精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学2025-2026学年高一上学期阶段检测一（10月）数学试题

扬州大学附属中学2025-2026学年度第一学期 高一数学阶段检测一 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点为（ ） A. 1 B. －3 C. 1和－3 D. 和 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则函数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 用分数指数幂可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，使得 D. ，使得 7. 设x，y，，则三个数，，（ ） A. 都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 至少有一个不小于2 D. 都小于2 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为3 C. 的最大值为 D. 11. 已知关于的函数有且只有1个零点，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ） A. B. C. D. ，使得 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则__________． 13. 已知，且，则的最小值为________． 14. 若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题（共5题，共77分） 15. （1）求值：． （2）已知，求的值． 16. 已知全集，集合，集合． （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州大学附属中学2025-2026学年度第一学期 高一数学阶段检测一 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，根据交集的定义求即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2. 函数的零点为（ ） A. 1 B. －3 C. 1和－3 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】当时，得或，即不一定成立， 当时，且，所以成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 4. 若，则函数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵，则， 故，当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 5. 用分数指数幂可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式和分数指数幂的化简计算即可. 【详解】, 故选:B. 6. 设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可． 【详解】，， 当⫋时，，使得，故A错误； ，，必有，即，必有，故B正确； 由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误； 当时，不存在，使得，故D错误， 综上只有B是正确的． 故选：B． 7. 设x，y，，则三个数，，（ ） A. 都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 至少有一个不小于2 D. 都小于2 【答案】C 【解析】 【分析】假设，，都小于2，则，利用基本不等式得，与假设相矛盾，由此可得选项. 【详解】解：假设，，都小于2，则， 而当x，y，时，，当且仅当“”时，等号成立． ∴假设错误，∴，，中至少一个不小于2． 故选：C. 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 10. 已知，，且，则（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为3 C. 的最大值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A；利用消元法求最值判断B；C先平方，再结合基本不等式求解；D利用消元法以及作差即可判断. 【详解】，，则，得，等号成立时， 故mn的最大值为，故A正确； 因，则， 当时，有最小值，故B正确； ， 等号成立时， 则的最大值为，故C错误； 因，则， 因方程的，则，则， 故D正确. 故选：ABD 11. 已知关于的函数有且只有1个零点，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ） A. B. C. D. ，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系结合函数的零点、消元法一一分析选项即可. 【详解】对于A，由题意可知，只有一个根，即， 所以，故A正确； 对于B，由得， 因为的解集为，即的两根为，， 所以，故B错误； 对于C，由，得， 即，由得， 因为的解集为，所以， 得， 所以，整理得，故C正确； 对于D，，当时，可以为整数，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据基本不等式配凑定值计算即可. 【详解】已知，代入得：， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：5 14. 若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】把恒成立转化为最大值之间的关系列式计算求解. 【详解】对任意，总存在，使得成立， 所以，当，时，，所以． 故答案为：． 四、解答题（共5题，共77分） 15. （1）求值：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）;（2）3 【解析】 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）易知∵，∴． 16. 已知全集，集合，集合． （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，再根据并集运算求解即可； （2）依题意集合是的真子集，分，，，讨论求解即可. 【小问1详解】 由，得到，即，解得，所以， 由，得到， 因为，则的解集为，所以， 则； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又，， 若，则，此时不满足是的真子集， 若，则，此时不满足是的真子集， 若，则，又是的真子集，则， 综上所述，实数的取值范围为． 17. 已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数值域列出判别式计算求解； （2）分真假及假真分别列式计算求解. 【小问1详解】 若为真命题，有，解得或． 【小问2详解】 若为真命题，则或， 若为真，则，解得， 若，中有且仅有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，则，解得或， 若假真，则，解得， 综上，实数的取值范围是或． 18. 某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）30米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数对任意的恒成立，进而变形利用基本不等式求的范围即可. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米， 所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为（）米， 设甲工程队报价为y元， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324000元. 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 【答案】（1）“上位点”为，“下位点”为 （2）是，证明见解析 （3）4051 【解析】 【分析】（1）根据上位点和下位点的定义，找出满足条件的坐标即可. （2）要判断点与点和点的上下位关系，需要根据定义分别计算相应的比值并比较大小. （3）根据条件找到满足要求的最小正整数，需要通过上下位关系列出不等式求解. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和． 【小问2详解】 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； 【小问3详解】 由题意对任意，都成立， 所以，所以，即 即总存在正整数，使不等式成立， 则对任意，都成立， 所以，即对任意，为正整数恒成立， 所以，所以 所以正整数的最小值为4051. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $