21.2.3 因式分解法&微专题 利用“十字相乘法”解一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 02 例题引路 【例1】解：2y-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(x。D=55,整理化简，得2一x-10=0:(2)设该直角三角形的-直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥 基础过关 帐1.C2.C3.m≠24.解：(1)4x2一3x=0,二次项系数是4，一次项系数是一√5，常 数项是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1.5.C6.B 【变式17.D8.-1 能力提升 9.C10.B11.202112.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有2+(n十 2)2=130,2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0.13.解：(1)[a,b]￥ [c,d]=ac-bd,.[2,4]*[3,-1]=2×3-4×(-1)=6+4=10;(2)[x,1-x]￥ 她 [x+2,]=0,.x(x+2)-m(1-x)=0.又：方程的一个根为2，.2×(2+2)-mX (1-2)=0,解得m=-8. 思维拓展 封 14.解：a是方程x2一2025x+1=0的一个根，a≠0，∴.a2-2025a+1=0,∴.a2+1= 2025a,a2-2024a=a-1.:a≠0,0-2025a+1=0,a+1=2025.原式=a a 物 -1+28=a-1+-a+日-1=2025-1=2024 a 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√币无两个相等0gD”二D” 始 例题引路 【例1】解：13x=9,c=3,x=士/3，西=3，=-3，(2)16x=12,2是=2 3 2一 2· 【例24x-2》=25(x-2=要x-2=±号号 基础过关 1.D2.C3解：2=x=±号函=号=-号：(2)5x2=-5,2=-1 -1<0,方程无实数根.4.D5.1(答案不唯一)6.解：(1)(x十1)2=5，x十1= 士5，即+1=5，或x+1=-5,=-1+5,=-1-5,(21-0=总 碧品，1-=士号，即1-x=青，或1一2=-青出=日=号1=号为 第1页（共60页） 能力提升 8C9.士9【变式910.=2a=-211.解：()4x2=1,2=子，=±7，a 1 =7w=-:(24(2z+10=25,(2x+1)9=要，2x+1=±号，即2x+1=号，或 1 2x+1=-号=是=子：3)2-3=1,2=4x=士2a=2=-2(40(x -22=(3-2x)2,x-2=士(3-2x）,即x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),=3, 5 2=1.12.解：把x=3代人原方程，得(3-1)2=k2十2.化简，得k2=2,∴.k=士√2， .原方程为(x一1)2=4，x一1=士2，.=3，x2=一1，故k的值为土/2，另一个根 为-1. 思维拓展 13.解：(x-3)2=1,.x-3=士1.解得=4,2=2.：一元二次方程(x-3)2=1 的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，∴.分两种情况讨论：①当底边 长和腰长分别为4和2时，2十2=4，此时三条线段不能构成三角形，舍去；②当底边长 和腰长分别是2和4时，符合三角形三边的关系，此时△ABC的周长为2+4+4=10. 综上所述，等腰三角形ABC的周长为10. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②1右边≥< 例题引路 【例】解：(1)配方，得x2十4x十2=-4十22，(x十2)2=0.由此可得x十2=0，x=x2= 一2：(2)移项，得2+4x=-1.二次项系数化为1，得r+2x=一，配方，得2+2z +1=吉+，十1=由此可得十1=±9a-号1a=号1 基础过关 1.A2.B3.(1)42(2)2 4.解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2+2x十1= 1+1,(x+1)2=2.由此可得x+1=士√2,0=-1+√2,2=-1一√2：(2)移项，得x2 -5x=6.配方，得2-5x+(停)=6+（停）（一号）=织由此可得-号 土子，=6=-1.5D6解：二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得2 2x+=+,-1少-是.由此可得一1=±写n=1+号%=1-号 7.解：(1)③配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2+8.x=18.二次项系数化为1，得x2+4x=9.配方，得x2+4x+22=9十 22,(x+2)2=13.由此可得x+2=士√13，x=-2+√13,2=-2-√/13. 能力提升 8.C【变式】D9.1或-310.解：根据题意，得2y2-6y+7=y-y+6,即y2-5y +1=0移项：得-5=-1.