精选母题第1讲：全等三角形的性质与判定-2025-2026学年苏科版数学八年级上学期

2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第1讲：全等三角形的性质与判定 母题1：根据全等性质求线段 如图，已知，，，三点共线．如果，，求的长． ▋▎名师点拨 【答案】5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形全等的性质，解题的关键是证明． 根据图形求出的长，再利用全等三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：，…………避坑指南：注意几何语言的书写格式 ， ，…………名师点拨：求线段长通常可以直接求，或通过线段和差表示 ． 1．如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． (1)求线段的长． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等即可求解； （2）由得到，，再结合三角形内角和求得，再根据角度和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，已知． (1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，再利用内错角相等，两直线平行得到，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3. 如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【答案】的周长为． 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：，，，， ，， ， 的周长为． 故的周长为． 4. 如图，，，，，垂足分别是A、B，若，，求的长． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．根据“”证明，得出，，进而求解即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 母题2：根据全等性质求角度 已知：如图，，，，、相交于点F，求的度数． ▋▎名师点拨 【知识点】几何图形中角度计算问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由得到，利用角的和差以及等量代换得到，设，利用角的和与差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 设，…………名师点拨：利用方程是求解角度的一种很方便的策略 ∵ ∴， 解得， ∴． 1．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 3. 如图，，若，，求的度数． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 4. 如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 母题3：根据全等证线段相等 如图，在和中，于，于，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）先由得，再根据对顶角相等得，然后由证明，最后根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，…………名师点拨：一个解答题一般有多问，通常前一问都是为下面几问作的铺垫，千万不要忘记使用，不会做时，看看前几问 ∴， ∵与相交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．如图，，，，垂足分别为D，E．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先利用垂直定义得到，再利用全等三角形的判定定理“”可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即． 2．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 3．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 4．已知和位置如图所示，．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）由证明，得出对应边相等即可； （2）由推出，由全等三角形的性质得出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， 由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 母题4：根据全等证角度相等 如图，，，，求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，再运用证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴，…………名师点拨：全等的证明方法较多，要根据题目条件灵活选择 ∴． 1．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 2．如图，点均在线段上，且，分别过点在的异侧作，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则由全等三角形的性质可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．已知，中，，，D为上一点，的延长线于E，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质．延长，相交于点F，先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再证明，据此即可证明． 【详解】证明：如图，延长，相交于点F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，是四边形的对角线，，点E、F分别在、上，，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用证明，即可得结论； （2）根据全等得到，根据得到，即可得结果． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 母题5：根据全等证线段和 如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用． （1）要证明，需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理来证明； （2）要证明，可利用全等三角形的性质得到对应边相等，再通过线段的等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴. （2）证明∵，名师点拨：证明第2问时通常会用到第1问的结论或者方法，不要忘记使用 ∴，， ∵，∴. 1．如图，，，E为上一点，，探究线段，与之间的数量关系． 【答案】，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，再证明，得出，，进而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ，且， ． 在和中， ， ，， ， ． 2.如图（1）：在中，，，过点C在外作直线，于M，于N (1)求证：． (2)如图（2），若过点C在内作直线，于M，于N， ，则图（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用互余关系证明，再证明，得出，，即可得出结论； （2）利用互余关系证明，再证明，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：图（1）中的结论不成立，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 3．如图，已知在中，，，点P为边上一动点，分别过点B，C作于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 4．如图，中，，点为的中点，交于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明． （2）如图中，在线段上截取，连接，证明，再证明，即可证明． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ， ， ， ， ，， ． （2）证明：如图，在线段上截取，连接． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 母题6：根据全等证线平行 已知点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据等式的性质可得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．…………名师点拨：证明平行的方法较多，证明前通过条件判断使用哪种方法，再选择全等的方法，从问题出发思考问题，即分析法是解决问题最常用的方法。 1．如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先求出，再根据“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 2．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 3．已知：点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：， ， ， 即， 在和中，， ， ， ． 4．如图，在中，，点、分别是、边上的点，连接，过点作于点，交于点，连接，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)相等，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解答本题的关键． （1）由可得，由得，所以，由得从而得，故可得； （2）由可得，由得，可得，根据“”证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴． 母题7：根据全等证线垂直 已知：如图，，，，．与、分别相交于点、． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． ▋▎名师点拨 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先由条件可以得出，再证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，即可求出； 本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴；…………名师点拨：证明垂直问题，其实就是有关角度的一个问题，关于角度的所有知识和方法都要牢记于心 （2）解：BF与的位置关系为， 证明∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质定理，正确作出辅助线为解题关键 （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）延长交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长交于点G， ， ，又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 2．如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． (1)猜想与的大小关系，并证明你的结论． (2)判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）根据全等三角形对应角相等即可求得，结合即可得出，从而得出． 【详解】（1）解：结论：． 理由：，是的高， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）结论：． 理由：， ， ， ， ， ． 3．如图，，，，垂足均为A，且． (1)求证:． (2)BD，CE互相垂直吗？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的ASA判定定理以及全等三角形的性质，掌握ASA定理和全等三角形对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键． （1）通过角度关系找到相等的角，结合已知的边和角相等，证明三角形全等，从而得出对应边相等． （2）利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的性质，判断线段是否垂直． 【详解】（1）， ，即 ∵在和中： ∴ （2），理由：延长交于点F，由（1）得: 4．两个大小不同的等腰直角三角尺如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接． (1)请找出图中的全等三角形，并证明；（注意：结论中不含有未标识的字母） (2)亮亮认为，你同意他的观点吗？为什么？ 【答案】(1)，证明见解析 (2)同意，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，根据证即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2）同意他的观点，理由如下： 由（1）可知， ， 又∵， ∴， ∴． ∴ 母题8：全等与运动点问题 如图，已知中，，为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，求和的值． ▋▎名师点拨 【答案】(1)； (2)，或，． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用动点的表达方法求解即可； （2）分类讨论全等的情况，再利用全等的性质列式运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵， ∴； （2）∵，为的中点， ∴， 由题意，得， 由题意知，需分两种情况讨论: …………避坑指南：涉及动点问题，通常都需要分情况讨论，分类考虑一定要将各种情况都考虑全面，防止漏解 若，则，， ∴，， 解得，； 若，则，， ∴，， 解得，， 由，得， ∴或均符合题意， 综上所述，，或，． 1．如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点； （1）先求出点从点出发到达点时所用的时间为秒，再根据点运动的路程即可得出点的速度； （2）依题意得，，则，，再根据，则有以下两种情况：①当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值；②当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：， 点从点出发到达点时所用的时间为：（秒）， 点从点出发到达点时所用的时间为3秒， ，， ， 点运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得：，， ，， ， 当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：； ②当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：， 综上所述：当与全等，的值为或． 2．