精品解析：山东省青岛市城阳第十三中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

城阳第十三中学八年级上学期第一次月考数学检测 一、选择题（本大题共10小题，共30分．每小题选出符合题目的一项） 1. 在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）、、中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是 B. 的立方根是 C. 是2的平方根 D. 是的平方根 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面几组数，能作为直角三角形三边的有（ ）组：①；②，1，1；③，，；④，，；⑤，，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列等式中：① ，②=2，③ =4，④=0.001，⑤，⑥，⑦=25．其中正确的有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（ ） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 7. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 22023 D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 的平方根为________，的立方根为________，的倒数为________． 12. 如图所示，已知，过点作垂直于数轴的垂线，其中垂线段为1，则数轴上点表示的数是______． 13. 比较大小：_________． 14. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，则的长__________． 15. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为______． 16. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，则秋千的长为______． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）从点出发的一条线段，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为； （2）以（1）中的为边的一个直角三角形，使点在格点上并且在点上方（另两边的长都是无理数且边最短）； （3）的面积为______． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 19. 《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 20. 已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 21. 如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 22. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 23. 某单行隧道的截面如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中，；现有一辆装满货物的卡车，高为，宽为，问这辆卡车能否安全通过隧道？请说明你的理由． 24. 电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？ 25. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简 ； （2）参照（2）式化简 ； （3）化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城阳第十三中学八年级上学期第一次月考数学检测 一、选择题（本大题共10小题，共30分．每小题选出符合题目的一项） 1. 在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）、、中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）、、中，无理数的个数是、（相邻两个1之间的0依次增加1个）、共3个， 故选：C． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是 B. 的立方根是 C. 是2的平方根 D. 是的平方根 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，说法正确，故本选项不符合题意； B、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意； C、是2的平方根，说法正确，故本选项不符合题意； D、是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的概念，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式有意义的条件． 逐一计算后判断即可． 【详解】A．，故正确； B． ，故错误； C．无意义，故错误； D．不能相加，故错误； 故选：A． 4. 下面几组数，能作为直角三角形三边的有（ ）组：①；②，1，1；③，，；④，，；⑤，，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，通过依次判断较小的两边的平方和是否等于最长的边的平方即可求解． 【详解】解：①∵，故能构成直角三角形； ②∵，故能构成直角三角形； ③∵，故不能构成直角三角形； ④∵，故不能构成直角三角形； ⑤∵，故不能构成直角三角形；   故选：B ． 5. 下列等式中：① ，②=2，③ =4，④=0.001，⑤，⑥，⑦=25．其中正确的有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据开平方、开立方的知识进行各项的运算，然后可得出答案． 【详解】①，故本项错误； ②=-2，故本项错误； ③=4，故本项正确； ④=0.001，故本项正确； ⑤＝−，故本项正确； ⑥，故本项正确； ⑦=5，故本项错误； 综上可得③④⑤⑥正确，共四个． 故选C． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的知识，解题的关键是掌握一个正数的算术平方根为正数，难度一般． 6. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（ ） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是．   故选： B． 7. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 将原式各项都化简为最简二次根式，被开方数不为的即为正确答案． 【详解】解：A. ，可以与合并，故选项不符合题意； B. ，不能与合并，故选项符合题意； C. ，可以与合并，故选项不符合题意； D. ，可以与合并，故选项不符合题意； 故选：． 8. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：． 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 22023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 的平方根为________，的立方根为________，的倒数为________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根，求一个数的倒数，以及分母有理化． 先计算，再求其平方根；根据立方根定义、倒数的定义作答即可． 【详解】，那么4的平方根为， 的立方根为， 的倒数为， 故答案为：，，． 12. 如图所示，已知，过点作垂直于数轴的垂线，其中垂线段为1，则数轴上点表示的数是______． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和数轴上的实数，解题关键是求出，得出的长度后即可求解． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 点A表示的数是 故答案为： ． 13. 比较大小：_________． 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法，先估算，再比较大小即可． 【详解】， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 14. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，则的长__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键，根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理得到，设，则，由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 16. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，则秋千的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及到解一元一次方程，解题关键是理解题意，正确得到其中的三边关系并准确计算，本题根据在中，，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，距地面， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）从点出发的一条线段，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为； （2）以（1）中的为边的一个直角三角形，使点在格点上并且在点上方（另两边的长都是无理数且边最短）； （3）的面积为______． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图， （3）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键时充分利用网格结构，熟练掌握勾股定理及逆定理及应用． （1）根据勾股定理，并结合网格求解即可； （2）结合网格特点，依据勾股定理逆定理求解即可； （3）利用直角三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 ， ∴即为所求； 【小问2详解】 根据网格特点，，，，， ， ∴，， ∴即为所求； 【小问3详解】 由（）得：，， ∴， 故答案为：． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可； （2）根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算减法即可； （3）根据完全平方公式展开，再计算乘法，最后计算减法即可； （4）利用平方差公式计算即可； （5）先对括号内的二次根式化简作差，再计算二次根式的除法即可； （6）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： 19. 《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【解析】 【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【详解】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 20. 已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 21. 如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【答案】10尺 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【详解】解：设竹竿长尺，由题意，竹竿尺，门高尺，门宽尺， 在中， 解得 答：竹竿长10尺． 22. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】3600元 【解析】 【分析】利用勾股定理可以证明三角形ACD是直角三角形，运用勾股定理可以求得AC的值，同样，可以求出这块草坪的面积，然后就能求得铺满这块空地共需花费的费用． 【详解】解：连接AC， ∵∠B=90°, AB=3m，BC=4m, ∴AC==5m， 又∵CD=12m,DA=13m， ∴AC2+CD2=DA2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 答：铺满这块空地共需花费3600元． 【点睛】考点：勾股定理． 23. 某单行隧道的截面如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中，；现有一辆装满货物的卡车，高为，宽为，问这辆卡车能否安全通过隧道？请说明你的理由． 【答案】 能通过，理由如下： 设点O为半圆的圆心，则O为的中点，为半圆的半径， 如图， ∵是长方形，，； 直径，， ∴半径， 的长度为卡车宽的一半， ， 在中，； ， ∴不能通过． 【解析】 【分析】因为上部是以为直径的半圆，设O为中点，同时也为半圆的圆心，为半径，的长度为卡车宽的一半，根据勾股定理可求出的长度．的长度等于的长度．如果的长度大于，卡车可以通过，否则不能通过． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24. 电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？ 【答案】2A 【解析】 【分析】将，，，代入，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， ∵4的平方根为：2，-2， ∴（负值不合题意，舍去）， ∴ 答：电流的值是2A． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，根据题意代入数值，准确解方程是解题的关键． 25. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简 ； （2）参照（2）式化简 ； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义． （1）直接分母有理化； （2）将分母有理化，利用平方差公式进行运算； （3）先将各部分分母有理化，再提出，然后作加减． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $