21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&重点突破专题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

*21.2.4 冒名师导学。预习先知 新知梳理 如果方程a.x2十bx十c=0(a≠ 0)有两个实数根x1,x2,那么x1十 x2= X1T2= 注意：根与系数的关系是在a≠0 且b2一4ac≥0的前提条件下得出的. 例题引路 【例1】不解方程，求下列方程两个根 x1,2的和与积. (1)x2+3.x+1=0:(2)3x2-2x-1=0 (3)-2x2+3=0;(4)2x2+5.x=0. 【名师点拨】将一元二次方程整理为一 般形式，再利用1十=一 a2= 求出即可。 【学生解答】 【例2】已知0,2是方程2x2-5.x十1=0 的两个实数根，求下列各式的值. (1)x12+x22; (2)1+1 【名师点拨】(1)把x2+x22化成(1十 )2-22的形式；(2)可通分把十 是化成求解。 T1X2 【学生解答】 13名师测控·数学九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 ②基础过关。逐点击破 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.(2024·西安蓝田县期中)已知方程x2十2x十1=0的两个 实数根分别是m,n,则m十n的值为 ( ) A.-2 B.1 C.-1 D.2 2.若01，x2是方程x2一6.x一7=0的两个根，则x1x2= 知识点2利用根与系数的关系求相关代数式的值 3.已知关于x的一元二次方程x2一3x一5=0的两个根是 x1,x2,则x十x2一x1x2的值为 A.-8 B.8 C.-2 D.2 4.已知a,b是方程x2-5.x-3=0的两根，则a2-5a十ab= 知识点3利用根与系数的关系求方程的解或确定方 程中待定字母的值 5.(2025·西工大附中期未)已知关于x的一元二次方程 x2+x一m=0的一个根为2，则它的另一个根为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.已知x1,x2是一元二次方程x2十bx十4=0的两根，且x1一 01x2十x2=2,则b= ?易错点利用根与系数的关系求待定字母的值时，忽 视△≥0而致错 7.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x十m2-2=0的 两个实数根分别是a,若a2十g=35,则m的值为 可能力提升。整合运用 8.下列一元二次方程两实数根之和为一4的是( A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+4x+10=0 D.x2+4x-5=0 9.(2024·山东日照)已知，实数x1,x2(x1≠x2)是关于x的 方程kx2十2kx十1=0(k≠0)的两个根，若1十1=2，则k x1 的值为 A.1 B.-1 c n- 10.若关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x十 m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且 x1十x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是 11.已知，2是关于x的一元二次方程x2+ (2k一1)x一k一1=0的两个实数根，且x+ 2一4012=2，求k的值. 12.（2024·陕师大开学考试)已知关于x的方 程x2一(k十4)x十2k十4=0. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为x1,x2,求代数 式(x1一2)(x2-2)的值， @思维拓展⊙学科素养 13.阅读材料： 材料1关于x的一元二次方程a.x2+bx十 c=0(a≠0)的两个实数根m1,x2和系数a, 6,有如下关系十丝=一名后 材料2已知一元二次方程x2一x一1=0的 两个实数根分别为m,n,求mn十mm的值. 解：.m,n是一元二次方程x2一x一1=0 的两个实数根， .∴.m+n=1,mm=-1. ∴.m2n十mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下 列问题： (1)应用：一元二次方程2x2+3x一1=0的 两个实数根为x1,x2,则x十x2= x1x2= (2)类比：已知一元二次方程2x2+3.x-1=0 的两个实数根为m,n,求m2+n的值； (3)提升：已知实数s,t满足2s2十3s一1=0， 2P+31-1=0且s≠，求号-}的值。 第二十-章一元二次方程14 重点突破专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 类型1 根的判别式的应用 类型2根与系数的关系的应用 1.若关于x的一元二次方程x2一3.x十m=0有两 方法指得 个相等的实数根，则实数m的值为( ) 利用根与系数的关系解决有关代数式的问题， 般是通过变形，将代数式转化为含有x十x2与x1x2 A.-9 c D.9 的式子 常见的变形有： 2.已知关于x的一元二次方程(m-1)2 ①x7+x3=(x1十x2)2-2x1x2; x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ②1+1=西+型 ③(01-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2; 【变式1】若该一元二次方程没有实数根，则 ④(+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; m的取值范围是 ⑤4+4=+=+P-2西： X2 x1 T1X2 X1X2 【变式2】若该一元二次方程有两个不相等的实 .. ⑥l1-x2|=V/(x1十x2)2-4x1x2. 数根，则m的取值范围是 4.(2024·西安铁一中开学考试)已知a,3是方程 【变式3】若方程(}m-1)-x十1=0有 x2一2x一4=0的两个实数根，则a3+83+6的 值为 ( 解，则m的取值范围是 A.-1 B.2 C.22 D.30 3.新视角新定义我们规定：对于任意实数a,b, 5.若实数a,b分别满足a一3a+2=0,b一3b十 c,d,有[a,b][c,d]=ac-bd,其中等式右 边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2] 2=0.