2.3.4圆与圆的位置关系 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该教案聚焦圆与圆的位置关系判断（代数法、几何法、公切线法），通过生活中圆与圆位置关系图片导入，联系直线与圆位置关系旧知，搭建从直观到抽象的知识迁移支架。 亮点在于问题导学驱动探究，从生活情境抽象数学问题（数学眼光），通过联立方程组推导代数法、证明几何法培养逻辑推理（数学思维），公切线法等多种表征表达关系（数学语言）。例2引导发现公共弦方程，提升学生探究能力，互动式教学与多媒体辅助提高课堂效率，助力教师突破难点。

课题 2.3.4 圆与圆的位置关系 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第五章第二部分 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： · 1.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. · 2.能够利用代数和几何判断方法来判断两圆的位置关系. 重点：圆与圆位置关系的判断. 难点：通过两圆方程联立的方程组的解来研究圆与圆的位置关系. 教学方法和手段 。 教学方法 · 启发式教学法：引导学生从实际图形出发，自主发现、总结圆与圆的位置关系。 · 问题导学法：通过提出具体问题，引导学生思考、探究和解决问题。 · 互动式教学法：组织小组讨论等活动，增加学生的参与度和主动性。 教学手段： · 多媒体教学：利用PPT、动画等展示圆与圆的位置关系。 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 情景 导入 【情境展示】 教师多媒体展示日常生活中关于圆与圆位置关系的图片. 创设问题情境：在日常生活中，可以见到很多有关圆与圆的位置关系的形象，前面我们已经借助直线与圆的方程研究了它们之间的位置关系，本节课我们能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？ 通过生活中的例子，引导学生思考圆与圆的位置关系。 新课 讲解 知识点1：圆与圆的位置关系判断方法之代数法 知识点2：圆与圆的位置关系判断方法之几何法 知识点3：圆与圆的位置关系判断方法之公切线法 教师布置任务：在初中几何中，圆与圆的位置关系是怎样的？请大家回忆并填写下表： 位置关系 公共点个数 相离 相切 相交 （学生独立思考，填写表格，之后教师展示结果） 【问题1】：判断圆C1：x2+y2=2与圆C2：(x-2)2+y2=1的位置关系，并说明理由. （教师引导学生类比直线与圆的位置关系的研究过程，探究如何借助圆的方程来判断圆与圆的位置关系，部分学生可能会采取最直观的方法，即在平面直角坐标系中作出圆C1与圆C2，观察图形中两圆的公共点个数，进而得出结论） 预设答案： 在平面直角坐标系中作出圆C1与圆C2，如图，它们有两个公共点，因此圆C1与圆C2相交. 教师提问：对于这种方法，大家觉得是否会存在问题？ 学生回答：该方法问题在于作图判断不够精确，若作图不准确或差别较小，容易得出错误结论。 教师追问：那么类比直线与圆的位置关系，思考从“数”的角度对圆与圆的位置关系进行更深入、细致的研究，我们可以通过讨论圆与圆的方程组成的方程组的解的个数来研究它们的位置关系，也就是我们所说的坐标法.接下来把时间交给同学们，请大家尝试求解两圆方程联立的方程组. 学生回答： 联立方程组①－②得4x-4=2-1，从而③， 将③代入圆C1的方程可得=2，因此. 这就说明圆C1与圆C2有两个公共点，而且公共点的坐标为， 即圆C1与圆C2相交. 教师引导：初中几何中，我们总结出了两圆有不同的位置关系时，其半径r1 ， r2与圆心距d的关系.（教师展示表格，学生回忆） 教师提问：通过刚才的复习，想必有些同学能够想到判断圆与圆位置关系的第三种方法了，接下来请大家利用半径与圆心距的关系，判断圆C1：x2+y2=2与圆C2：(x-2)2+y2=1的位置关系，并说明理由. 预设答案：因为圆C1与圆C2的圆心距为， 而两个圆的半径分别为1，，又因为， 所以圆C1与圆C2相交. 教师提问：虽然我们已经利用半径与圆心距的关系判断出了圆与圆的位置关系，但是对于这种方法为什么是可行的我们需要给出严格证明. 教师引导：给定平面中的⊙C1和⊙C2，以C1为原点，C1C2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系. 在此基础上，请大家自己尝试证明几何法判定圆与圆的位置关系的合理性. 