21.2.1 配方法&微专题 利用配方法判断代数式的正负或求最值-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 02 例题引路 【例1】解：2y-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(x。D=55,整理化简，得2一x-10=0:(2)设该直角三角形的-直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥 基础过关 帐1.C2.C3.m≠24.解：(1)4x2一3x=0,二次项系数是4，一次项系数是一√5，常 数项是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1.5.C6.B 【变式17.D8.-1 能力提升 9.C10.B11.202112.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有2+(n十 2)2=130,2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0.13.解：(1)[a,b]￥ [c,d]=ac-bd,.[2,4]*[3,-1]=2×3-4×(-1)=6+4=10;(2)[x,1-x]￥ 她 [x+2,]=0,.x(x+2)-m(1-x)=0.又：方程的一个根为2，.2×(2+2)-mX (1-2)=0,解得m=-8. 思维拓展 封 14.解：a是方程x2一2025x+1=0的一个根，a≠0，∴.a2-2025a+1=0,∴.a2+1= 2025a,a2-2024a=a-1.:a≠0,0-2025a+1=0,a+1=2025.原式=a a 物 -1+28=a-1+-a+日-1=2025-1=2024 a 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√币无两个相等0gD”二D” 始 例题引路 【例1】解：13x=9,c=3,x=士/3，西=3，=-3，(2)16x=12,2是=2 3 2一 2· 【例24x-2》=25(x-2=要x-2=±号号 基础过关 1.D2.C3解：2=x=±号函=号=-号：(2)5x2=-5,2=-1 -1<0,方程无实数根.4.D5.1(答案不唯一)6.解：(1)(x十1)2=5，x十1= 士5，即+1=5，或x+1=-5,=-1+5,=-1-5,(21-0=总 碧品，1-=士号，即1-x=青，或1一2=-青出=日=号1=号为 第1页（共60页） 能力提升 8C9.士9【变式910.=2a=-211.解：()4x2=1,2=子，=±7，a 1 =7w=-:(24(2z+10=25,(2x+1)9=要，2x+1=±号，即2x+1=号，或 1 2x+1=-号=是=子：3)2-3=1,2=4x=士2a=2=-2(40(x -22=(3-2x)2,x-2=士(3-2x）,即x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),=3, 5 2=1.12.解：把x=3代人原方程，得(3-1)2=k2十2.化简，得k2=2,∴.k=士√2， .原方程为(x一1)2=4，x一1=士2，.=3，x2=一1，故k的值为土/2，另一个根 为-1. 思维拓展 13.解：(x-3)2=1,.x-3=士1.解得=4,2=2.：一元二次方程(x-3)2=1 的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，∴.分两种情况讨论：①当底边 长和腰长分别为4和2时，2十2=4，此时三条线段不能构成三角形，舍去；②当底边长 和腰长分别是2和4时，符合三角形三边的关系，此时△ABC的周长为2+4+4=10. 综上所述，等腰三角形ABC的周长为10. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②1右边≥< 例题引路 【例】解：(1)配方，得x2十4x十2=-4十22，(x十2)2=0.由此可得x十2=0，x=x2= 一2：(2)移项，得2+4x=-1.二次项系数化为1，得r+2x=一，配方，得2+2z +1=吉+，十1=由此可得十1=±9a-号1a=号1 基础过关 1.A2.B3.(1)42(2)2 4.解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2+2x十1= 1+1,(x+1)2=2.由此可得x+1=士√2,0=-1+√2,2=-1一√2：(2)移项，得x2 -5x=6.配方，得2-5x+(停)=6+（停）（一号）=织由此可得-号 土子，=6=-1.5D6解：二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得2 2x+=+,-1少-是.由此可得一1=±写n=1+号%=1-号 7.解：(1)③配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2+8.x=18.二次项系数化为1，得x2+4x=9.配方，得x2+4x+22=9十 22,(x+2)2=13.由此可得x+2=士√13，x=-2+√13,2=-2-√/13. 能力提升 8.C【变式】D9.1或-310.解：根据题意，得2y2-6y+7=y-y+6,即y2-5y +1=0移项：得-5=-1.配方，得-5y+(受)=-1+（受）(-) 头由此可得)号=士=计区-5 2 微专题 1.正数2.大-323.解：：x2+10x+7=x2+10x十25-18=(x+5)2-18,由 (x+5)2≥0，得(x+5)2-18≥-18，∴.代数式x2+10x十7的最小值是-18. 21.2.2公式法 新知梳理 ①？一4ac两个不等的两个相等的无②-4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4.△=6一4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5.△=一4ac=(一7)2 第2页（共60页） 一4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=一4ac=12 一4X1X(-1D=5>0.方程有两个不等的实数根x=一b士4=史5，即n 2a 2×1 =-15,0==15 2 2 基础过关 1.C2.B3.B4.C5.k>-1且k≠06.A7.解：(1)a=1,b=-6,c=4.△=？ 4如c=(-62-4X1×4=20>0.方程有两个不等的实数根x=二b-4ac- -（-6)生/2@=3±5，即0=3+5m=3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1.△=B- 2×1 4ac=(-3)2-4×2X(-1)=17>0.方程有两个不等的实数根.x=二b吐-4c= 2a 二-3》告亚_3士正，即0=3+区，西=3正8解：1)一原方程没 2×2 4 有化成一般形式(2)方程化为x2-5.x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,△=6-4ac= （-5)2-4X1×(-1)=29>0,方程有两个不等的实数根x=一b士=4a 2a 二（-5)±/2四_5±，/2四，即n=5+2四，=52四 2×1 2 2 能力提升 9.D10.C11.8或912.解：(1)方程化为6x2-13x+6=0.a=6,b=-13,c=6.△ =B-4c=(-13)2-4X6×6=25>0.方程有两个不等的实数根x=二b士厅-4a匹 2a -二（二若压-1告，即=受=号2方程化为3x-5+9=0a=3,0 2 2×6 =-5,c=9.△=-4ac=(-5)2一4×3×9=-83<0，方程无实数根. 思维拓展 13.解：1)号r2-受x+m-1=0,a=子，b=-受c=m-1,∴4=份-4ac= (一受)-4X子×m-1)=受-m+1=(受-1)≥0∴无论m取何值，方程总有 两个实数根；(2)□ABCD是菱形，∴.AB=AD.,□ABCD的两边AB,AD的长是已 知方程的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根，△一（受-1)=0，解得m=2。 当m=2时，原方程为子r2-x十1=0，解得0==2.∴当m=2时，口ABCD是菱 形，此菱形的边长为2. 21.2.3因式分解法 例题引路 【例1】解：(1)因式分解，得(x-3)(4x-1)=0.于是得x-3=0,或4x-1=0,=3,2 =子；(2②)移项，得2x-1)2十x一1=0.因式分解，得(x-1D[2(x一1D+1]=0.于是得 x一1=0，或2.x-1=0,x1=1,x=2【例2】解：(1)移项，得x+2x=323.配方，得 x2十2x+1=323十1，(.x十1)2=324.由此可得x十1=士18，x1=-19,x2=17;(2)移 项，得7x(3-x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x十2)=0.于是得3-x=0,或 7x+2=0,=3w=-号 基础过关 1.B2.C3.x1=0,x2=一14.解：(1)移项，得2(x-3)一3x(x-3)=0.因式分解， 得(2-3)x一3)=0.于是得2-3x=0,或x一3=0,0=号0=3：(2)因式分解，得 (x-5)2=0.于是得x一5=0，x1=x2=5.5.B6.解：(1)原方程可变形为x(x十4) -(x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x-1)=0.于是得x十4=0，或x-1=0,=-4, x2=1;(2)移项，得x2-4x=一1.配方，得x2-4x十2=一1十22，(x-2)2=3.由此可 得x-2=±3，x1=2十√5,2=2-3.7.未考虑x-7=0x=7 第3页（共60页）● 第1课时 冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①方程x2=p的根的情况： 当0时，方程有 的实数根= 2一√： x2=当0时，方程 实数根； 当=0时，方程有 的实数根=2= ②形如(m.x十n)2=p(m≠0，p≥0)的 方程的根是x= 例题引路 【例1】用直接开平方法解下列方程： (1)3.x2-9=0;(2)16.x2-9=3. 【名师点拨】将方程化为x2=p的形 式，两边直接开平方即可 【学生解答】 【例2】解方程：4(x-2)2-25=0. 解：移项，得 方程两边同除以4，得 直接开平方，得 即x一2-号或x一2一昌 解得x1= 2= 【学生解答】 3名师测控·数学九年级上册 1.2解一元二次方程 21.2.1配方法 用直接开平方法解一元二次方程 ②基础过关。逐点击破 知识点1形如x2=p(p≥0)的一元二次方程的解法 1.下列方程能用直接开平方法解的是 ( A.x2-x=0 B.x2+2=0 C.x2+x=1 D.x2-3=1 2.一元二次方程x2=4的根为 A.x=2 B.x=-2 C.x1=2,x2=-2 D.x=4 3.解下列方程： (1)4x2=9; (2)5.x2+8=3. 知识点2形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的一元二 次方程的解法 4.一元二次方程(x十6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方 程是 ) A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4 5.新视角结论开放题若关于x的一元二次方程(x十3)2=c有 实数根，则c的值可以为 .(写出一种情况 即可) 6.解下列方程： (1)(x+1)2-5=0: (2)100(1-x)2=64. !易错点开平方时漏解 7.方程(y+2)2=(3y-1)2的解为 能力提升。整合运用 8.下列解方程的过程中，正确的是 ( A.x2=2解：x=√2 B.2y2=16解：2y=士4，∴.y1=2,y2=-2 C.2(x-1)2=8解：(x-1)2=4,x-1= ±√4，x-1=士2，∴.x1=3,x2=-1 D.x2=-3解：x1=√-3，x2=-√-3 9.数学想整体思想)已知(x十y十3)(x十y一3)= 72,则x十y的值为 【变式】已知(x2+y2+3)(x2+y2-3)=72, 则x2+y2的值为 10.新视角新定义给出一种运算：对于函数y x”,规定y=nx"-1.例如：若函数y=x4,则 有y=4x3.已知函数y=x3,则方程y=12 的解是 11.用直接开平方法解下列方程： (1)2x2+3=-2x2+4; (2)4(2x+1)2-1=24; (3)(x-√5)(x+√3)=1： (4)x2-4x+4=(3-2.x)2. 12.已知方程(x一1)2=十2的一个根是3，求 k的值及另一个根. 思维拓展©学科素养 13.数学思想分类讨论若一元二次方程(x一3)2=1 的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底 边长和腰长，求等腰三角形ABC的周长. 第二十一章一元二次方程4 第2课 冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①通过配成 来解一 元二次方程的方法，叫做配方法. ②用配方法解方程的一般步骤：(1)将 二次项系数化为 ,并移项使含 未知数的项在方程的左边，常数项 在方程的 ;(2)配方：方程 两边同时加上一次项系数一半的平 方，通过配方将方程转化成 (x十n)2=p的形式；(3)若p 0,则可直接开平方求出方程的解；若 6 0,则方程无实数根. 例题引路 【例】解下列方程： (1)x2+4x=-4: (2)2x2+4x+1=0. 【名师点拔】(1)二次项系数为1，可直 接在方程两边加上一次项系数一半的 平方；(2)先把二次项系数化为1，然后 再配方」 【学生解答】 5名师测控·数学九年级上册 时用配方法解一元二次方程 ②基础过关○逐点击破 知识点1用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.用配方法解方程x2一4x=1时，需要两边同时加上( A.4 B.8 C.16 D.64 2.(2024·咸阳永寿县期末)用配方法解一元二次方程x2+ 6x十5=0，变形后的结果正确的是 ( A.(x-3)2=4 B.(x+3)2=4 C.(x+3)2=5 D.(x十2)2=9 3.用适当的数或式子填空： (1)x2-4x+ =(x )2 (2②)r+3+是-=(x+ )2 4.用配方法解下列方程： (1)x2+2x-1=0; (2)x2-5x-6=0. 知识点2用配方法解二次项系数不为1的一元二次 方程 5.用配方法解一元二次方程3x2一12x一1=0，配方正确的 是 A.3(x-2)2=5 B.(3.x-2)2=13 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=13 3 6.用配方法解方程：4x2一8x=1. !易错点配方时添项错误或漏添项 能力提升。整合运用 7.新考向过程性学习阅读下列解答过程，并完 8.(2024·西安临潼区期中)将一元二次方程 成相应任务， x2一4x一2=0用配方法变形后得(x一2)2= 解方程：2x2+8x-18=0. m,则m的值为 解：移项，得2x2十8x=18.① A.2 B.4 C.6 D.10 二次项系数化为1，得x2十4x=9.② 【变式】(2024·山东东营)用配方法解一元 配方，得x2十4x十22=9，③ 二次方程x2一2x一2023=0时，将它转化为 (x+2)2=9. (x十a)2=b的形式，则a的值为 ( 由此可得x十2=士3，④ A.-2024 B.2024 x1=-5,x2=1.⑤ C.-1 D.1 任务： 9.新视角新定义规定：a☒b=(a十b)b,如：2☒ (1)上述过程从步骤 (填序号)开始 3=(2+3)×3=15.若2☒x=3,则x= 出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程， 10.当y为何值时，代数式2y2一6y+7的值与 代数式y一y十6的值相等？ 微专题 利用配方法判断代数式的正负或求最值 【方法指导】利用配方法判断代数式的正负或求最值，都需要先把代数式配方成a(x十h)2十 的形式，再根据任意数的平方为非负数确定代数式的正负或代数式的最值情况：当α<0，x= 一h时，该代数式有最大值；当a>0,x=一h时，该代数式有最小值k. 1.对于任意实数x,多项式x2-5x十8的值是一个 .(选填“正数”或“负数”) 2.(2024·咸阳三原县期中)多项式一x2+4x-一7的最 值是，此时x= 3.利用配方法求代数式x2+10x+7的最小值. 第二十一章一元二次方程6