8.6.1直线与直线垂直 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直线位置关系，重点讲解异面直线所成角的定义、范围及求法。课堂导入从平面几何相交直线的角切入，通过类比与问题链引导学生将空间异面直线问题转化为平面相交直线问题，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以类比和转化思想为主线，通过“一作二证三算四结论”的步骤化方法培养学生数学思维，结合正方体、三棱锥实例强化空间观念。例题典型且步骤清晰，帮助学生掌握空间问题平面化的解题策略，也为教师提供结构化的教学流程和直观的教学示范。

回忆一下 空间中的两条直线的位置关系 8.6.1 直线与直线垂直 2 思考一下 问题1．平面几何中，用什么量来刻画两条相交直线的位置关系？ 两条相交直线所成的角．不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角） 刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度． 问题2．空间中，用什么量来刻画两条异面直线的位置关系？ 相交直线的位置关系 异面直线的位置关系 类比 异面直线所成的角 相交直线所成的角 问题3. 如何定义两条异面直线所成的角？ 异面直线 相交直线 转化 对于异面直线a，b，过空间一点O，有_______条直线与b平行 有且只有一条 无关 异面直线所成角： 已知两条异面直线经过空间任一点分别作直线 我们把直线与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角(或夹角). 空间图形问题 平面图形问题 转化 异面直线所成角范围（0， 特别地，当条两异面直线所成的角为时，称两条异面直线垂直. 记作： 思考一下 追问．空间中两条直线所成的角的范围是什么？ 异面直线所成角范围（0， （1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D' ，D'A' （2）∵ 因为ABCD－A'B'C'D' 是正方体， ∴ BB'//CC' ， ∴ ∠A'BB'为异面直线BA' 与CC'所成的角. 又 ∠A'BB' =45°， ∴ 异面直线 BA'与CC'所成的角等于45°. （3）如图，连接A'C‘. 连接BC' ，易知△A' BC'是等边三角形， 由正方体ABCD－A'B'C'D‘ 知， AA'∥CC' ， AA' = CC'. ∴四边形AA' C' C是平行四边形． ∴ AC//A' C‘. 故∠BA' C'为异面直线BA'与AC 所成的角. ∴ ∠BA' C' =60°. 从而异面直线 BA'与AC所成的角等于60°. 即：异面直线 BA'与AC所成的角等于60°. 作 证 算 结论 小结：如何求异面直线所成的角？ (1)一作：恰当地选择一个点，用平移法作出异面直线所成的角或其补角； (2)二证：证明(1)中所作出的角（或其补角）就是所求异面直线所成的角； (3)三算：通过解三角形或其它方法，求出(1)中所作角的大小； (4)四下结论：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 一作,二证,三计算,四下结论 证明： 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1 的中心．求证AO1⊥BD. ∴ 直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角． 作 证 算 结论 11 例3：如图所示，在三棱锥 A­BCD 中，AB＝CD，AB⊥CD， E，F 分别为 BC，AD 的中点，求直线 EF 与 AB 所成的 角的大小． 解：取 BD 的中点 G，连接 EG，FG. ∵ AB⊥CD，所以 EG⊥GF. ∴ ∠EGF＝90°. ∴ △EFG 为等腰直角三角形． ∴ ∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°. ∵E，F 分别为 BC，AD 的中点，AB＝CD， ∴ ∴ ∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角， EG＝GF. G 作 证 算 结论 归纳总结 2.求异面直线所成角的方法：平移至相交所成的角 步骤：一作 二证 三求 四结论 3.数学思想方法：类比、转化 1.异面直线所成角研究路径： 相交直线所成的角 异面直线所成的角 类比 转化 90° 相交直线互相垂直 异面直线互相垂直 直线与直线垂直 课堂检测 课本：P148 练习 1，2，3 P162 习题8.6 1（1） 作业 课本：P148 4 课本：P163 11 大本：P112 左上角 2 $