22.2 二次函数与一元二次方程&22.3 实际问题与二次函数 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

22.2二次函数与一元二次方程 知识梳理 ①一元二次方程ax2+bx十c=0的实数根，就是二次函数y=ax2十bx十c的图象与x轴的 交点的横坐标， ②对于抛物线y=ax2+bx十c,当b2一4ac<0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0 时，抛物线与x轴有一个交点；当b-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点. 当堂练习 1.已知二次函数y=x2一3.x十m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x2一3x十m=0的两个实数根是 (B) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 2.二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y>0时，x 的取值范围是 (D) A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>3 3.已知抛物线y=x2-(a十2)x十9的顶点在坐标轴上，则a的值为4或-8或-2_· 4.如图，抛物线y=ax2十bx十c与直线y=kx十m交于A,B两点. (1)方程a.x2+bx十c=kx十m的解为x1=-1,x2=2; (2)不等式a.x2十b.x十c≤k,x十m的解集为x≤-1或x≥2： 5.已知二次函数y=x2-4x十3a十2(a为常数). (1)请写出该二次函数的三条性质； (2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数 y=2x一1的图象有两个交点，求a的取值范围， 解：(1)：y=x2-4x+3a十2=(x-2)2+3a一2，其性质有：①开口向上；②有最小值3a-2;③对称轴 为直线x=2;(答案不唯一) (2)令x2-4x+3a+2=2x-1,整理为x2-6.x十3a十3=0. ∴.△=(-6)2-4×1×(3a+3)=24-12a>0,解得a<2. 把x=4代入y=2x-1,解得y=2×4一1=7. ,二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x一1的图象有两个交点， “当x=4时，二买函数的函数值大于或等于一买函数的函数值，即16一16十3a+2≥7，解得≥号 故a的取值范围为号<a<2。 ·17 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 当堂练习 1.九(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8m长的围栏，准备围成一边靠 墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形 (底边靠墙)、半圆形这三种方案（如图所示），最佳方案是 (C) A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 D Ltitltttilllttittaau wulwuuwwwuu LULLULLLLuULLLU 墙 方案1 方案2 方案3 门h BF→ (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.已知矩形的周长为20cm,设矩形的一边长为xcm,矩形的面积为S(cm),则S与x的 函数关系式为S=-x2+10.x,此时当x=5_cm时，S最大值=25_cm2, 3.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门 外用栅栏围成，栅栏总长度为50m,门宽为2m.这个矩形花圃的最大面积是338m2· 4.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发， 均以1c/s的速度向点B,C,D,A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运 动.在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值为 18cm2. 5.某高中为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为l80cm,高 为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？ (材质及其厚度等暂忽略不计) 解：根据题意，得y=20x(90一x), 即y=-20.x2+1800x=-20(x-45)2+40500. .-20<0, .此抛物线的开口向下， .当x=45时，y有最大值，y最大=40500. 答：当底面的宽x为45cm时，抽屉的体积最大，最大值为40500cm3. ·18· 第2课时二次函数与商品利润问题 当堂练习 1.某旅行社要组团去外地旅游，经过计算，所获营业额y(元)与旅游团游客x(人)之间满足 函数关系式y=一x2+100x十28400，要使所获营业额最大，则此时旅游团游客有(C) A.30人 B.40人 C.50人 D.55人 2.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中， /个 每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤ 20- 10----B x≤20时，其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品 的最大利润为121元. 01020x/元/个) 3.某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销 售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为 x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元. (1)求y与x之间的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每件文具的利润率不超过80%，要想当天获得的利润最大，每件文具的售价为多 少元？并求出最大利润， 解：ay-(-5(10-0号×5)=-102+210x80: (2)令y=-10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13. ,一10<0，∴.抛物线的开口向下. y≥240， .当天销售单价所在的范围为8≤x≤13； (3)x二5≤80% 5 x9,.6x≤9. 由(1)，得y=-10x2+210.x-800=-10(x-10.5)2+302.5. ,一10<0，.此抛物线的开☐向下. 对称轴为直线x=10.5, ∴.当6≤x≤9时，y随着x的增大而增大， .当x=9时，y取得最大值， 此时y=-10×(9-10.5)2+302.5=280. 答：每件文具的售价为9元时，当天获得的利润最大，最大利润为280元， ·19 第3课时抛物线形实际问题 当堂练习 1.某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状 (抛物线所在平面与地面垂直).若抛物线的最高点M离墙1，离地面 3m(如图)，则水流落地点离墙的距离OB是 40 B B A.2 m B.3 m C.4m D.5 m 2.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不 考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系 如下表 2 3 0 14 18 20 20 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线一2： 9 ③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11.其中，正确 结论的个数是 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系式为)=一0，当水面宽度 AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO=5m. B (第3题图) (第4题图) 4.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A,B两点，拱桥 最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为拱桥底部的两点，且DE∥AB,点E 到直线AB的距离为7m,则DE的长为48m. 5.如图是一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知 m 桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.若选 A12m+B 取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=一 (x一6)2十4，则选取点B为坐标原点 时的抛物线解析式是y=一（α+6十4· ·20· 6.如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的平 面直角坐标系，抛物线可以用y=一 x2+bx十c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的 1 水平距离为3m,到地面OA的距离为号 m. (1)求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4，如果隧道内设双向行车道， 那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高 度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 解：(1)由题意，得点B的坐标为(0,4)，点C的坐标为(3，)， 17 把点B0,4),C(3,号)代入y=-合x+ba+c, B 4=c b=2, 得17三 解得 2= c=4, ∴该抛物线的函数解析式为y=一 +2x+ y=-x2+2x+4=-7 ∴.拱顶D到地面OA的距离为10m; (2)由题意，得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0). 当x=2或x=10时y-号>6， .这辆货车能安全通过； (3)由函数图象可知，当y=8时，两排灯的水平距离最小. 当y=8时，-名2+2x十4=8，整理，得x-12z+24=0, 解得x1=6+2√3，x2=6-2√3. .两排灯的水平距离最小是6十2√3一(6一2√3)=4√3(m). ·21·22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=a.x2十k的图象和性质 知识梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k 当堂练习 1.D2.C3.B4.解：(1)y=-6x2+4;(2)在对称轴右侧，即当x>0时，y随x的增 大而减小；(3)当x=0时，y有最大值，是4. 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①抛物线x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左h 当堂练习 1.A2.D3.下 (2 x=2 4.y2>y1>y5.-326.解：列表如下： 2 34 2 0 149 描点、连线如图. =(x1)2 (1)当-2≤x≤-1时，y的取值范围是4≤ =42 y9;(2)当0x3时，y的取值范围是0y4. 第3课时二次函数y=a(x一h)十k的图象和性质 知识梳理 ①x=h(h,k)②形状位置h,k 当堂练习 1.A2.C3.A4.B5.D 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 知识梳理 x--2a b Aac-b2 2a Aa 当堂练习 1.C2.D3.74.y=2(x+2)2-3x=-2（-2,-3)5.y=2x2+16.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识梳理 ②顶点 当堂练习 1.A2.D3.y=-4(x+2y+4或y=-4x-16x-12)4y=-10(-合)+4 (或y=-10r+10z+号）5解：设抛物线的解析式为y=ax-1(x-3.把C0, -3)代入，得3a=-3,解得a=-1.故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x-3),即y= 一x2十4x一3=一(x一2)2十1，.顶点坐标为(2,1)，.可先将抛物线向左平移2个单 位长度，再向下平移1个单位长度.此时抛物线的解析式为y=一x2,其顶点(0,0)落在 直线y=一x上.（答案不唯一） 22.2二次函数与一元二次方程 知识梳理 ①横坐标②无一两 第55页（共60页） 当堂练习 1.B2.D3.4或-8或-24，(1)x1=-1,2=2(2)x≤-1或x≥25.解： (1),y=x2-4x十3a十2=(x-2)2+3a-2,其性质有：①开口向上；②有最小值3a- 2:③对称轴为直线x=2:(答案不唯一)(2)令x2一4x十3a十2=2x-1,整理为x2一6x +3a十3=0.∴.△=(-6)2-4×1×(3a十3)=24-12a>0,解得a<2.把x=4代入y =2x一1，解得y=2×4-1=7.:二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x一 1的图象有两个交点，.当x=4时，二次函数的函数值大于或等于一次函数的函数值， 即16-16+3a十2≥7，解得≥号.故a的取值范围为号<a<2, 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 当堂练习 1.C2.S=-x2十10x5253.338m4.3185.解：根据题意，得y=20x(90 -x),即y=-20x2十1800x=-20(x-45)2+40500.:一20<0，.此抛物线的开口 向下，∴.当x=45时，y有最大值，y最大=40500.答：当底面的宽x为45cm时，抽屉的 体积最大，最大值为40500cm3. 第2课时二次函数与商品利润问题 当堂练习 1.C2.1213解：1y=(-5(100-0号×5）-10r+210x-80:2)令y= -10x2十210x-800=240,解得x1=8,x2=13.:-10<0,∴.抛物线的开口向下. “2240当天销售单价所在的范用为8≤<13：(3)：号≤80%≤9，∴6≤ x≤9.由(1)，得y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)+302.5.:-10<0,.此抛 物线的开口向下.：对称轴为直线x=10.5,∴.当6≤x≤9时，y随着x的增大而增大， ∴.当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-10.5)2十302.5=280.答：每件文具 的售价为9元时，当天获得的利润最大，最大利润为280元. 第3课时抛物线形实际问题 当堂练习 1.B2.B3.54.485.y=- 9(x+6)2+46,解：(1)由题意，得点B的坐标为 (0,),点C的坐标为(3，号)把点B0,4),C(3,号)代入y=-日x+c十c,得 4=c, 16=2, 解得 7=三1X3+36+c :该抛物线的函数解析式为y一一合+2z十4. 2 c=4, y= 合产+2x十4=-名(x-6P+10,拱顶D到地面OA的距离为10m:(2)由 题意，得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0).当x=2或x=10时，y= 号>6，“这辆货车能安全通过：(3)由函数图象可知，当y=8时，两排灯的水平距 时，令2+2x十4=8，整理，得x2-12z+24=0,解得x4=6 6-2√3.∴.两排灯的水平距离最小是6十2√3-(6-2√3)=4√(m). 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 知识梳理 ①旋转旋转中心旋转角②(1)相等(2)旋转角(3)全等 当堂练习 1.A2.B3.C4.70°5.2√3 第56页（共60页） 第2课时旋转作图 当堂练习 1.C2.A3.D4.(5,2)5.解：(1)如图，△ABC和线段AB1,BA即为所求： 2)易得四边形ABA,B是菱形，∴S,A=合×6X4=12. 23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理 ①180°对称中心对称对称中心②对称中心平分全等 当堂练习 1.D2.B3.64.(41w3)5.解：如图. L--J--- 23.2.2中心对称图形 知识梳理 ①180°重合中心对称图形对称中心 当堂练习 1.A2.C3.C4.等边三角形5.解：∠B与∠F相等.理由如下：：将△ABC以点 C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC,∴.∠B=∠DEC.AF∥BE,∴.∠F= ∠DEC,.∠B=∠F 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识梳理 (-x,-y) 当堂练习 1,C2.C3.C4.25,解：(1如图，△ABC即为所求，其中点C的坐标为 (-2,-1):(2)如图，△A2B2C1即为所求 456末 23.3课题学习图案设计 当堂练习 1.C2.D3.D4.D5.D 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ②任意两点直径③两点间的部分半圆优弧劣弧④等圆等弧 当堂练习 1.B2.B3.10°4.535.22 第57页（共60页）