配方，得-5y+(受)=-1+（受）(-) 头由此可得)号=士=计区-5 2 微专题 1.正数2.大-323.解：：x2+10x+7=x2+10x十25-18=(x+5)2-18,由 (x+5)2≥0，得(x+5)2-18≥-18，∴.代数式x2+10x十7的最小值是-18. 21.2.2公式法 新知梳理 ①？一4ac两个不等的两个相等的无②-4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4.△=6一4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5.△=一4ac=(一7)2 第2页（共60页） 一4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=一4ac=12 一4X1X(-1D=5>0.方程有两个不等的实数根x=一b士4=史5，即n 2a 2×1 =-15,0==15 2 2 基础过关 1.C2.B3.B4.C5.k>-1且k≠06.A7.解：(1)a=1,b=-6,c=4.△=？ 4如c=(-62-4X1×4=20>0.方程有两个不等的实数根x=二b-4ac- -（-6)生/2@=3±5，即0=3+5m=3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1.△=B- 2×1 4ac=(-3)2-4×2X(-1)=17>0.方程有两个不等的实数根.x=二b吐-4c= 2a 二-3》告亚_3士正，即0=3+区，西=3正8解：1)一原方程没 2×2 4 有化成一般形式(2)方程化为x2-5.x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,△=6-4ac= （-5)2-4X1×(-1)=29>0,方程有两个不等的实数根x=一b士=4a 2a 二（-5)±/2四_5±，/2四，即n=5+2四，=52四 2×1 2 2 能力提升 9.D10.C11.8或912.解：(1)方程化为6x2-13x+6=0.a=6,b=-13,c=6.△ =B-4c=(-13)2-4X6×6=25>0.方程有两个不等的实数根x=二b士厅-4a匹 2a -二（二若压-1告，即=受=号2方程化为3x-5+9=0a=3,0 2 2×6 =-5,c=9.△=-4ac=(-5)2一4×3×9=-83<0，方程无实数根. 思维拓展 13.解：1)号r2-受x+m-1=0,a=子，b=-受c=m-1,∴4=份-4ac= (一受)-4X子×m-1)=受-m+1=(受-1)≥0∴无论m取何值，方程总有 两个实数根；(2)□ABCD是菱形，∴.AB=AD.,□ABCD的两边AB,AD的长是已 知方程的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根，△一（受-1)=0，解得m=2。 当m=2时，原方程为子r2-x十1=0，解得0==2.∴当m=2时，口ABCD是菱 形，此菱形的边长为2. 21.2.3因式分解法 例题引路 【例1】解：(1)因式分解，得(x-3)(4x-1)=0.于是得x-3=0,或4x-1=0,=3,2 =子；(2②)移项，得2x-1)2十x一1=0.因式分解，得(x-1D[2(x一1D+1]=0.于是得 x一1=0，或2.x-1=0,x1=1,x=2【例2】解：(1)移项，得x+2x=323.配方，得 x2十2x+1=323十1，(.x十1)2=324.由此可得x十1=士18，x1=-19,x2=17;(2)移 项，得7x(3-x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x十2)=0.于是得3-x=0,或 7x+2=0,=3w=-号 基础过关 1.B2.C3.x1=0,x2=一14.解：(1)移项，得2(x-3)一3x(x-3)=0.因式分解， 得(2-3)x一3)=0.于是得2-3x=0,或x一3=0,0=号0=3：(2)因式分解，得 (x-5)2=0.于是得x一5=0，x1=x2=5.5.B6.解：(1)原方程可变形为x(x十4) -(x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x-1)=0.于是得x十4=0，或x-1=0,=-4, x2=1;(2)移项，得x2-4x=一1.配方，得x2-4x十2=一1十22，(x-2)2=3.由此可 得x-2=±3，x1=2十√5,2=2-3.7.未考虑x-7=0x=7 第3页（共60页） 能力提升 8.C9.-210.解：(1)因式分解，得(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0,(5x+2)(x+2) =0.于是得5x十2=0，或十2=0，=-号=-2：(2)移项整理，得2(x-3)1 (x十3)(x一3)=0.因式分解，得(x-3)[2(x-3)-(x十3)]=0，(x-3)(x-9)=0.于 是得x-3=0,或x-9=0,x=3,x2=9.11.解：m☆1=m十2-n,.x☆(x-1) =x(x-1)+x2-(x-1)=2x2-2x+1.x☆(x-1)=1,∴.2x2-2x+1=1,即x2-x =0,∴.x(x-1)=0.解得x1=0,x2=1. 微专题 解：①因式分解，得(x十2)(x+5)=0,于是得x+2=0,或x十5=0，∴.x1=-2,x2= -5;②因式分解，得(x-6)(x十1)=0，于是得x-6=0,或x十1=0，.m=6,2=-1. 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=±2，即x-1=2,或x-1=-2.=3,2=-1;(2)4(x-2)2=121. （一2沙r9x一2=士号即一2号或x一2=号号=-子 2.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x一2=士6,0=8,2=一4；(2)移项，得2x2十8.x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2+4x十22=5+22，(x+2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5. 3.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数 根；(2)a=2,b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根 x=b±延=-二7压-7，即=-3，=一号，4解：1)因式分 1 2a 2×2 4 解，得(x-7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1一x=0,x=7,x2=1;(2)原方程可变形 为3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2=0,或3-x= 0,x=2,2=3.5.解：把3x-1看作一个整体，设3x一1=y,则原方程可化为y2 8十15=0，解得n=30=5∴3x-1=3,或3x-1=5.=号0=26解：① 当x一10时，此时x≥1，原方程化为x2一x=0,即x(x一1)=0，解得=1,2=0（不符合 题意，舍去)：②当x-1<0时，此时x1,原方程化为x2十x一2=0，即(x十2)(x一1)=0，解 得=一2,2=1（不符合题意，舍去..原方程的根是0=1,2=一2. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：(1a十=-3，西=1：(2)十=号4=-子：(3)a十=0， 2 x2= 号：(0m十=一号a=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 3 =号=1)原式=(a+)户-2=(2)-2-(2)原武 十迎= 25 C1T2 1 2 基础过关 1.A2.-73.B4.05.A6.-67.3 能力提升 8D9B10nK2且m≠011.解：“a是关于x的-元二次方程2+(2k-1)z 一k-1=0的两个实数根，△=(2k-1)2-4(-k-1)=4k2+5>0,∴.x十2=一(2k 1Da西=-发-1.“十-4知=2-(2k-1)-4(-发-10=2，解得=一是 12.解：(1)，△=[一(k+4)]一4(2k+4)=k2≥0，∴.无论k为何值，方程总有实数根； (2)由根与系数的关系可得，x1十x2=k十4，x1x2=2k十4，∴.（一2）(x2一2)=0x2一 2(x+x2)+4=2k+4-2(k+4)+4=0. 第4页（共60页） 思维拓展 13.解：（①）-号一令(2)”-元二次方程2x+3x-1=0的两根分别为m,m 十= ，m=-合㎡+r=(m+w)-2m=(-是)°-2X(合)=是+1 3 =只：(3)实数s满足2+35-1=0,22+3-1=0，且s≠4，s1是-元二次方 程2x+3一1=0的两个实数根∴s+1=-号=-合：(1-)P=叶)-4= 17 ()-4x()是+2子-=±--- 2 s st 1 士√7. 重点突破专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】m<5且m≠4【变式3】m≤5 3.解：(1)[-4,3]￥[2，一6]=-4×2-3×(-6)=10：(2)根据题意，得x(mx+1) m(2x-1)=0.整理，得1.x2+(1-2m)x十m=0.'关于x的方程[x,2x-1]￥[m.x十 1,m]=0有两个实数根，∴4=B-4ac=(1-2m)P-4m·m≥0且m≠0，解得m≤号 且m≠0.4D5.号6.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x十m2+5 =0有实数根，∴.△=[-2(m+1)]2-4×1×(m+5)≥0，整理，得8m-16≥0，解得m ≥2；(2)01,2是一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的解，.十x2=2(m十 1),1x2=m2+5.(1-1)(x2-1)=28,整理，得0x2-(m十x2)十1=28，即+5 2(m十1)+1=28，整理，得7-2m-24=0.解得m=6,2=一4..m≥2，∴.m的值为6. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例111(x-1)(x-）(27xx-1）=4X7(3)m=-7,=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)+x]=736.整理，得 x2-5.x十6=0.解得x1=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.D2.(m十1)[m(m十1)](m十1)23.D4.解：设该校数学社团共有x名九年 级学生.根据题意，得2(x-1)=55.整理，得2-x一110=0.解得0=1，=一10 (不符合题意，舍去).答：该校数学社团共有11名九年级学生.5.C6.x2一7x十12 =0 能力提升 7.B8.C9.14410.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根 据题意，得60x2=24000.解得x1=20,2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中平 均每个有益菌可分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植 后有480000个有益菌. 思维拓展 11.解：1)根据题意，得2(m3)=14.整理，得心-31一28=0.解得n=7或1=一4. ,n≥3，∴.n=4不合题意，舍去.∴.n=7,即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说 法不正确.理由如下：当2n1-3)=10时，整理，得-31-20=0.解得m=3±，/8」 2 .符合方程一31一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即 A同学的说法不正确. 第5页（共60页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】解：设这两年的年平均增长率为x.根据题意，得100(1十x)2=144.解得=0.2 =20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：这两年该药材铺商洛丹参销售量的年平均 增长率为20%.【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得(10+x一8)(200一0.5 ×10)=640.解得x1=2,x2=6.又要减少进货量，∴.x=6,.售价定为10十6= 16(元)比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润为640元. 基础过关 1.D2.301(1+x)2=5003.解：设该种商品每次降价的百分率为x.根据题意，得 200(1一x)2=128.解得m=0.2=20%,2=1.8(不符合题意，舍去).答：该种商品每 次降价的百分率为20%.4.解：(1)(100+10x)(2)根据题意，得(20一x)(100+ 10x)=2160.整理，得x2一10x+16=0.解得x=2,x2=8.要尽可能让顾客得到实 惠，∴x=8.答：每个模型应降价8元 能力提升 5.B6.解：设每千克茶叶应降价x元.根据题意，得（400-x一240)(200十品×40）= 43200.整理，得x2-110x+2800=0.解得0=40,2=70.·为了尽可能让利于顾 客，赢得市场，∴x=70.答：每千克茶叶应降价70元.7.解：(1)设这两个月中，该景 区游客人数的月平均增长率为x.根据题意，得1.6(1+x)2=2.5.解得x1=0.25= 25%,=一号（不合题意，舍去）.答：这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为 25%:(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人.根据题意，得2.125十10a 2.5(1十25%).解得a≤0.1.答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 思维拓展 8.解：(1)设日均销售量y(桶)与销售单价x(元/桶)的函数关系为y=kx十b(k≠0)，将 7.500.12.250)f代人)6红+6.得7+6-500解得怎0又：经营部规定销 12k+b=250, 1b=850. 售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴.7≤x≤12，∴.日均销售量y(桶)与销 售单价x(元/桶)的函数关系为y=一50.x十850(7≤x≤12)；(2)根据题意，得(x一5) (-50x十850)=1600.整理，得x2一22+117=0.解得x1=9,x2=13(不符合题意，舍 去).答：销售单价是9元/桶 第3课时几何图形问题 基础过关 1B2.x(x一2)=1003.解：设灌溉渠的深度为xm.根据题意，得2(x十2十x十 0.4)x=1.6.整理，得x2+1.2x一1.6=0.解得x=0.8,x2=一2（不符合题意，舍去）. 答：灌溉渠的深度为0.8m.4.A5.解：设彩色纸带的宽度为xcm.根据题意，得 (100一5x)(40一2x)=640×4.整理，得x2一40x+144=0.解得x1=4,x2=36(不符合 题意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.6.解：四边形ABCD是矩形，∴.设AB= CD=xm,则AD=BC=(20-2x)m.根据题意，得(20-2x)x=48.整理，得x2一10x+ 24=0.解得x=4,2=6.当AB=4m时，BC=20-2x=20-2×4=12.当AB=6m 时，BC=20-2x=20-2×6=8.答：学校有两种方案：AB=4m,BC=12m或AB= 6 m,BC=8 m. 能力提升 7.B8.A9.3610.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x十2= (72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)=640.整理，得x2-36x十320=0.解得x1=16, x2=20.当x=16时，72-2x=72-32=40.当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当 羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m的 羊圈；(2)不能.理由如下：根据题意，得x(72-2x)=650.整理，得x2一36x十325=0. .△=（一36）2一4×325=一4<0，.该一元二次方程没有实数根，∴.羊圈的面积不能 达到650m. 第6页（共60页）冒名师导学。预习先知 方法指导 ①不是用开平方降次，而是先因式分 解，使方程化为两个一次式的乘积 等于0的形式，再使这两个一次式分 别等于0，从而实现降次，这种解一 元二次方程的方法叫做因式分解法。 ②用因式分解法解一元二次方程的步 骤：(1)将方程的一边化为0：(2)将 方程另一边分解成两个一次式的积 的形式；(3)令每个因式分别等于0， 即得到两个一元一次方程；(4)解这 两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解. 例题引路 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)(2024·西安交大附中期中)4x(x 3)-(x-3)=0: (2)2(x-1)2+x=1. 【学生解答】 【例2】用适当的方法解下列方程： (1)x2+2.x-323=0: (2)7x(3-x)=2(x-3). 【学生解答】 9名师测控·数学九年级上册 21.2.3因式分解法 ②基础过关○逐点击破 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(2024·贵州)一元二次方程x2一2x=0的解是( A.0=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 2.已知某一元二次方程的两根分别为x1=一2，x2=一3，则 这个方程可能为 A.(x-2)(x+3)=0 B.(x十2)(x-3)=0 C.(x+2)(x+3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 3.一元二次方程x(x十1)=0的两根分别为 4.用因式分解法解下列方程： (1)2(x-3)=3x(x-3); (2)x2-10x+25=0. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 5.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是() A.(x-2)(x+5)=2 B.(x-2)2=x-2 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 6.用适当的方法解下列方程： (1)x(x+4)-x-4=0; (2)x2-4x+1=0. !易错点解一元二次方程时，方程两边同除以含有未 知数的代数式导致漏根 7.小明在解方程(x一7)2=x一7时，只得出一个根为x=8,其 错误原因是 ,漏掉的一个根是 可能力提升。整合运用 (2)2(x-3)2=x2-9. 8.已知三角形两边的长分别为3和6，第三边 的长为方程x2一12x十35=0的根，则该三 角形的周长为 A.14 B.16 C.16或14 D.以上都不对 9.若关于x的一元二次方程x2一3cx一c+1=0 的一个根为=一1，则另一个根为x2= 11.新视角新定义)(2024·商洛期未)对于任意 实数m,n,定义运算“☆”，其运算规则为： 10.用因式分解法解下列方程： m☆=mm+m2一n,例如2☆（一1）=2X (1)(3.x+2)2-4x2=0; (-1)+22-(-1)=3,求方程x☆(x-1)=1 的解。 微专题 利用“十字相乘法”解一元二次方程 阅读材料，我们可以按下面的方法解方程x2十2x一35=0. (1)分解因式x2十2x-35. ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,一35=（一5）×（十7）； x-5 ②交叉相乘，验中项：< →7x-5x=2x; x+7 ③横向写出两因式：x2+2x一35=(x一5)(x+7). (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0,则方程x2+2x一35=0可以这样求解： 方程x2十2x-35=0,左边因式分解，得(x-5)(x十7)=0，∴.原方程的解为0=5,2=-7. 试用上述方法和原理解下列方程： ①x2+7x+10=0: ②x2-5.x-6=0. 第二十-章一元二次方程10