如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于． (1)如图1，当时，设点运动时间为，当点在上，点在上时， ①用含的式子表示和，则____，______； ②当时，与全等吗？并说明理由； (2)设点运动时间为，请问：当时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，；②全等，理由见解析 (2)有可能，的值为或或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． （1）①由题意得：，，即可得出答案； ②首先求出，然后由证明即可； （2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时；②当点P与点Q重合，与全等；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，然后分别列方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：，， 则，， 故答案为：，； ②当时，与全等，理由如下： 当时，，， ∴， ∵， ∴， 又∵于E，于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，与有可能全等，分三种情况： ①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示：    则， ∴， 解得：； ②如图2所示：    ∵点P与点Q重合， ∴与全等，　 ∴， ∴． 解得：； ③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示：    则， ∴， ∴； 综上所述，符合条件的值为或或． 3．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)或． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据平行线的性质，可得，，根据运动过程可得，从而可证得结论； （2）根据运动过程，按照的取值范围进行分类讨论，分别表示出线段的长度即可； （3）由，可得，根据线段经过点，可得，证明，可得，结合运动过程列方程求解即可． 【详解】（1）证明：设长为， 根据题意可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ，， 当时，， 当时，， ∴． （3）解：∵ ∴， 当线段经过点时，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴或． 4．如图，在四边形中，．，点E为的中点，如果点P在线段上以/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)与全等，见解析 (2)秒 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，分别求得，，进而证明； （2）根据全等三角形的性质，分类讨论，或，进而即可求解． 【详解】（1）解：与全等． 理由如下：点为的中点，， ， 点、的速度都是秒， 经过秒后，，，， ，， 在与中，， ； （2）解：与全等， ，则，点的运动速度为秒； 或，即，点的运动速度为秒； 点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴这种情况不成立，舍； 点的运动速度为秒时，与全等． 母题9：添加条件证明全等 如图，已知． (1)若，求证：； (2)若要用“”为依据证明，则需要添加的条件是_______，并说明理由． ▋▎名师点拨 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键： （1）根据即可证明； （2）添加，即可根据证明； 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）解： ；   …………名师点拨：对于添加条件证明全等问题，一定要先看看题目中给了什么条件，然后结合全等的判定方法，选择合适的条件添加和证明  理由如下： 在和中， ， ． 故答案为：． 1.如图，，线段与相交于点． (1)添加一个条件： ，使； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法、、、，结合已知条件添加即可； （2）由平行线的性质得，，结合所添加条件证明即可． 【详解】（1）添加一个条件：或或（答案不唯一）． 故答案为：或或（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 2．如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 3．综合实践 华华和月月在学过全等三角形后，对如图所示的图形进行讨论，若点E，F在线段上，，想要证明，但发现缺少条件，华华想添加一个条件，通过“”来证明两个三角形全等，进而证明；月月想添加一个条件，通过“”来证明两个三角形全等，进而证明．请你从华华和月月的方法中任意选择一种，写出添加条件及证明过程． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法是解题的关键． 先证明出，再根据“”和 “”的判定进行添加条件证明即可． 【详解】解：华华，添加， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 月月，添加 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 母题10：全等问题综合探究 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． ▋▎名师点拨 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， …………名师点拨：倍长中线是一种关于全等的常用几何模型 在与中，， ， ， 在中，，…………名师点拨：借助该策略可以求一些线段的取值范围 即， 的取值范围是； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 1．阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）解：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 4．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 是高 拓展篮 数学精选母题系列 2025一2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第1讲：全等三角形的性质与判定 母题6：根据全等证线平行 母题1：根据全等性质求线段 母题7：根据全等证线垂直 母题2：根据全等性质求角度 母题8：全等与运动点问题 精选母题 全等三角形的性质与判定 母题3：根据全等证线段相等 母题9：添加条件证明全等 母题4：根据全等证角度相等 母题10：全等问题综合探究 母题5：根据全等证线段和差 学题 母题1：根据全等性质求线段 如图，已知△ABE兰△CDB,A,B,C三点共线.如果AC=7,BC=2,求CD的长. B 名师点拨 【答案】5 【知识点】全等三角形的性质 【分析)】本题考查了三角形全等的性质，解题的关键是证明AB=CD 根据图形求出AB的长，再利用全等三角形的性质，即可求出答案 【详解】解：：△ABE兰△CDB,AC=7,BC=2 避坑指南：注意几何语言的书 写格式 AB=CD :AB=AC-BC=7-2=5 名师点拨：求线段长通常可以直接求，或通过线段和差 表示 .CD=5 1/32 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025一2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变式 提高篮 拓晨练 数学精选母题系列 变式练 1,如图，已知△ABC兰△DEB,点E在AB上，DE与AC相交于点F,若DE=10: BC=4,∠D=30°，∠C=70°· (1)求线段AE的长· (2)求∠DBC的度数· 2.如图，已知△ABC≌△DEF· (1)写出AB与DE之间的数量关系及位置关系，并说明理由： (2)若AD=5,CF=2,求AC的长 B 提高盛 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=8cm,BC=6cm·AC=5cm ·若△CBD兰△EBD,求△ADE的周长. 2/32 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 拓展练 数学精选母题系列 拓展篮 4.如图，∠DCE=90°，CD=CE,AD1AC,BE⊥AC,垂足分别是A、B,若AD=5, BE=7,求AB的长， 学题 母题2：根据全等性质求角度 已知：如图，△ABC兰△ADB,∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC、DE相交于点F, 求∠EAC的度数 1名师点拨 【知识点】几何图形中角度计算问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，由 △ABC兰△ADE得到∠BAC=∠DAE,利用角的和差以及等量代换得到∠BAD=∠EAC 设∠BAD=∠EAC=a,利用角的和与差列出方程，求出a的值即可解答 【详解】解：：△ABC兰△ADE ·∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠EAC 设∠BAD=∠EAC=&, 名师点拨：利用方程是求解角度的一种很方便的策略 ∠BAE=∠BAD+∠DAC+∠EAC 3/32 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 变式练 提高 拓展练 数学精选母题系列 100°=十60°+a, 解得=20°， ·∠EAC=20°. 变式练 1·如图，△ABC兰△ADE,点E在边BC上（不与点B,C重合），DE与AB交于点F. B E (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和. 提高篮 3.如图，△ABC兰△ADE,若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC的度数 4/32 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 拓展篮 数学精选母题系列 拓展篮 4.如图，△ADC兰△APB,连接BC,BF与CD交于点E,AD‖BF,∠DAB=25·, ∠FEC=75 (1)求∠FAC的度数： (2)求∠DAF的度数 学题 母题3：根据全等证线段相等 如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A,CD⊥BD于D,AC=BD,AC与BD相交 于点0 (1)求证：△ABC兰△DCB (2)求证：A0=D0· 名师点拨 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、全等的性质和HL综合(HL) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性 质是解题的关键 (1)由HL证Rt△ABC兰Rt△DCB即可； (2)先由△ABC兰△DCB得AB=CD,再根据对顶角相等得∠A0B=∠D0C,然后由 AAS证明△AOB兰△DOC,最后根据全等三角形的性质可得结论 5/32 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变 提高篮 拓展篮 数学精选母题系列 【详解】(1)证明：BA⊥CA,CD⊥BD ∠A=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△DCB中， BC=CB LAC=BD ·Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)i (2)证明：：△ABC兰△DCB 名师点拨：一个解答题一般有多问，通常前一问 都是为下面几问作的铺垫，千万不要忘记使用，不会做时，看看前几问 ∴AB=CD AC与BD相交于点O ·∠A0B=∠D0C 在△AOB和△DOC中 1∠AOB=∠DOC ∠A=∠D AB=CD △A0B≌△DOC(AAS) ·A0=D0 变式练 1·如图，AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.求证： (1)△ABE≌△ACDi (2)BD=CE 6/32 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 变 提高篮 拓展练 数学精选母题系列 2.已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,1是过A的-条直线，BE11于E, CD⊥于D (1)求证：BE=AD (2若BE=5,CD=7,求DE的长， D B 提高盛 3.在△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB,点D、E分别是边ACBC上-点，连接AE 、BD交于点G· D G 图1 图2 (1)如图1，点F是AE上-点，连接CF,若∠BAC=∠BGE=∠EFC,求证：AG=CF (2)如图2，若∠BAC=90°，AE⊥BD于点G,CF1AC交AE延长线于点F,若 ∠ADB=∠CDE,求证：AD=DC· 7/32 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 是高 拓展篮 数学精选母题系列 拓展篮 4.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC,AD=AE,∠1=∠2·试说明： (1)BD=CE (2)AM=AN B D 学题 母题4：根据全等证角度相等 如图，CA=CD,∠1=∠2，BC=EC,求证：∠A=∠D 口1名师点拨 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合∠1=∠2，得∠ACB=∠DCE,再运 用SAS证明△ABC兰△DEC,即可作答 【详解】证明：“∠1=∠2 ·∠1+∠ECA=∠2+∠ECA, 即∠ACB=∠DCE 在△ABC和△DEC中， 8/32 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 变 提高篮 拓展篮 数学精选母题系列 BC=EC ∠ACB=∠DCE CA=CD ·△ABC≌△DEC(SAS) 名师点拨：全等的证明方法较多，要根据题目条件灵活 选择 ∠A=∠D 变式练 1.如图，在△ABC中，AB=AC点D是BC的中点，点E在AD上·求证： ∠ABE=∠ACE 2.如图，点C,D均在线段AB上，且AD=BC,分别过点C,D在AB的异侧作 FC⊥AB,ED⊥AB,连接EF交AB于点G,连接AE,BF,AE=BF (1)求证：∠AED=∠BFC (2)求证：AG=BG· 9/32 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 变多 提高篮 拓展篮 数学精选母题系列 提高篮 3.已知，Rt△ABC中，∠BAC=90·,AB=AC,D为AC上-点，CE1BD的延长线于E, 且BD=2CE,求证：∠1=∠2 D 拓展篮 4.如图，AC是四边形ABCD的对角线.∠1=∠B,点E、F分别在AB、BC上，BE=CD, BF=CA,连接EF (1)求证：∠D=∠2 2若EF‖AC,∠D=76°，求∠BAC的度数 10/32 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★