21.1 一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

第二 冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①只含有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是 (二次)的 方程，叫做一元二次方程 ②一般形式：a.x2十b.x十c=0(a≠0).其 中，a是二次项系数，b是一次项系 数，是常数项. ③根据实际问题列方程！ 例题引路 【例1】将一元二次方程2y2一3=√2y 化为一般形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项 【学生解答】 【例2根据下列问题设未知数列方程， 并将所列方程化成一元二次方程的一 般形式。 (1)为响应“足球进校园”的号召，某校 组织足球比赛，赛制为单循环形式 (每两个队之间都要比赛一场)，计 划安排55场比赛，求参赛的足球队 个数； (2)小明用一根30cm长的铁丝围成 个斜边长为13cm的直角三角形， 求该直角三角形的两直角边长. 【名师点拨】依题意设元，找出等量关 系列方程，并化为一般形式即可. 【学生解答】 1名师测控·数学九年级上册 十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ②基础过关·逐点击破 知识点1一元二次方程的定义以及一般形式 1.(2024·西安交大附中期中)下列各方程中，是一元二次方 程的是 （) A.x-2=3+6x B.x+3y=4 C.x2-4x+3=0 D.y=2x2+1 2.一元二次方程4x一6x=一1的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是 A.4,6,1 B.4,6,-1 C.4,-6,1 D.4,-6,-1 3.若(m一2)x2十4x一1=0是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是 4.(教材P4习题T变式)将下列方程化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)4x2=√3.x; (2)(2x+1)(2x-1)=2x2. 知识点2 一元二次方程的根 5.下列各数是方程x2一x一2=0的根的是 A.-2 B.0 C.-1 D.1 6.(2024·安康旬阳市期末)若1是关于x的一元二次方程 x2-6a十3=0的一个解，则6a的值为 A.1 B.4 C.-1 D.-4 【变式】若x=一1是关于x的一元二次方程ax2十bx一1=0 的一个根，则a一b的值为 知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 7.A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的.世界上多数 国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准.已知一张 A4纸的面积为623.7cm,长比宽多8.7cm.设它的宽为 xcm,则可得方程为 A.2Lx+(x-8.7)]=623.7B.2[x+(x+8.7)]=623.7 C.x(x-8.7)=623.7 D.x(x+8.7)=623.7 ?易错点忽视一元二次方程中二次项系 数不为0而致错 8.(2024·榆林高新一中月考)若关于x的方 程(k一1)x1+1一x十5=0是一元二次方程， 则k的值为 可能力提升。整合运用 9.一元二次方程x2一x=2025的二次项系数 与常数项之和是 A.2024 B.2026 C.-2024 D.-2026 10.在一次九年级数学交流会上，每两名学生 握手一次，共计握手171次.若设参加此会 的学生有x名，则可列方程为 ( A2x(x+1)=171B2x(x-1)=171 C.x(x-1)=171D.x(x+1)=171 11.数学思想整体思想若x=3是关于x的方程 a.x2-bx=6的解，则2025-6a+2b的值 为 12.(教材P,习题T2变式)根据下列问题列出 一元二次方程，并将其化成一般形式 (1)两个连续奇数的平方和为130，求这两 个奇数； (2)一个交流群里共有x个好友，每个好友 都分别给群里其他好友发送一条消息， 这样共有756条消息，求群中好友个数. 13.新视角新定义定义新运算：对于任意实数 a,b,c,d,有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等 式右边是常用的乘法和减法运算.如： [4,3]￥[2,1]=4×2-3×1=5. (1)求[2,4幻*[3，-1]的值； (2)已知关于x的方程[x,1-x][x十2， m]=0的一个根为2，求m的值. ⊙思维拓展。学科素养 14.数学思想整体思想)已知a是方程x2一2025x十 10的-个限求G-2024a29的值。 第二十一章一元二次方程2参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 02 例题引路 【例1】解：2y-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(x。D=55,整理化简，得2一x-10=0:(2)设该直角三角形的-直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥 基础过关 帐1.C2.C3.m≠24.解：(1)4x2一3x=0,二次项系数是4，一次项系数是一√5，常 数项是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1.5.C6.B 【变式17.D8.-1 能力提升 9.C10.B11.202112.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有2+(n十 2)2=130,2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0.13.解：(1)[a,b]￥ [c,d]=ac-bd,.[2,4]*[3,-1]=2×3-4×(-1)=6+4=10;(2)[x,1-x]￥ 她 [x+2,]=0,.x(x+2)-m(1-x)=0.又：方程的一个根为2，.2×(2+2)-mX (1-2)=0,解得m=-8. 思维拓展 封 14.解：a是方程x2一2025x+1=0的一个根，a≠0，∴.a2-2025a+1=0,∴.a2+1= 2025a,a2-2024a=a-1.:a≠0,0-2025a+1=0,a+1=2025.原式=a a 物 -1+28=a-1+-a+日-1=2025-1=2024 a 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√币无两个相等0gD”二D” 始 例题引路 【例1】解：13x=9,c=3,x=士/3，西=3，=-3，(2)16x=12,2是=2 3 2一 2· 【例24x-2》=25(x-2=要x-2=±号号 基础过关 1.D2.C3解：2=x=±号函=号=-号：(2)5x2=-5,2=-1 -1<0,方程无实数根.4.D5.1(答案不唯一)6.解：(1)(x十1)2=5，x十1= 士5，即+1=5，或x+1=-5,=-1+5,=-1-5,(21-0=总 碧品，1-=士号，即1-x=青，或1一2=-青出=日=号1=号为 第1页（共60页） 能力提升 8C9.士9【变式910.=2a=-211.解：()4x2=1,2=子，=±7，a 1 =7w=-:(24(2z+10=25,(2x+1)9=要，2x+1=±号，即2x+1=号，或 1 2x+1=-号=是=子：3)2-3=1,2=4x=士2a=2=-2(40(x -22=(3-2x)2,x-2=士(3-2x）,即x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),=3, 5 2=1.12.解：把x=3代人原方程，得(3-1)2=k2十2.化简，得k2=2,∴.k=士√2， .原方程为(x一1)2=4，x一1=士2，.=3，x2=一1，故k的值为土/2，另一个根 为-1. 思维拓展 13.解：(x-3)2=1,.x-3=士1.解得=4,2=2.：一元二次方程(x-3)2=1 的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，∴.分两种情况讨论：①当底边 长和腰长分别为4和2时，2十2=4，此时三条线段不能构成三角形，舍去；②当底边长 和腰长分别是2和4时，符合三角形三边的关系，此时△ABC的周长为2+4+4=10. 综上所述，等腰三角形ABC的周长为10. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②1右边≥< 例题引路 【例】解：(1)配方，得x2十4x十2=-4十22，(x十2)2=0.由此可得x十2=0，x=x2= 一2：(2)移项，得2+4x=-1.二次项系数化为1，得r+2x=一，配方，得2+2z +1=吉+，十1=由此可得十1=±9a-号1a=号1 基础过关 1.A2.B3.(1)42(2)2 4.解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2+2x十1= 1+1,(x+1)2=2.由此可得x+1=士√2,0=-1+√2,2=-1一√2：(2)移项，得x2 -5x=6.配方，得2-5x+(停)=6+（停）（一号）=织由此可得-号 土子，=6=-1.5D6解：二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得2 2x+=+,-1少-是.由此可得一1=±写n=1+号%=1-号 7.解：(1)③配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2+8.x=18.二次项系数化为1，得x2+4x=9.配方，得x2+4x+22=9十 22,(x+2)2=13.由此可得x+2=士√13，x=-2+√13,2=-2-√/13. 能力提升 8.C【变式】D9.1或-310.解：根据题意，得2y2-6y+7=y-y+6,即y2-5y +1=0移项：得-5=-1.配方，得-5y+(受)=-1+（受）(-) 头由此可得)号=士=计区-5 2 微专题 1.正数2.大-323.解：：x2+10x+7=x2+10x十25-18=(x+5)2-18,由 (x+5)2≥0，得(x+5)2-18≥-18，∴.代数式x2+10x十7的最小值是-18. 21.2.2公式法 新知梳理 ①？一4ac两个不等的两个相等的无②-4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4.△=6一4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5.△=一4ac=(一7)2 第2页（共60页） 一4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=一4ac=12 一4X1X(-1D=5>0.方程有两个不等的实数根x=一b士4=史5，即n 2a 2×1 =-15,0==15 2 2 基础过关 1.C2.B3.B4.C5.k>-1且k≠06.A7.解：(1)a=1,b=-6,c=4.△=？ 4如c=(-62-4X1×4=20>0.方程有两个不等的实数根x=二b-4ac- -（-6)生/2@=3±5，即0=3+5m=3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1.△=B- 2×1 4ac=(-3)2-4×2X(-1)=17>0.方程有两个不等的实数根.x=二b吐-4c= 2a 二-3》告亚_3士正，即0=3+区，西=3正8解：1)一原方程没 2×2 4 有化成一般形式(2)方程化为x2-5.x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,△=6-4ac= （-5)2-4X1×(-1)=29>0,方程有两个不等的实数根x=一b士=4a 2a 二（-5)±/2四_5±，/2四，即n=5+2四，=52四 2×1 2 2 能力提升 9.D10.C11.8或912.解：(1)方程化为6x2-13x+6=0.a=6,b=-13,c=6.△ =B-4c=(-13)2-4X6×6=25>0.方程有两个不等的实数根x=二b士厅-4a匹 2a -二（二若压-1告，即=受=号2方程化为3x-5+9=0a=3,0 2 2×6 =-5,c=9.△=-4ac=(-5)2一4×3×9=-83<0，方程无实数根. 思维拓展 13.解：1)号r2-受x+m-1=0,a=子，b=-受c=m-1,∴4=份-4ac= (一受)-4X子×m-1)=受-m+1=(受-1)≥0∴无论m取何值，方程总有 两个实数根；(2)□ABCD是菱形，∴.AB=AD.,□ABCD的两边AB,AD的长是已 知方程的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根，△一（受-1)=0，解得m=2。 当m=2时，原方程为子r2-x十1=0，解得0==2.∴当m=2时，口ABCD是菱 形，此菱形的边长为2. 21.2.3因式分解法 例题引路 【例1】解：(1)因式分解，得(x-3)(4x-1)=0.于是得x-3=0,或4x-1=0,=3,2 =子；(2②)移项，得2x-1)2十x一1=0.因式分解，得(x-1D[2(x一1D+1]=0.于是得 x一1=0，或2.x-1=0,x1=1,x=2【例2】解：(1)移项，得x+2x=323.配方，得 x2十2x+1=323十1，(.x十1)2=324.由此可得x十1=士18，x1=-19,x2=17;(2)移 项，得7x(3-x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x十2)=0.于是得3-x=0,或 7x+2=0,=3w=-号 基础过关 1.B2.C3.x1=0,x2=一14.解：(1)移项，得2(x-3)一3x(x-3)=0.因式分解， 得(2-3)x一3)=0.于是得2-3x=0,或x一3=0,0=号0=3：(2)因式分解，得 (x-5)2=0.于是得x一5=0，x1=x2=5.5.B6.解：(1)原方程可变形为x(x十4) -(x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x-1)=0.于是得x十4=0，或x-1=0,=-4, x2=1;(2)移项，得x2-4x=一1.配方，得x2-4x十2=一1十22，(x-2)2=3.由此可 得x-2=±3，x1=2十√5,2=2-3.7.未考虑x-7=0x=7 第3页（共60页）