且a≠6.则日+号 6.(2024·西工大附中期中)已知关于x的一 [5,1]=3×5-2×1=13. 元二次方程x2一2(m十1)x+m2+5=0有 (1)求[一4,3]￥[2，一6]的值； 实数根. (2)已知关于x的方程[x,2x一1]￥[m.x+ (1)求m的取值范围； 1,m]=0有两个实数根，求m的取值 (2)设方程的两个根分别为x1,x2,且满足 范围。 (x1-1)(x2-1)=28,求m的值. 15名师测控·数学九年级上册能力提升 8.C9.-210.解：(1)因式分解，得(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0,(5x+2)(x+2) =0.于是得5x十2=0，或十2=0，=-号=-2：(2)移项整理，得2(x-3)1 (x十3)(x一3)=0.因式分解，得(x-3)[2(x-3)-(x十3)]=0，(x-3)(x-9)=0.于 是得x-3=0,或x-9=0,x=3,x2=9.11.解：m☆1=m十2-n,.x☆(x-1) =x(x-1)+x2-(x-1)=2x2-2x+1.x☆(x-1)=1,∴.2x2-2x+1=1,即x2-x =0,∴.x(x-1)=0.解得x1=0,x2=1. 微专题 解：①因式分解，得(x十2)(x+5)=0,于是得x+2=0,或x十5=0，∴.x1=-2,x2= -5;②因式分解，得(x-6)(x十1)=0，于是得x-6=0,或x十1=0，.m=6,2=-1. 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=±2，即x-1=2,或x-1=-2.=3,2=-1;(2)4(x-2)2=121. （一2沙r9x一2=士号即一2号或x一2=号号=-子 2.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x一2=士6,0=8,2=一4；(2)移项，得2x2十8.x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2+4x十22=5+22，(x+2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5. 3.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数 根；(2)a=2,b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根 x=b±延=-二7压-7，即=-3，=一号，4解：1)因式分 1 2a 2×2 4 解，得(x-7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1一x=0,x=7,x2=1;(2)原方程可变形 为3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2=0,或3-x= 0,x=2,2=3.5.解：把3x-1看作一个整体，设3x一1=y,则原方程可化为y2 8十15=0，解得n=30=5∴3x-1=3,或3x-1=5.=号0=26解：① 当x一10时，此时x≥1，原方程化为x2一x=0,即x(x一1)=0，解得=1,2=0（不符合 题意，舍去)：②当x-1<0时，此时x1,原方程化为x2十x一2=0，即(x十2)(x一1)=0，解 得=一2,2=1（不符合题意，舍去..原方程的根是0=1,2=一2. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：(1a十=-3，西=1：(2)十=号4=-子：(3)a十=0， 2 x2= 号：(0m十=一号a=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 3 =号=1)原式=(a+)户-2=(2)-2-(2)原武 十迎= 25 C1T2 1 2 基础过关 1.A2.-73.B4.05.A6.-67.3 能力提升 8D9B10nK2且m≠011.解：“a是关于x的-元二次方程2+(2k-1)z 一k-1=0的两个实数根，△=(2k-1)2-4(-k-1)=4k2+5>0,∴.x十2=一(2k 1Da西=-发-1.“十-4知=2-(2k-1)-4(-发-10=2，解得=一是 12.解：(1)，△=[一(k+4)]一4(2k+4)=k2≥0，∴.无论k为何值，方程总有实数根； (2)由根与系数的关系可得，x1十x2=k十4，x1x2=2k十4，∴.（一2）(x2一2)=0x2一 2(x+x2)+4=2k+4-2(k+4)+4=0. 第4页（共60页） 思维拓展 13.解：（①）-号一令(2)”-元二次方程2x+3x-1=0的两根分别为m,m 十= ，m=-合㎡+r=(m+w)-2m=(-是)°-2X(合)=是+1 3 =只：(3)实数s满足2+35-1=0,22+3-1=0，且s≠4，s1是-元二次方 程2x+3一1=0的两个实数根∴s+1=-号=-合：(1-)P=叶)-4= 17 ()-4x()是+2子-=±--- 2 s st 1 士√7. 重点突破专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】m<5且m≠4【变式3】m≤5 3.解：(1)[-4,3]￥[2，一6]=-4×2-3×(-6)=10：(2)根据题意，得x(mx+1) m(2x-1)=0.整理，得1.x2+(1-2m)x十m=0.'关于x的方程[x,2x-1]￥[m.x十 1,m]=0有两个实数根，∴4=B-4ac=(1-2m)P-4m·m≥0且m≠0，解得m≤号 且m≠0.4D5.号6.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x十m2+5 =0有实数根，∴.△=[-2(m+1)]2-4×1×(m+5)≥0，整理，得8m-16≥0，解得m ≥2；(2)01,2是一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的解，.十x2=2(m十 1),1x2=m2+5.(1-1)(x2-1)=28,整理，得0x2-(m十x2)十1=28，即+5 2(m十1)+1=28，整理，得7-2m-24=0.解得m=6,2=一4..m≥2，∴.m的值为6. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例111(x-1)(x-）(27xx-1）=4X7(3)m=-7,=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)+x]=736.整理，得 x2-5.x十6=0.解得x1=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.D2.(m十1)[m(m十1)](m十1)23.D4.解：设该校数学社团共有x名九年 级学生.根据题意，得2(x-1)=55.整理，得2-x一110=0.解得0=1，=一10 (不符合题意，舍去).答：该校数学社团共有11名九年级学生.5.C6.x2一7x十12 =0 能力提升 7.B8.C9.14410.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根 据题意，得60x2=24000.解得x1=20,2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中平 均每个有益菌可分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植 后有480000个有益菌. 思维拓展 11.解：1)根据题意，得2(m3)=14.整理，得心-31一28=0.解得n=7或1=一4. ,n≥3，∴.n=4不合题意，舍去.∴.n=7,即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说 法不正确.理由如下：当2n1-3)=10时，整理，得-31-20=0.解得m=3±，/8」 2 .符合方程一31一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即 A同学的说法不正确. 第5页（共60页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】解：设这两年的年平均增长率为x.根据题意，得100(1十x)2=144.解得=0.2 =20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：这两年该药材铺商洛丹参销售量的年平均 增长率为20%.【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得(10+x一8)(200一0.5 ×10)=640.解得x1=2,x2=6.又要减少进货量，∴.x=6,.售价定为10十6= 16(元)比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润为640元. 基础过关 1.D2.301(1+x)2=5003.解：设该种商品每次降价的百分率为x.根据题意，得 200(1一x)2=128.解得m=0.2=20%,2=1.8(不符合题意，舍去).答：该种商品每 次降价的百分率为20%.4.解：(1)(100+10x)(2)根据题意，得(20一x)(100+ 10x)=2160.整理，得x2一10x+16=0.解得x=2,x2=8.要尽可能让顾客得到实 惠，∴x=8.答：每个模型应降价8元 能力提升 5.B6.解：设每千克茶叶应降价x元.根据题意，得（400-x一240)(200十品×40）= 43200.整理，得x2-110x+2800=0.解得0=40,2=70.·为了尽可能让利于顾 客，赢得市场，∴x=70.答：每千克茶叶应降价70元.7.解：(1)设这两个月中，该景 区游客人数的月平均增长率为x.根据题意，得1.6(1+x)2=2.5.解得x1=0.25= 25%,=一号（不合题意，舍去）.答：这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为 25%:(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人.根据题意，得2.125十10a 2.5(1十25%).解得a≤0.1.答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 思维拓展 8.解：(1)设日均销售量y(桶)与销售单价x(元/桶)的函数关系为y=kx十b(k≠0)，将 7.500.12.250)f代人)6红+6.得7+6-500解得怎0又：经营部规定销 12k+b=250, 1b=850. 售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴.7≤x≤12，∴.日均销售量y(桶)与销 售单价x(元/桶)的函数关系为y=一50.x十850(7≤x≤12)；(2)根据题意，得(x一5) (-50x十850)=1600.整理，得x2一22+117=0.解得x1=9,x2=13(不符合题意，舍 去).答：销售单价是9元/桶 第3课时几何图形问题 基础过关 1B2.x(x一2)=1003.解：设灌溉渠的深度为xm.根据题意，得2(x十2十x十 0.4)x=1.6.整理，得x2+1.2x一1.6=0.解得x=0.8,x2=一2（不符合题意，舍去）. 答：灌溉渠的深度为0.8m.4.A5.解：设彩色纸带的宽度为xcm.根据题意，得 (100一5x)(40一2x)=640×4.整理，得x2一40x+144=0.解得x1=4,x2=36(不符合 题意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.6.解：四边形ABCD是矩形，∴.设AB= CD=xm,则AD=BC=(20-2x)m.根据题意，得(20-2x)x=48.整理，得x2一10x+ 24=0.解得x=4,2=6.当AB=4m时，BC=20-2x=20-2×4=12.当AB=6m 时，BC=20-2x=20-2×6=8.答：学校有两种方案：AB=4m,BC=12m或AB= 6 m,BC=8 m. 能力提升 7.B8.A9.3610.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x十2= (72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)=640.整理，得x2-36x十320=0.解得x1=16, x2=20.当x=16时，72-2x=72-32=40.当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当 羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m的 羊圈；(2)不能.理由如下：根据题意，得x(72-2x)=650.整理，得x2一36x十325=0. .△=（一36）2一4×325=一4<0，.该一元二次方程没有实数根，∴.羊圈的面积不能 达到650m. 第6页（共60页）