预设答案：设两圆的圆心距为d，则⊙C2的圆心坐标为(d，0)，两个圆的方程为分别为 联立得 第一式减去第二式，整理可得 代入第一式，可得 因此，当且仅当时，有两个不同的实数y满足方程组， 此时⊙C1和⊙C2相交. 教师补充：我们可以看出，其实对于其他情况，同样也可以通过代数方法加以证明. 【例1】分别判断下列两个圆的位置关系： （1） （2） 【师生活动】由学生独立完成，教师提醒学生需要注意相切的特殊性，要说明是内切还是外切。 【例2】判断已知圆与圆位置关系；若相交，求出它们交点所在的直线方程. 【师生活动】由学生自主解决，在学生解答出方法一之后，教师以问题串的形式提问学生三个问题：两圆的交点与两圆方程相减得到的直线方程有什么关系？这条直线与两圆有什么关系？我们能得到什么结论？学生观察思考，讨论交流，最后师生共同得出求公共弦所在直线的方程的常用方法。 教师讲解：同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线. （教师利用多媒体图片演示两圆外离时的其中一条公切线） 并提问：观察图片，我们能够看出这两个圆是外离的位置关系，它们的公切线是否只有一条呢？如果不是，请同学们进行补充. （学生在演算纸上画出两个外离的圆，尝试将公切线补全，教师巡视指导） 教师追问：两圆位置关系的不同就会导致公切线的不同，请大家继续在演算纸上把两圆所有位置关系的情况都画出来，然后画出他们的公切线，之后我们公布答案. （学生画图，教师巡视指导，之后展示答案，总结结论） 师生总结： 回顾初中圆与圆位置关系的分类，为判断圆与圆位置关系做铺垫。 由浅入深，先从直观上得出判断圆与圆位置关系的方法，再通过分析现有方法存在的问题引出代数法可以精确判断。 回顾初中几何圆与圆位置关系中两圆半径与圆心距的关系，引出判断圆与圆的位置关系的几何法。 对几何法进行严格证明，鼓励学生自行证明，培养学生运用代数方法解决几何问题的能力。 旨在引导学生根据例题总结出求公共弦所在直线的方程的常用方法。 当堂 练习 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 通过设计不同难度的练习题，帮助学生巩固对理论知识的理解，确保他们能够正确地应用所学的概念。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括. 总结本节课的知识点，强化学生对圆与圆位置关系的理解和记忆。 板书设计 标题 2.3.4 圆与圆的位置关系 主要内容 一、圆与圆的位置关系回顾 二、判断方法 三、示例与练习 四、课堂小结 总结圆与圆的位置关系及其判断方法 教学设计反思 一、教学目标达成情况 在教授《圆与圆的位置关系》这一课时，我设定的教学目标主要包括学生对圆与圆位置关系的理解、掌握判断方法以及能够应用所学知识解决实际问题。从课堂表现和课后作业来看，大部分学生能够理解圆与圆的位置关系分类，并基本掌握判断方法。然而，在实际应用中，仍有部分学生显得不够熟练，需要进一步加强练习。 二、教学方法与手段运用 在教学方法上，我采用了启发式教学、问题导向教学和互动式教学等多种方式，力求通过引导学生思考、探究和解决问题来激发学生的学习兴趣和主动性。教学手段上，我利用了多媒体教学工具，通过动画、图像等直观地展示了圆与圆的位置关系，有助于学生更好地理解和掌握知识。 在教学过程中，我发现学生对直观图形和动画的展示非常感兴趣，这有助于他们更快地理解知识。同时，我也注意到在互动式教学环节，学生的参与度和积极性都很高，这有助于他们更好地掌握和运用所学知识。 三、学生反馈与课堂互动 在课后与学生的交流中，我了解到大部分学生对本节课的内容表示满意，认为通过本节课的学习，他们对圆与圆的位置关系有了更清晰的认识，也掌握了一些实用的判断方法。同时，他们也提出了一些宝贵的建议，如希望增加更多的实例和练习，以便更好地巩固所学知识。 在课堂互动方面，我注意到学生的参与度较高，但仍有部分学生显得较为被动。在今后的教学中，我将更加注重引导学生积极参与课堂讨论和互动，提高他们的学习主动性和积极性。 四、教学改进与提升 针对本节课的教学情况和学生反馈，我认为可以从以下几个方面进行改进和提升： 增加实例和练习：通过更多的实例和练习来巩固学生的所学知识，提高他们的解题能力和实际应用能力。 注重知识拓展：在讲解基础知识的基础上，可以适当拓展一些相关知识点，如利用代数法判断两圆位置关系等，以拓宽学生的知识面。 加强课堂互动：通过设计更多的互动环节和讨论话题来引导学生积极参与课堂讨论和互动，提高他们的学习主动性和积极性。 关注学生个体差异：针对不同学生的学习情况和需求，采用个性化的教学方法和手段，帮助他们更好地掌握所学知识。 通过以上改进和提升措施的实施，我相信可以进一步提高《圆与圆的位置关系》这一课程的教学质量和效果。 学科网（北京）股份有限公司 $