精品解析：河南省TOP二十名校2025-2026学年高一上学期十月调研考试数学试题

2028届高一年级TOP二十名校十月调研考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 是假命题 B. 的否定是真命题 C. 是真命题 D. 的否定是真命题 4 若函数则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则值域为单元素集合的充要条件是（ ） A B. C. D. 6. 学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. ：关于的方程有解，或 D. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ） A. 若集合是集，集合是非空数集，则是集 B. 若是集，则 C. 若集合是集，集合，则为集 D. 且，使得是集 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非空集合，若，则的取值范围是__________. 13. 不等式的解集为__________. 14. 如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 16. 设为正实数，且. （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围. 17. 设函数. （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）当时，若，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的值. 18. 如图，在坐标平面内，老张用竹篱笆与轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆可看作抛物线的一部分，已知的顶点为，且与轴的交点分别为（为坐标原点）.另外，老张拟在的左侧铺设一条直路作交通之用，的解析式为，且与只有一个公共点. （1）求的解析式； （2）设与轴，直线分别交于点，直线与轴交于点，老张打算将，直线轴和轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当为何值时，菜园的面积取得最小值？ 19. （1）已知，求证：； （2）设函数的定义域均为，若，则称是上的“和有界函数对”. （i）若是上的“和有界函数对”，证明：； （ii）当，且时，若是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”，请判断是否是上的“和有界函数对”，若是，请给出证明；若不是，请给出反例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级TOP二十名校十月调研考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 是假命题 B. 的否定是真命题 C. 是真命题 D. 的否定是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断命题和命题的真假，进而判断选项即可. 【详解】命题， 当时，，则是真命题； 命题， 当时，，则是假命题. 综上所述，是真命题，的否定是假命题，是假命题，的否定是真命题. 故选：D. 4. 若函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合一次函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，则； 当时，，则， 所以函数的值域为. 故选：A. 5. 已知函数，则的值域为单元素集合的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，进而求解判断即可. 【详解】由题意，，则， 要使的值域为单元素集合， 则，即，故B正确，AC错误； 对于D，由，等价于，即， 此时由可得， 但由得不到，故D错误. 故选：B. 6. 学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设恰好报名参加两项比赛的有人，兼报三项比赛的有人，由题意可得 ，进而得到，再分析求解即可 【详解】设恰好报名参加两项比赛的有人，兼报三项比赛的有人， 则，所以， 要让最大，则需要最小， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意， 所以兼报三项比赛的最多有5人. 故选：C. 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的定义结合函数恒成立问题求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 8. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值. 【详解】因为为正实数，所以， 当且仅当时等号成立， 从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设最小值为2，，，所以， 所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，， 同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得， 若取，则，即，假设成立，C正确，D错误. 故选：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. ：关于的方程有解，或 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】对于A选项，，即， ，即， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，若取，则满足，不满足，则不是的充分条件， 显然，即是的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，：关于的方程有解，即， 而或， 所以是的充要条件，故C错误； 对于D选项，仅是方程的一组解， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式求解判断各选项即可. 【详解】因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立， 则，所以，当且仅当时等号成立，故A正确，B错误； 由，则，所以， 当且仅当时等号成立，故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ） A. 若集合是集，集合是非空数集，则是集 B. 若是集，则 C. 若集合是集，集合，则为集 D. 且，使得是集 【答案】AB 【解析】 【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断. 【详解】选项，若取，则，显然不符合集的定义，A错误； B选项，由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），B错误； C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于2，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，C正确； D选项，设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，，D正确. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非空集合，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，进而根据包含关系求解即可. 【详解】因为，所以，又集合为非空集合， 则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 13. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 详解】当，即时，不等式成立； 当时，由. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为__________. 【答案】4，3，8 【解析】 【分析】根据给定条件，推理可得，再由表示式的结构形式列出方程，借助恒等式求出即可. 【详解】由，则， 而，所以， 所以，则， 所以，则， 因为，所以，解得. 故答案为：4，3，8. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）首先解不等式得到，再求其补集即可. （2）首先解不等式得到或，再求即可. 根据集合， 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为或， 所以或， 所以. 16. 设为正实数，且. （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）基本不等式得，，根据条件得，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 【小问2详解】 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 即的取值范围是. 17. 设函数. （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）当时，若，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，将条件转化为关于的不等式有解，则判别式，即可得答案. （2）当时，将条件转化为关于的不等式恒成立，则判别式，即可得答案. （3）将条件转化为为方程的两个根，根据韦达定理即可得答案. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以关于的不等式有解， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 因， 所以关于的不等式恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 因为不等式的解集为， 所以为方程的两个根， 所以，解得. 18. 如图，在坐标平面内，老张用竹篱笆与轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆可看作抛物线的一部分，已知的顶点为，且与轴的交点分别为（为坐标原点）.另外，老张拟在的左侧铺设一条直路作交通之用，的解析式为，且与只有一个公共点. （1）求的解析式； （2）设与轴，直线分别交于点，直线与轴交于点，老张打算将，直线轴和轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当为何值时，菜园的面积取得最小值？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线方程的顶点式方程，结合点的坐标代入，即可求得答案； （2）由题意知菜园的面积取得最小值等价于梯形的面积取得最小值，从而结合直线以及抛物线方程求出相关点的坐标，求出梯形的面积的表达式，利用基本不等式判断其最小值情况，即可求得答案. 【小问1详解】 因为的顶点为，设其方程为， 因为通过原点，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意可知， 与x轴围成的区域的面积为定值， 故菜园的面积取得最小值等价于梯形的面积取得最小值. 由消去得，， 因为在的左侧，且与只有一个公共点，则方程有两个相同的实数根， 所以，所以， 且，即，则的解析式为， 令，得；令，得， 所以. 所以梯形的面积 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，菜园的面积取得最小值. 19. （1）已知，求证：； （2）设函数的定义域均为，若，则称是上的“和有界函数对”. （i）若是上的“和有界函数对”，证明：； （ii）当，且时，若是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”，请判断是否是上的“和有界函数对”，若是，请给出证明；若不是，请给出反例. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合绝对值的几何意义去绝对值，再利用不等式的性质证明即可； （2）（i）根据题干所给定义证明即可； （ii）根据题干所给定义，结合（1）的结论证明即可. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以，所以. （2）（i）证明：因为是上的“和有界函数对”， 所以， 令，则， 由任意性，得. （ii）解：是上的“和有界函数对”，证明如下： 因为是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”， 所以. ①若任取，由，易知存在，不妨令， 所以（*）， 由（1）的结论得，式 ， 由（i）得，，又， 所以， 即， 同理可得，当时，， 令，即， 所以. ②若任取，则； 若任取，则. 综上，，即是上的“和有界函数对”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $