精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区凤翔中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷（珠峰班）

凤翔中学2025-2026学年度第一学期 高二年级珠峰班第一次质量检测数学科试题 一、单选题 1. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为未包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，， 而，故D错误. 故选：C. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，在长方体中记平面为平面，平面为平面，直线为直线，由此可得，，但，故A错误，对于B，设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作，由可得，证明，，由此可得，判断B，对于C，过直线作平面，，过直线作平面，，由线面平行性质定理可得，，再由线面平行判定定理证明，再证明结论，判断C，对于D，结合面面平行的定义和线面平行的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，多面体为长方体， 记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确， 对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确， 对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 4. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次， 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类，剩余2个位置分别给另外两种：种，总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 5. 在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量. 【详解】设平行六面体棱长为，， 且，， ， 在上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱与圆锥的底面半径为1，可得圆柱与圆锥的高均为，再设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为，结合图象建立、的方程，解得，代入球的表面积公式计算即得. 【详解】不妨设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均为. 设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为， 由图可得，， 解得，故， 则. 故选：A. 7. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分是否为0，即斜率是否存在讨论，再结合正切函数的图象即可求解. 【详解】当时，直线的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则有， 结合正切函数的图象可知，倾斜角的取值范围为， 当时，倾斜角为， 综上，直线l的倾斜角取值范围为. 故选：C. 8. 数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 二、多选题 9. 下列结论错误的是（ ） A. 任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B. 若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C. 设点，则平面的一个法向量为 D. 若向量，则与的夹角为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 10. 下列说法中正确的是（    ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B. 从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C. 数据的第70百分位数是23.5 D. 若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 【答案】AC 【解析】 【分析】A，用简单随机抽样的方法求解；B，根据对立事件的概念进行判断；C，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D，先得到，，，的方差，再通过计算的方差，进而得到其标准差，即可得答案． 【详解】对于A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本， 则个体被抽到的概率为，正确； 对于B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，有3个都是红球，1个红球2个白球， 2个红球1个白球，3个都是白球，共4种情况， 显然事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，为互斥事件而非对立事件，错误； 对于C．从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C正确； 对于D．若样本数据，，，的标准差为1，则，，，的方差为1， 设，，，的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AC． 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心 B. 若，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的外心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件证明与底面所成的角为，与底面所成的角为，与底面所成的角为，，，，对于A，先证明，由此证明，同理可得，由此判断A，对于B，根据线面垂直判定定理及线面垂直的定义证明，同理可证，，由此判断B，对于C，先证明，由此证明，同理可得，由此判断C，对于D，设棱的中点分别为，证明四边形为矩形，由此可证，同理可证，，由此判断D. 【详解】因为为在底面的射影， 所以平面， 所以与底面所成的角为，与底面所成的角为， 与底面所成的角为， 因为平面，平面， 所以，，， 所以都是直角三角形， 对于A，由已知可得，，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，A错误； 对于B，因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，平面， 所以， 同理可证，， 所以为的垂心，B 正确； 对于C，因为都是直角三角形，又，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，C正确； 对于D，设棱的中点分别为， 则，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，所以， 因为点为的中点，点为的中点，所以，又， 所以，同理可证，， 所以三棱锥三组相对的棱互相垂直，D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12. 如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面的性质与公理找出截面，进行求解即可. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 则四边形即为所求截面图形,如图， 因为为的中点，由相似比可知为的中点， 则，因为，分别为，中点， 所以， 所以，， 同理，， 所以周长为. 故答案为：. 13. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据四分位数的定义分别求出上四分位数与下四分位数，再计算它们的差值． 【详解】计算下四分位数，已知数据个数，下四分位数即第分位数，此时，则． 由于1.75不是整数，将1.75向上取整得到，所以下四分位数是排序后第个数据，即． 计算上四分位数，上四分位数即第分位数，此时，则． 由于5.25不是整数，将5.25向上取整得到，所以上四分位数是排序后第个数据，即． 上四分位数与下四分位数的差为． 故答案为：18． 14. 在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量的加法运算将转化为，从而找到在线段上且靠近的三等分点处，继而得到到平面的距离是到平面的距离的2倍，从而得到所求. 【详解】设是的中点，，又， ，，， 设是的中点，是的中点，，， ，，在线段上且靠近的三等分点处， 又线段为的中位线，， 到平面的距离是到平面的距离的2倍，. 故答案为：2 四、解答题 15. 已知直线l过点． （1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程． 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为． （2）若点在直线l上，且，求的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）所选条件①或②，直线方程均为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据所选条件，由倾斜角与斜率的关系或方向向量求，再应用点斜式写出直线方程； （2）根据的几何意义，数形结合法求其范围即可. 【小问1详解】 选①：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即． 选②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； 【小问2详解】 表示与点连线的斜率． 又是直线l在部分上的动点，作图如下： 则，直线AB的斜率不存在， 则，即的取值范围为. 16. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可； （2）利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）6人 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱平面ABC，，点D是BC的中点，点F是的中点，点E在AC上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在一点P，使得直线PF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在三棱柱中，取的中点M，中点，连接， 则，四边形为平行四边形，， 由点D是BC的中点，且，得，即四点共面， 连接DM，FM，由点F，M分别为，的中点，得且， 则，，于是四边形FMDB为平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，4 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质及平行公理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由点D是正边BC的中点，得，过作，而平面ABC， 则平面ABC，以D为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，又，则， ，， 设平面的法向量为，则，令，得， 而平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为θ， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，， 设，则， ，取AB的中点G，则，， 由侧棱平面ABC，平面，得平面平面ABC， 而平面平面，平面ABC，则平面，又， 由直线PF与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年度第一学期 高二年级珠峰班第一次质量检测数学科试题 一、单选题 1. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 4. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论错误的是（ ） A. 任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B. 若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C. 设点，则平面的一个法向量为 D. 若向量，则与的夹角为钝角 10. 下列说法中正确的是（    ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B. 从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C. 数据的第70百分位数是23.5 D. 若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心 B. 若，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的外心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 三、填空题 12. 如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________． 13. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 14. 在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为______. 四、解答题 15. 已知直线l过点． （1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程． 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为． （2）若点在直线l上，且，求的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱平面ABC，，点D是BC的中点，点F是的中点，点E在AC上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在一点P，使得直线PF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $