学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷（湘教版专用，湘教版选择性必修第一册第1～3章）

0学科网·学易金卷 ww .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期上学期期中试卷 参考答案 第一部分(选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A A B C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC ABC ABD 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.6n-3 13.0或3 14.①.8 $$\textcircled 2 . \left( \frac { \sqrt 6 } { 3 } ， \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right)$$ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)圆 $$C _ { 2 } ： x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 1 0 x + 1 0 y = 0$$ 的圆心为 $$C _ { 2 } \left( - 5 ， - 5 \right) ，$$ 半径 $$r _ { 2 } = 5 \sqrt 2 ，$$ 直线 $$O C _ { 2 }$$ 的方程是 y=x， ，所以圆 $$C _ { 1 }$$ 的圆心可设为 $$C _ { 1 } \left( a ， a \right) ，$$ $$\left( a - 0 \right) ^ { 2 } + \left( a - 0 \right) ^ { 2 } = \left( a - 0 \right) ^ { 2 } + \left( a - 6 \right) ^ { 2 } ， a = 3 ， \left( 3$$ 分) $$C _ { 1 } \left( 3 ， 3 \right) ，$$ 半径 $$r _ { 1 } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = 3 \sqrt 2 ，$$ 所以圆 $$C _ { 1 }$$ 的方程为 $$\left( x - 3 \right) ^ { 2 } + \left( y - 3 \right) ^ { 2 } = 1 8 . \left( 6$$ 分) (2) $$\left( x - 3 \right) ^ { 2 } + \left( y - 3 \right) ^ { 2 } = 1 8 ，$$ ，令x=4，解得 $$y = 3 \pm \sqrt { 1 7 }$$ $$3 + \sqrt { 1 7 } - \left( 3 - \sqrt { 1 7 } \right) = 2 \sqrt { 1 7 } ，$$ 所以直线x=4符合题意.(8分) 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y-5=k(x-4)，kx-y+5-4k=0， 1/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由于IMWF27,所以C3,3列到直线MN的距商为V32-(可=1， 所以 3k-3+5-4k_2- Vk2+1 =.解得k=》1分》 Vk2+1 直线MN的方程为二x-y+5-3=0,3x-4y+8=0 4 综上所述，直线MN的方程为3x-4y+8=0或x=4 (13分) X=4 3x-4y+8=0 16.(15分) 【解析】(1)直线1的方程为y=x-3,(2分) 联立C:y2=3x得x2-9x+9=0, 设A(8y1B(y2),则x+x=9,xx=9,(4分) 则AB=1+1P×Vx+x22-4xx2=2×V81-36=30; A (7分) (2)当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，(8分) 设直线的方程为x=3+y, 与C:y2=3x联立得y2-3y-9=0, 设A(8y1),B(y2),则y+=3,5=-9,11分) 则xx2=(3+y)(3+y2)=9+3(y+y2)+t2yy2=9+92-92=9, 2/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故0A0B=xx2+yy2=9-9=0, 故0A⊥0B.(15分) 17.(15分) 【解折】1)由题意可知c=N2,e==6,a=5,则=4-c- a 3 六椭圈C的方程： 3+少2=1(4分) (2)当直线屏率不存在时，1：x=V万与圆x2+y=1不相切且此时MN=2办-25÷N5:6分) a 3 kx-y-2k=0 当直线7m率有对，设：y=(-),即1：红-y-k=0,联立三+y=1 ，得 (3 3k2+1x2-6V2k2x+6k2-3=0, 设M(8y),N(2y2) 6V2k2 6k2-3 则+6+3,61+3 MN=V1+k2=1+k2+x)-4x=1+k2 6V2k2 6k2-3 4× 1+3k2 1+3k2 当MN=5=+2+2时，则t=1,9分 1+3k2 直线1：y=x-√2或y=-x+√2， 此时圆心到1的距离d= 0+0-V2 0-0+-1=r V2+12 V12+12 .当MN=√3时，直线1与圆x2+y2=b2相切；(11分) 当直线1与圆x2+)y2=2相切时，r=d k×0-0-V2 Vk2+1 解得2=1，此时MN=+2+12-5: 1+3k2 3/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上所述：当且仅当直线1与圆x2+y2=b2相切时MW=V5(15分) 18.(17分) x-2y+2=0 【解析】(1)由 消去x并化简得y2-4y+1=0,△=42-4=12>0， 设P(x,),Q(x2,2),则y+2=4,2=1，(3分) PO= 1 所以 ×V42-4x1=V5×2W5=21 1 56分) 2 (2)依题意，双曲线C上存在两点A,B,满足FA=2F,B, 设直线FA与双曲线的另一个交点为B',根据对称性可知FA=2B'℉，(8分) 双曲线。-y=1对应a=2,b=1c=V5, 则FE(-√5,0)，依题意可知直线FA的斜率存在， 设直线FA的方程为y=kx+V3), y=k(x+5) 由 消去y并化简得1-2k2）x2-4V5k2x-6k2-2=0, 则 1-2k2+0 (4=48k4+4(1-2k2)(6k2+2)>0 即k≠士号→k*士琴0分) k2+1>0>0 -6k2-2②， 限，周+312宠 由FA=2B'F得(x+V5,y=2-V5-x,-y=（-2W5-2x4,-2y), 所以x3+V5=-2V5-2x4,x3+2x4=-3V5③， 4/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由0@解得5= 2V3k2+3V3 25k2-3W 1-2k2,七4= ,13分) 1-2k2 12k4-27-6k2-2 代入②得： (1-2k2) 1-2k2，由于1-2k2≠0， 所以12k4-2 =-6k2-2,整理得k2=25, 1-2k2 ,解得k=±5V2 2 (17分) 19.(17分) 【解析】(1)2Sn=（n+1an,.当n≥2时，2Sn-1=nam-1, 两式相减得，20，=(n+1刂a。-a,整理得(n-1a,-10n1=0,即=” an-1,(3分) .当n≥2时，an=a1· .4…=3×2××…x”=3m,4=3满足此式。 a1a2am-112n-1 ∴.am=3n.(5分) 2)①油1)得，2S,=3nn+1,S=3mn+l,三_3n+1 2 数列 是首项为3，公差为二的等差数列.(7分) 2 当n为奇数时，n+1为偶数， 3n+为3的擎数信，3是数列a,中的顶，8分 2 2 当n为偶数时，n+1为奇数， 3(n+不是数列a,}中的项， 2 .数列bn}中的项为数列 n 的偶数项，且6=2 5/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9 ·数列6，是首项为2，公差为3的等差数列， 6-3+3n-0=32m+D, 9 (11分) 2 h6=32n+.32n+3》_92m+12n+3)1」 -2(1-1 22 4 ’b,b9(2n+12n+3)92n+12n+3 =+t+1,1）-,1= T.-35方7+…+2n+12n+3厂g32n+354n+8 .(13分) ②0海.-2+".4-号a-6a+34- 3(2cn+1) 2 2 7293(2c+0 :4,心4.成等比数列，∴公=4，甲6m+3)=?× 2 22 .cn=6n2+6n+1,∴. 11<11=11】 c。6n2+6n+1`6n2+6n6n(n+1D6nn+1 4--片-g 6/6 2025-2026学年高二数学上学期期中试卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 1.【答案】D 【解析】由直线得其斜率， 设直线的倾斜角为（），则， 所以，所以直线的倾斜角为， 故选：D 2．等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2.【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 3．已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3.【答案】A 【解析】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 4．已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ） A. B.1 C. 7 D. 4.【答案】A 【解析】已知双曲线的焦距为4，则， 又，解得. 故选：A. 5．已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则（ ） A. B. 7 C. D. 2 5.【答案】B 【解析】由题意可知：直线l：过圆心，则，解得， 故圆C：的圆心为，半径，且点， ∵， ∴. 故选：B. 6．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 6.【答案】C 【解析】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 7．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 7.【答案】D 【解析】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 8．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8.【答案】C 【解析】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若点，到直线的距离相等，则 C. 直线与轴一定相交 D. 若直线不过第二象限，则 9.【答案】AC 【解析】由直线：，可得， 当，即时，方程恒成立， 即直线过定点，故A正确； 当直线与平行（或重合 ）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等， 由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误； 由直线：可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确； 直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误. 故选：AC 10．已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 10.【答案】ABC 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B对； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：ABC. 11．如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段 的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列不是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 11.【答案】ABD 【解析】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，其中， 故． 而，∴， 故 ， 而也符合该式，故， 此时，，故不是等比数列，故A正确． 而，故D正确． 而，故，故B正确． 对任意给定的正数，当时，必有，故C错误． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________. 12.【答案】 【解析】由题意时，， 又也满足上式， 所以． 故答案为：. 13．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线 上，则实数的值为_________． 13.【答案】0或3 【解析】因为M，N关于直线对称，直线的斜率为， 两条垂直直线的斜率乘积为，所以直线MN的斜率. 设直线MN的方程为，将其代入双曲线可得. 展开得到，即. 设，，根据韦达定理，所以， 则中点横坐标. 因为中点在直线上，所以. 因为MN的中点在抛物线上，所以，解得或. 当时，中点为，因为中点在直线上，所以； 当时，中点为，在直线上，所以，解得. 故实数的值为或. 故答案为：或. 14．在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 14.【答案】 ①. ②. 【解析】设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为：①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 15.（13分） 【解析】（1）圆的圆心为，半径， 直线的方程是，所以圆的圆心可设为， 则，则， 半径， 所以圆的方程为. （2）由，令，解得， ，所以直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于，所以到直线的距离为， 所以，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16．（15分） 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. （1）若直线的斜率为1，求； （2）求证：. 16．（15分） 【解析】（1）直线的方程为， 联立得， 设，则， 则； （2）当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 则， 故， 故. 17．（15分） 已知椭圆的右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线经过且与椭圆交于两点，证明：当且仅当直线与圆相切时． 17.（15分） 【解析】（1）由题意可知，，∴，则 ∴椭圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，与圆不相切且此时； 当直线斜率存在时，设，即，联立，得， 设，， 则， 则 当时，则， 直线或， 此时圆心到的距离,或 ∴当时，直线与圆相切； 当直线与圆相切时，， 解得，此时； 综上所述：当且仅当直线与圆相切时. 18．（17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 18．（17分） 【解析】（1）由消去并化简得， 设，则， 所以. （2）依题意，双曲线上存在两点，，满足， 设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知， 双曲线对应， 则，依题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 则， 即. 设，则①，②， 由得， 所以③， 由①③解得，代入②得： ，由于， 所以，整理得，解得. 19． （17分） 已知数列的前项和为，，且． （1）求； （2）若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 19．（17分） 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】（1）∵，∴当时，， 两式相减得，，整理得，即， ∴当时，，满足此式， ∴. （2）①由（1）得，，∴，， ∴数列是首项为，公差为的等差数列. 当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项， 当为偶数时，为奇数，不是数列中的项， ∴数列中的项为数列的偶数项，且， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴， ∴，， ∴. ②由①得，，∴， ∵成等比数列，∴，即， ∴，∴， ∴. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中试卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2．等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3．已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4．已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ） A. B.1 C. 7 D. 5．已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则（ ） A. B. 7 C. D. 2 6．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 7．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 8．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若点，到直线的距离相等，则 C. 直线与轴一定相交 D. 若直线不过第二象限，则 10．已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 11．如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段 的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列不是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________. 13．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线 上，则实数的值为_________． 14．在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 16．（15分） 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. （1）若直线的斜率为1，求； （2）求证：. 17．（15分） 已知椭圆的右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线经过且与椭圆交于两点，证明：当且仅当直线与圆相切时． 18．（17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 19． （17分） 已知数列的前项和为，，且． （1）求； （2）若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中试卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2．等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3．已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4．已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ） A. B.1 C. 7 D. 5．已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则（ ） A. B. 7 C. D. 2 6．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 7．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 8．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若点，到直线的距离相等，则 C. 直线与轴一定相交 D. 若直线不过第二象限，则 10．已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 11．如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段 的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列不是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________. 13．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线 上，则实数的值为_________． 14．在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 16．（15分） 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. （1）若直线的斜率为1，求； （2）求证：. 17．（15分） 已知椭圆的右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线经过且与椭圆交于两点，证明：当且仅当直线与圆相切时． 18．（17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 19． （17分） 已知数列的前项和为，，且． （1）求； （2）若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中试卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $