4.1无理数导学案　2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

该初中数学导学案围绕无理数展开，核心知识点为无理数的认识与估值。课堂导入通过剪拼小正方形、计算直角三角形斜边正方形面积等动手操作，从具体图形面积计算引出无理数不是整数或分数，再过渡到无理数定义与估值，构建从几何直观到抽象概念的学习支架。 特色在于融合数形结合与自主探究，通过分层习题（基础巩固到中考链接）及动手实践，培养学生几何直观、推理意识与创新意识，帮助学生从具体到抽象理解无理数，提升问题解决与知识应用能力。

4.1.1无理数 【自主探究】 知识点：无理数的认识 一、将两个边长为1的小正方形剪一剪,拼一拼,设法拼成一个大正方形. 1.拼成的大正方形面积是 2.设大正方形的边长为a, a满足的条件是 3.在上述条件中发现，a既不是（ ），也不是（ ） ，所以a不是（ ） 。 二、1.在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 2. 设该正方形的边长为b，则b应满足的条件是 3. b （填“是”或“不是”）有理数 针对训练 面积分别为1，2，3，4，7，8，9的正方形边长是无理数的有 个。 【基础巩固】 1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ） A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为27的正方形 D.面积为1.44的正方形 2.边长为2的正方形的对角线是 ,它 有理数.(填“是”或“不是”) 3.下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？ 【素养提优】 下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，作出线段AE、BE、AB、EF、DE、DF、BD、BC 、CD （1）请写出这些线段长度是有理数的线段为： （2）线段长度不是有理数的线段为： 2.已知一条线段AB的长度满足：AB2=5，请在网格中（网格张每个小正方形边长为1）画出线段AB.你认为线段AB的长度是有理数吗？你还能画出一条长度不是有理数的线段吗？ 【中考链接】 (2022·山东德州）下列实数为无理数的是（     ） A． B．0.2 C． D． 【方法提炼】 1.本节用到的数学思想方法：数形结合. 2.常用知识点：勾股定理 3.在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是有理数的数。 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1. 面积为15的正方形的边长 有理数；面积为16的正方形的边长 有理数.(填“是”或“不是”) （3分） 2. x2=8,则x 分数， 整数， 有理数.(填“是”或“不是”)（3分） 3.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：线段CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请阐述一下理由. （4分） 4.1.2无理数 【自主探究】 知识点一：无理数的估值 （1）写出3个正方形的面积分别为 、 、 （2）根据三个正方形的面积对比，估算边长a的取值范围是 探究：a究竟是1点几呢？（请用计算器进行探索） 首先确定十分位，十分位究竟是几呢？ 如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a的范围 是 ＜a＜ ，所以a的值精确到十分位是 . 依照此方法确定百分位、千分位上的数字...... 请把自己的探索过程整理一下，并用如下表格统计出来. 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 …… …… 根据探索可得：a是 （填“有限”或“无限”） （填“循环”或“不循环”）小数. 针对训练一 1. 估计的值在（ ）A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 2. 一个正方形的面积为48个平方单位，它的边长在两个相邻整数之间，这两个整数是 和 . 3.比较1.73，，1.74的大小关系为： 知识点二：无理数的定义 1. 把下列各数表示成小数. （1）3写成一位小数为： （2）写成小数为： （3）- 写成小数为： （4）写成小数为： 这些有理数都可以用 小数或 小数表示. 2. 小数称为无理数. 针对训练二 1. 判断对错，并说明理由。 （1）0是无理数。（ ） （2）所有的无线小数都是无理数。（ ） （3）因为 写成小数是无线小数，所以它是无理数.（ ） 2.在数-，0，，，-6.79，0.010010001，属于无理数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【基础巩固】 1.下列说法中，正确的是（ ） A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 2.下列数中是无理数的是（ ）A. B. C.0 D. 3.下列数中，不是有理数的是（ ）A. B. C. D. 0.3 【素养提优】 1. 下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）A. B. C. 3.1 D. 2.以下各数：－1, , 3.14, －π, , 0, 87.654345345345, , , , , 0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1) ，其中，是有理数的是 ，是无理数的是 .在上面的有理数中，分数有 ，整数有 . 3.已知a为有理数，b为无理数，则a+b为（ ）A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 4.一个正方体的体积为25，估计这个正方体的棱长在（ ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【中考链接】 （2022·山东济南）写出一个比大且比小的整数 ． 【方法提炼】 知识方面:1.任何有限小数或无限循环小数都是有理数；2.无理数是无限不循环小数. 解题技巧：无理数一般常见三种类型：（1）含根号且开不尽方的数，如，，等； （2）含π的一些数；（3）有一定规律，但无线不循环的小数，如0.515115111...... 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.下列说法正确的有（ ）(2分) A.所有无限小数都是无理数 B.所有无理数都是无限小数 C.有理数都是有限小数 D.不是有限小数的不是有理数 2.下列各数中，不是无理数的是（ ）(2分) A.π B. C. 0.51511511151111... D. 3. 、、的大小关系是（ ） (2分) A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 4.在实数3.14，3.33333……，，，0.10110111011110……，π，-中，是无理数的有 (2分) 5.已知整数m满足条件m2=39，则m的整数部分为 ，小数部分为 (2分) 答案： 4.1.1无理数 【自主探究】 知识点：无理数的认识 一、1. 2 2. a2=2 / a= 3.（ 整数 ），（ 分数） ，（ 有理数） 。 二、1. 5 2. b2=5/ b= 3.b不是 针对训练 4 【基础巩固】 1. C 2. , 不是 3.答：该正方形的边长不是有理数。 理由如下：设该正方形的边长为a 根据勾股定理可得：a2+82=152 ∴a2=161 ∴a= ∴a既不是整数，也不是分数，即a不是有理数 ∴a为无理数 【素养提优】 1.（1）AE、BE、EF、DE、DF、BD、BC （2）AB、CD 2. A B 【中考链接】D 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 2. 不是； 是 2.不是，不是， 是 3. 答：线段CD不是整数，不是分数，不是无理数.线段CD为无理数. 理由如下：∵CD⊥AB ∴在Rt🔺ACD中，CD2+AD2=AC2 ∴CD2= AC2- AD2=62-52=11 ∴CD= ∴CD不是整数，不是分数，也不是有理数. 4.1.2无理数 【自主探究】 知识点一：无理数的估 （1） 1 、 2 、 4 （2） 1＜a＜2 1.4 ＜a＜ 1.5， 1.4 . 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 …… …… 无线 ； 不循环 针对训练一 3. C 4. 6和 7 . 3. 1.73＜＜1.74 知识点二：无理数的定义 （1）3.0 （2） 0.8 （3）0.1 （4） 有限 ；无线循环 . 3. 无线不循环的. 针对训练二 （1）（ × ）（2）（ × ）（3）（ × ） 2. A 【基础巩固】 1. D 2. B 3. B 【素养提优】 2. B 2.是有理数的是 －1, , 3.14, , 0, 87.654345345345, , , ， 是无理数的是－π, , 0.2020020002…… . 在上面的有理数中，分数有 ,, , ， 整数有 －1, 0, , . 3. D 4. A 【中考链接】2或3或4（答案不唯一） 【达标测评】 1. B 2. B 3. B 4. 0.10110111011110……，π，- 5. 6 ， 学科网（北京）股份有限公司 $