21.2.2 公式法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①一般地，式子 叫做一元 二次方程ax2+bx+c=0根的判别 式.△>0台方程a.x2+bx十c=0(a≠ 0)有 实数根；△= 0曰方程a.x2+bx+c=0(a≠0)有 实数根；△<0台方 程a.x2+bx+c=0(a≠0) 实数根 ②一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠ 0),当 时， x=-b±B-4ac 2a 例题团路 【例1】不解方程，判断下列方程的根的 情况. (1)2.x2+3.x-4=0: (2)5(.x2+1)-7x=0. 【名师点拨】根据△=b一4ac的值与0 的大小关系判断每个方程根的情况. 【学生解答】 【例2】用公式法解方程：x2+x-1=0. 【学生解答】 7名师测控·数学九年级上册 21.2.2公式法 ②基础过关○逐点击破 知识点1 利用一元二次方程根的判别式判断方程根 的情况 1.一元二次方程x2一5.x+2=0根的判别式的值是( A.33 B.23 C.17 D.17 2.关于x的一元二次方程3x2一2x=x十1的根的情况 是 A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根D.无法确定 3.(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是( A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2 知识点2利用根的判别式确定字母的取值或范围 4.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2一4x+c=0有 两个相等的实数根，则实数c的值为 A.-16 B.-4 C.4 D.16 5.若关于x的一元二次方程kx2一2x一1=0有两个不相等 的实数根，则的取值范围是 知识点3用公式法解一元二次方程 6.用公式法解方程一x2+3x=1时，需先求出a,b,c的值，则 a,b,c的值依次为 ( A.-1,3,-1 B.1,-3,-1 C.-1,-3,-1 D.-1,3,1 7.用公式法解下列方程： (1)x2-6x+4=0; (2)2x2-3x-1=0. ?易错点在用公式法时未将方程化为一 般形式而致错 8.新考向过程性学习)小明在解方程x2一5.x=1 时出现了错误，解答过程如下： 解：a=1,b=一5，c=1,(第一步) △=b}-4ac=(-5)2-4X1×1=21>0,(第二步) 方程有两个不等的实数根.x= -b士√-4ac_5土V2I,(第三步) Za 2 即0=5十 2 L,,=5-,2 2 ,(第四步) (1)小明的解答过程是从第 步开始出 错的，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程 能力提升。整合运用 9.(2024·西安蓝田县期中)实数a在数轴上的位 置如图所示，则关于x的方程3x2一2ax十3=0 的根的情况是 ( 2102345 A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 10.新视角新定义)对于实数a,b定义新运算： a*b=ab十，例如2￥（一3）=2×(-3)十 (一3)2=3.若关于x的方程2￥x=m没有 实数根，则m的取值范围是 () A.m>-1 B.m>0 C.m<-1 D.m<0 11.数学思想分类讨论若等腰三角形的一边长是 4,另两边的长是关于x的方程x2一6x十n=0 的两个根，则n的值为 12.用公式法解下列方程： (1)6.x2-11x+4=2x-2; (2)x(3x-4)=x-9. 思维拓展。学科素养 13.(2024·西安交大附中月考)已知关于x的 方程号2一受1十m-1=0有两个实数根。 (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实 数根； (2)若□ABCD的两边AB,AD的长是已 知方程的两个实数根，当m为何值时， □ABCD是菱形？求此菱形的边长. 第二十一章一元二次方程8参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 02 例题引路 【例1】解：2y-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(x。D=55,整理化简，得2一x-10=0:(2)设该直角三角形的-直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥 基础过关 帐1.C2.C3.m≠24.解：(1)4x2一3x=0,二次项系数是4，一次项系数是一√5，常 数项是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1.5.C6.B 【变式17.D8.-1 能力提升 9.C10.B11.202112.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有2+(n十 2)2=130,2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0.13.解：(1)[a,b]￥ [c,d]=ac-bd,.[2,4]*[3,-1]=2×3-4×(-1)=6+4=10;(2)[x,1-x]￥ 她 [x+2,]=0,.x(x+2)-m(1-x)=0.又：方程的一个根为2，.2×(2+2)-mX (1-2)=0,解得m=-8. 思维拓展 封 14.解：a是方程x2一2025x+1=0的一个根，a≠0，∴.a2-2025a+1=0,∴.a2+1= 2025a,a2-2024a=a-1.:a≠0,0-2025a+1=0,a+1=2025.原式=a a 物 -1+28=a-1+-a+日-1=2025-1=2024 a 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√币无两个相等0gD”二D” 始 例题引路 【例1】解：13x=9,c=3,x=士/3，西=3，=-3，(2)16x=12,2是=2 3 2一 2· 【例24x-2》=25(x-2=要x-2=±号号 基础过关 1.D2.C3解：2=x=±号函=号=-号：(2)5x2=-5,2=-1 -1<0,方程无实数根.4.D5.1(答案不唯一)6.解：(1)(x十1)2=5，x十1= 士5，即+1=5，或x+1=-5,=-1+5,=-1-5,(21-0=总 碧品，1-=士号，即1-x=青，或1一2=-青出=日=号1=号为 第1页（共60页） 能力提升 8C9.士9【变式910.=2a=-211.解：()4x2=1,2=子，=±7，a 1 =7w=-:(24(2z+10=25,(2x+1)9=要，2x+1=±号，即2x+1=号，或 1 2x+1=-号=是=子：3)2-3=1,2=4x=士2a=2=-2(40(x -22=(3-2x)2,x-2=士(3-2x）,即x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),=3, 5 2=1.12.解：把x=3代人原方程，得(3-1)2=k2十2.化简，得k2=2,∴.k=士√2， .原方程为(x一1)2=4，x一1=士2，.=3，x2=一1，故k的值为土/2，另一个根 为-1. 思维拓展 13.解：(x-3)2=1,.x-3=士1.解得=4,2=2.：一元二次方程(x-3)2=1 的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，∴.分两种情况讨论：①当底边 长和腰长分别为4和2时，2十2=4，此时三条线段不能构成三角形，舍去；②当底边长 和腰长分别是2和4时，符合三角形三边的关系，此时△ABC的周长为2+4+4=10. 综上所述，等腰三角形ABC的周长为10. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②1右边≥< 例题引路 【例】解：(1)配方，得x2十4x十2=-4十22，(x十2)2=0.由此可得x十2=0，x=x2= 一2：(2)移项，得2+4x=-1.二次项系数化为1，得r+2x=一，配方，得2+2z +1=吉+，十1=由此可得十1=±9a-号1a=号1 基础过关 1.A2.B3.(1)42(2)2 4.解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2+2x十1= 1+1,(x+1)2=2.由此可得x+1=士√2,0=-1+√2,2=-1一√2：(2)移项，得x2 -5x=6.配方，得2-5x+(停)=6+（停）（一号）=织由此可得-号 土子，=6=-1.5D6解：二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得2 2x+=+,-1少-是.由此可得一1=±写n=1+号%=1-号 7.解：(1)③配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2+8.x=18.二次项系数化为1，得x2+4x=9.配方，得x2+4x+22=9十 22,(x+2)2=13.由此可得x+2=士√13，x=-2+√13,2=-2-√/13. 能力提升 8.C【变式】D9.1或-310.解：根据题意，得2y2-6y+7=y-y+6,即y2-5y +1=0移项：得-5=-1.配方，得-5y+(受)=-1+（受）(-) 头由此可得)号=士=计区-5 2 微专题 1.正数2.大-323.解：：x2+10x+7=x2+10x十25-18=(x+5)2-18,由 (x+5)2≥0，得(x+5)2-18≥-18，∴.代数式x2+10x十7的最小值是-18. 21.2.2公式法 新知梳理 ①？一4ac两个不等的两个相等的无②-4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4.△=6一4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5.△=一4ac=(一7)2 第2页（共60页） 一4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=一4ac=12 一4X1X(-1D=5>0.方程有两个不等的实数根x=一b士4=史5，即n 2a 2×1 =-15,0==15 2 2 基础过关 1.C2.B3.B4.C5.k>-1且k≠06.A7.解：(1)a=1,b=-6,c=4.△=？ 4如c=(-62-4X1×4=20>0.方程有两个不等的实数根x=二b-4ac- -（-6)生/2@=3±5，即0=3+5m=3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1.△=B- 2×1 4ac=(-3)2-4×2X(-1)=17>0.方程有两个不等的实数根.x=二b吐-4c= 2a 二-3》告亚_3士正，即0=3+区，西=3正8解：1)一原方程没 2×2 4 有化成一般形式(2)方程化为x2-5.x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,△=6-4ac= （-5)2-4X1×(-1)=29>0,方程有两个不等的实数根x=一b士=4a 2a 二（-5)±/2四_5±，/2四，即n=5+2四，=52四 2×1 2 2 能力提升 9.D10.C11.8或912.解：(1)方程化为6x2-13x+6=0.a=6,b=-13,c=6.△ =B-4c=(-13)2-4X6×6=25>0.方程有两个不等的实数根x=二b士厅-4a匹 2a -二（二若压-1告，即=受=号2方程化为3x-5+9=0a=3,0 2 2×6 =-5,c=9.△=-4ac=(-5)2一4×3×9=-83<0，方程无实数根. 思维拓展 13.解：1)号r2-受x+m-1=0,a=子，b=-受c=m-1,∴4=份-4ac= (一受)-4X子×m-1)=受-m+1=(受-1)≥0∴无论m取何值，方程总有 两个实数根；(2)□ABCD是菱形，∴.AB=AD.,□ABCD的两边AB,AD的长是已 知方程的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根，△一（受-1)=0，解得m=2。 当m=2时，原方程为子r2-x十1=0，解得0==2.∴当m=2时，口ABCD是菱 形，此菱形的边长为2. 21.2.3因式分解法 例题引路 【例1】解：(1)因式分解，得(x-3)(4x-1)=0.于是得x-3=0,或4x-1=0,=3,2 =子；(2②)移项，得2x-1)2十x一1=0.因式分解，得(x-1D[2(x一1D+1]=0.于是得 x一1=0，或2.x-1=0,x1=1,x=2【例2】解：(1)移项，得x+2x=323.配方，得 x2十2x+1=323十1，(.x十1)2=324.由此可得x十1=士18，x1=-19,x2=17;(2)移 项，得7x(3-x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x十2)=0.于是得3-x=0,或 7x+2=0,=3w=-号 基础过关 1.B2.C3.x1=0,x2=一14.解：(1)移项，得2(x-3)一3x(x-3)=0.因式分解， 得(2-3)x一3)=0.于是得2-3x=0,或x一3=0,0=号0=3：(2)因式分解，得 (x-5)2=0.于是得x一5=0，x1=x2=5.5.B6.解：(1)原方程可变形为x(x十4) -(x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x-1)=0.于是得x十4=0，或x-1=0,=-4, x2=1;(2)移项，得x2-4x=一1.配方，得x2-4x十2=一1十22，(x-2)2=3.由此可 得x-2=±3，x1=2十√5,2=2-3.7.未考虑x-7=0x=7 第3页（共60页）