高分，平均分为， 则此时的一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 去掉一个最低分，平均分为， 则此时的一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为，故， 故答案为：． （2）五个评委给出的分数的平均数为； 所以分数的方差为 （3）因为分数为，，，，，从小到大排为，，，，，最高分为，最低分为，中位数为， 根据最高分占，最低分占，中位数占，其他分数各占， 圆圆的最后得分为． 20．项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 【答案】（1）77，85，90；（2）见解析 【分析】 【详解】由题意得：； 在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数； 把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数， 故答案为：77；85；90； 从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．答案不唯一，从中位数、众数角度回答均可 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $