21.1 一元二次方程&21.2 解一元二次方程 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程. ②-元二次方程的一般形式是ax2十bx十c=0(a≠0).其中ax2是二次项，a是二次 项系数，x是一次项，b是一次项系数，c是常数项. ③使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的根· 当堂练习 1.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x十a2-1=0有一个根为x=0,则a的值 为 (D) A.0 B.±1 C.1 D.-1 2.若x=1是关于x的一元二次方程x2十ax十2b=0的解，则2a十4b等于 (A) A.-2 B.-3 C.-1 D.-6 3.某校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条 件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足 的关系式为 (B) A.2+1)=28 B2x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28 4.方程(x+3)(2x一1)=x2-1化成一般形式为x2+5x-2=0,二次项系数是1，一 次项系数是5，常数项是一2， 5.已知关于x的方程(m十3)(-3)x2+(m十3)x+2=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)由题意，得(m+3)(m-3)=0且m+3≠0时，方程是一元一次方程， 所以m一3=0，解得m=3; (2)由题意，得(+3)(m一3)≠0时，方程是一元二次方程，所以m≠士3. 1 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①一般地，对于方程x2=p. (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=一√p,2=√D, 此法也叫做直接开平方法； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根=x2=0; (3)当<0时，因为对任意实数x,都有x≥0，所以此方程无实数根. ②用直接开平方法解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两 个一元一次方程. 当堂练习 1.方程100x2-1=0的解是 (A 1 A.x=10x2=- 1 B.x1=10,x2=-10 C.x1=x2=1 1 D.x1=x2= 1 10 2.已知b<0,则关于x的一元二次方程(x一1)2=b的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 3.若2x2+3与2x2-4互为相反数，则x的值为 (I A B.2 C.±2 D.± 4.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为a*b=a2一b,根据这个规则，方程 (x十2)￥5=0的根为x1=3,x2=一7 5.用直接开平方法解下列方程： (1)3(x+1)2=1 (2)(2x+1)2=9. 解：(x十1)2=1 解：2x十1=士3， 9 x1=-2,x2=1. 叶1=±3， 4 x1=一 3x2=- 3 ·2· 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. ②用配方法解方程的一般步骤：(1)将二次项系数化为1，并移项使含未知数的项在方 程的左边，常数项在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 通过配方将方程转化成(x十)2=p的形式；(3)若p≥0，则可直接开平方求出方程的 解；若<0，则方程无实数根. 当堂练习 1.用配方法解方程x2十8x十9=0，变形后结果正确的是 (D) A.(x+4)2=-9 B.(x+4)2=-7 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=7 2.一元二次方程x2十px十q=0在用配方法配成(x十m)2=n时，下列说法正确的是(A) A.m是p的一半 B.m是p的一半的平方 C.m是p的2倍 D.m是p的一半的相反数 3用适当的数填空：m士3m+景=(”受) 9 4.把方程2x2十6.x一1=0配方后得(x+m)2=k,则m= 3 ,k= 11 2 4 5.用配方法解下列方程： (1)x2+6x=-7; 22+ x-3=0. 解：配方，得x2+6x十32=一7十32， (x+3)2=2 解移项，得2+子=3. 由此可得x+3=土√2， 二汉项系数化为1，得2十子1=2. x1=-3十√2，x2=-3-√2； 配方，得2+子+()=2+()， +)-器 由此可得x+名=士 6, x1=-3,x2=3 6.用配方法证明：无论x取何值，代数式x2一x十1的值总大于0. 证明2-x+1=(-》+至“(2-)≥0“(-)广+>0， .无论x取何值，代数式x2一x十1的值总大于0. ·3· 21.2.2公式法 知识梳理 ①一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程a.x2十bx十c=0根的判别式，通过常用希腊 字母“△”表示它，即△=b-4ac.△>0台方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个不等的_实 数根；△=0台方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两个相等的实数根；△<0台方程a.x2+ bx十c=0(a≠0)无实数根. ⑨-元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当-4c≥0时，x=一b生-4ac. 2a 当堂练习 1.一元二次方程x2一3x十1=0的根的情况是 (B A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.下列选项中，能使关于x的一元二次方程a.x2一4x十c=0一定有实数根的是 (D A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0 3.一元二次方程x2十6x=1中，b-4ac=40,x1=-3+10,x2= -3-√10. 4.若一元二次方程x2+x一c=0没有实数根，则c的取值范围是 c<-4 5.用公式法解下列方程： (1)x2-2x=2x+4; (2)3x2-6=5x. 解：方程化为x2一4x一4=0. 解：方程化为3x2一5x一6=0. a=1,b=-4,c=-4. a=3,b=-5,c=-6. △=b2-4ac=16-4×1×(-4)=32>0. △=b2-4ac=25-4×3×(-6)=97>0. 方程有两个不等的实数根 方程有两个不等的实数根 x=-b±=4c=4√厘=4±42=2士22， 2a 2×1 2 x=二b士VB-4ac=5±97_5士√97 2a 2×3 6 即x1=2+2√2，x2=2-2√W2; 即1=5+亚，，=5-厘 6 6 6.已知关于x的一元二次方程ax2十bx十1=0. (1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的α，b的值，并求此时方程的根. 解：(1)由题意知a≠0，△=b2-4a=(a+2)2-4a=a2十4a+4-4a=a2十4. .a2>0,.a+4>0,即△>0，.方程有两个不相等的实数根； (2).方程有两个相等的实数根，∴.△=b2一4a=0.若b=2,a=1, 则方程变形为x2十2x十1=0，解得x1=x2=一1.（答案不唯一） ·4 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这 两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法· ②用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将方程的一边化为0；(2)将方程另一边分解 成两个一次因式的积的形式；(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 当堂练习 1.方程x(x十1)=3(1+x)的解是 (D) A.x=-1 B.x=3 C.x1=3,x2=1 D.x1=3,x2=-1 2.解方程x一√2=（√2-x)2最适合的方法是 (C) A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.无法确定 3.方程x2=4x的解为 (D) A.士4 B.0或4 C.4 D.士4或0 4.若代数式x+2的值与x(x十2)的值相等，则x的值为1或-2： 5.用适当的方法解下列方程： (1)5.x2-2x-1=0; (2)x2-6x+1=0; 解：a=5,b=-2,c=一1. 解：移顶，得x2一6x=一1. △=b2-4ac=(-2)2-4×5×(-1)=24>0, 配方，得x2-6.x十32=一1十32， 方程有两个不等的实数根 (x-3)2=8. x=-b±-4ac--(-2)±24_1±6 由此可得x一3=士2√2， 2a 2×5 5 x1=3+2√2，x2=3-2√2； 即=166-1 5 (3)x(3.x+5)=6x+10; (4)x2-3x=4. 解：移项整理，得x(3x十5)一2(3x十5)=0. 解：原方程可变形为x2一3.x一4=0. 因式分解，得(x-2)(3x十5)=0. a=1,b=-3,c=-4. 于是得x-2=0,或3x+5=0, △=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0, 1=2,x2=- 5 方程有两个不等的实数根 3 x=-b±y-4ac=-(-3)±V25_3±5 2a 2×1 2 即x1=4,x2=-1. ·5 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 ①如果a.x+br十c=0(a≠0)的两个根分别是，2，那么x1十x2=-么 ,C1x2= a a 如果x2十px十q=0的两根分别为x1,x2,那么x1十x2=一p,x1x2=9· ②在运用一元二次方程根与系数的关系时应注意两个条件：(1)二次项系数不为0： (2)△≥0· 当堂练习 1.若x=一1是方程x2十x十m=0的一个根，则此方程的另一个根是 (B) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2.若x1=一1，则a- x号一x的值为 (B) A.7 B.-7 C.6 D.-6 3.设1，x2是方程x2一4x十m=0的两个根，且m1十x2一x1x2=1,则x1十x2=4,m= 3· 4.若关于x的方程x2+(a一1)x十a2=0的两根互为倒数，则a=一1· 5.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2: (1)求a的取值范围； (2)若x十x号-x1x2≤30，且a为整数，求a的值. 解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2一4(2a+5)>0,解得a<2; (2)由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=2a十5. x2十x号-x1x2≤30， .(x1+x2)2-3x1x2≤30， ∴.36-3(2a+5)30, e是 .a为整数，且a<2, ∴.a的值为-1,0,1. ·6·画出如下的树状图： 开始 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9 个个个 ABCABCABC 种，这些结果出现的可能性相等，其中两人恰好选择同一种比赛项目的结果有3种，所 以P(两人恰好选择同一种比赛项目)=三=上 9=3 期末复习综合测试 1,B2.B3.C4.C5.C6.C7.C8.A9.(3,0)10.30或150°1山.+ 3 12.(26)13.解：(1)：a=1,b=n=m+3,c=2m,△=(m+3)2-8m=m 3N 2m十9=(-1)2+8.(1-1)2≥0，∴.(m-1)2十8>0，即△>0，.方程总有两个不 等的实数根；(2)由题意可知△=n2一4X1×2m=n2一8m=0,即n2=8.当n=一2，m =士时，方程为r-2z十1=0，解得==1（答案不唯一）。14.解：1范物线的 解析式为y=x2一2x一3：(2)设F(x,x2-2x-3)(-1<x≤4).设直线AB的解析式为 y=红+6，把点A(-1.0),B4,5)代人，得0=-6+6，。 k=1, 解得{ .直线AB的解析 5=4k+b, b=1. 式为y=x十1，EF∥y轴，∴.E(x,x+1),EF=x十1-(x2-2x-3)=-x2十3x十4 =(一受)广+孕当x=号时，线段EF的最大值为孕15解：1P0/BC:证 明如下：由折叠的性质可得∠APO=∠CPO.:OA=OP,∴.∠A=∠APO,∴∠A= ∠CPO.∠A=∠PCB,.∠PCB=∠CPO,.PO∥BC;(2):CD是⊙O的切线， .OC⊥CD..CD⊥AP,.AP∥OC,.∠APO=∠POC.∠AOP=∠POC, ∠APO=∠AOP,∴.AP=AO=OP,.△AOP是等边三角形，∠A=60°，.∠PCO =∠A=60°.：AP∥OC,.∠DPC=∠PCO=60,∴.∠DCP=30°，∴.PC=2PD,即 AO=AP=PC=2PD..AB=2AO,..AB=4PD. 随堂反馈答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①整式一2②ax2十bx十c=0(a≠0)a.x2 a bx b c3相等根 当堂练习 1.D2.A3.B4.x2十5x-2=015-25.解：(1)由题意，得(m+3)(-3) =0且m十3≠0时，方程是一元一次方程，所以m一3=0，解得m=3:(2)由题意，得(m 十3)（一3）≠0时，方程是一元二次方程，所以≠士3. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①(1)两个不等x1=-√p,x2=√p(2)两个相等x1=x2=0(3)无②降次 当堂练习 1.A2.C3.D4.3-75.解：(1)(x+1)2= 9x+1=±1 ←5：(2)2x+1=±3，=-2，z=1 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①完全平方形式②1 第52页（共60页） 当堂练习 1.D2.A3.±8±号4.号只5.解：1)配方，得x+6x十3=-7+3， (x十3)2=2.由此可得x十3=士厄，=-3十E,=-3-厄，(2)移项，得号2+ 名=3，二次项系数化为1，得+子=2配方，得云+子十（行）=2+（名）， （)-器曲此可得十名=士=-3=号6证明-十1 (一号)+是（一）≥0（一）+号>0无论x限何值，代数武 2 一x十1的值总大于0. 21.2.2公式法 知识梳理 ①6一4ac两个不等的两个相等的无②b2一4ac≥0 当堂练习 1.B2.D340-3十而-3-而4c<-5,解：(1)方程化为2-4红 -4=0.a=1,b=-4,c=-4.△=62-4ac=16-4×1×(-4)=32>0.方程有两个不 等的实数根x=b士@匹=4生厘_生4E=2士2反，即西=2+2区，=2 2a 2×1 2 -2√2；(2)方程化为3x2-5x-6=0.a=3,b=-5,c=-6.△=b2-4ac=25-4×3× (-6)=97>0.方程有两个不等的实数根x=二6士公@c-5去厘_5±厘，即 2a 2×3 6 五-5计厘，=5厘.6，解：1Dl题意知a≠04=8-4a=(u+2)-4a=心 6 6 十4a十4-4a=a2十4..a>0,∴.a2十4>0，即△>0，.方程有两个不相等的实数根； (2),方程有两个相等的实数根，△=b2-4a=0.若b=2,a=1,则方程变形为x2十2x 十1=0，解得x1=x2=-1.(答案不唯一) 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①因式分解法 当堂练习 1.D2.C3.D4.1或-25.解：(1)a=5,b=-2,c=-1.△=b-4ac=(-2)2-4 ×5×(-1)=24>0,方程有两个不等的实数根x=二b士一4c=二(-2)±V四 2a 2×5 =15,即=1+E, 5 5,x2=1二6：(2)移项，得x2-6x=二1.配方，得x2一6x+32 5 -1十3，(x-3)2=8.由此可得x-3=±2√2，x1=3十2√2，x2=3-2√2；(3)移项整 理，得x(3x+5)-2(3x十5)=0.因式分解，得(x-2)(3x十5)=0.于是得x-2=0,或 3x+5=0=2,=-号：4)原方程可变形为2-3x-4=0a=1,6=-36=-4 △=一4ac=(一3)2一4×1×（一4）=25>0，方程有两个不等的实数根x= 士@-二（一诗西-3即=4=-1 2a 2×1 “21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0 a -pq②(1)二次项系数不为0(2)4≥0 当堂练习 1.B2.B3.434.-15.解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2-4(2a十5)>0，解得 a<2:(2)由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=2a十5.'x十x号-x1x2≤30，∴.(x 第53页（共60页） 十x2)2-3x1x2≤30，.36-3(2a+5)≤30，.a≥- 号.a为整数，且a<2a的值 为-1,0,1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1B2.103.a(1十m)4解：设应邀请x个球队参加比赛.根据题意，得2x(x 1)=28.整理，得x2-x-56=0.解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去）.答：应邀请8 个球队参加比赛.5.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据题 意，得[10(x十3)+x](10x十x十3)=1300.整理，得x2十3x-10=0.解得x1=-5(不 符合题意，舍去)，x2=2..10(x十3)十x=10×(2十3)十2=52.答：这个两位数为52. 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.C2.251003.解：该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)=216.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该超 市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%.4.解：(1)设年销售量y与销售单 价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx十b,得 135k+b=550 0,解得k=10,故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=一10z 40k十b=500 1b=900. 十900；(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数 量为（一10x十900）台.根据题意，得(x一30)（一10x十900）=8000.整理，得x2-120x 十3500=0.解得x1=50,x2=70.,此设备的销售单价不得高于60万元，∴.x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. 第3课时几何图形问题 当堂练习 1.C2.B3.(50+2x)(30十2x)=18004.解：设AD的长为xm(x36),则AB的 长为9+1=(30一+）m根据题意，得x(30-）=40.整理，得x-60x+ 2 800=0.解得x1=20,x2=40.:x≤36，.x=20,.AD的长为20m.5.解：设横彩条 的宽为2xcm,竖彩条的宽为3xcm.根据题意，得(20-2x)(30-3x)=(1一19%)×20 ×30,整理，得x2-20x十19=0.解得x1=1,x2=19.当x=19时，2x=38>20,不符合 题意，舍去.∴x=1.答：横彩条的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理 y=ax十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 当堂练习 1 1.C2.C3.S=-2x+13x0<x<264.y=x-14x+480<x<65.解： 1)S=-之十20，是二次函数：(2)S=,是二次函数：(3)y=,是二次函数： (4)C=2元r,不是二次函数. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理 ①上低下高小②<0>0<0>0 当堂练习 1.A2.-903.a>b>d>c4.85.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2 ×1-1=1,∴.点P的坐标为(1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×1,解得a=1.故 a=1,m=1;(2)二次函数的解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大：(3)顶点 坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 第54页（共60页）