专题03 相似三角形的应用（专项训练）数学湘教版九年级上册

专题03 相似三角形的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、灯光下的测量问题 1 题型二、标杆测量问题 2 题型三、利用镜子进行测量 2 题型四、光学成像中的测量问题 3 题型五、古典文化中的测量问题 3 题型六、实物抽象出相似问题 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、灯光下的测量问题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．3.5米 B．4.5米 C．5 米 D．5.5 米 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是3.5米， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键． 先设米，当小明在、两处时分别得出三角形相似，列出线段对应的比例式，求出，再代入即可求解． 【详解】解：设米， 由相似三角形性质： 当小明在处时，，则， 当小明在处时，，则， ， 解得，， 经检验，是方程的解， 将代入， 解得． 答案：A． 3．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关在知识．由题意可得：，，推出，，进而得到，，可求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，， ，， ，， 即，， ， ， 即两人的距离是， 故答案为：． 4．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】解：如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 题型二、标杆测量问题 6．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 树的高度为． 故选D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆·开学考试）在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为 ． 【答案】12 【分析】作于H，交于P，如图，则，，，证明，然后利用相似比计算出即可． 本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【详解】解：作于H，交于P，如图， 则，，， ， ， ， 即， ， 即旗杆的高度为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 题型三、利用镜子进行测量 11．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 12．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（　　） A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米 【答案】D 【分析】易证△ACG∽△FEG，由相似三角形的性质可得AC：EF=CG：GE，代入已知条件即可解决问题． 【详解】解：如图： 由题意∠AGC＝∠FGE， ∵∠ACG＝∠FEG＝90°， ∴△ACG∽△FEG， ∴AC：EF＝CG：GE， ∴， ∴AC＝9.6米， ∴AB＝AC+BC＝9.6+0.6＝10.2米． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是 m． 【答案】10 【分析】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：根据题意， ，（反射角等于入射角）， ， ，即， ， 所以这栋大楼高为， 故答案为：10． 14．（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，， 由题意可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：36． 15．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 题型四、光学成像中的测量问题 16．（2024·广东东莞·模拟预测）如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，先根据凸透镜成像原理确定物体与像的相似关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知的物高、物距和像距计算像高． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 17．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 18．（2025·吉林松原·模拟预测）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 19．（2024·广东广州·一模）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点． (1)若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 【答案】(1)2米 (2)，说明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定； （1）先证明，利用相似三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，可得米； （2）由（1）得，，则，据此可得，当，即时，，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴米， ∴蜡烛的像的长度为2米； （2）解：由（1）得， ∴，即， ∴， 当，即时，， ∴，即， ∴物高大于像高，即呈缩小的像． 题型五、古典文化中的测量问题 20．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 21．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 22．（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为 米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 题型六、实物抽象出相似问题 23．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定的实际运用，根据题意证明，结合相似三角形性质推出求解，即可解题． 【详解】解：当夹子完全张开时（即A，B两点重合），如图所示： ，． ， ， ， ， 即， 解得； 故选：A． 24．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 25．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计） 【答案】 【分析】设点E的着地点为F，根据题意，得，则，列出比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的生活应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点E的着地点为F，根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 27．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 一、单选题 1．）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 3．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据，结合，证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 5．在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，熟记物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系是解决问题的关键．证明，然后利用相似比即可求出的长． 【详解】解：木杆两端的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， 故选：B． 6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 7．小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，A、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：水平距离的长为；铅垂高度的长为；如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时点A沿方向移动的距离为（   ）   A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．设，在中，由勾股定理可得，由已知条件可证得，则有即，解出此时，使反射点沿方向下降后，同理可得，设，，则有即，在中，利用勾股定理可解得，，，由此即可求得点A移动的距离． 【详解】解：设，在中， 由勾股定理可得：， 即， ， 则， 由题意得：， ，， ， 即， ， 如图，反射点沿方向下降后， ，， 同理可知此时， 设，， 则即， ， 在中，， 即， 将代入得：， 解得， 则，， 点A移动的距离为：． 故选：D． 8．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．易证，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 9．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 10．（2025·吉林长春·一模）小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．同一时刻，高为的小明的影长为，烟囱的影长为，则这座烟囱的高为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据在同一时刻，物体的高度和影长成正比，设出烟囱高度即可列方程解答． 【详解】解：设烟囱高度为， 列方程得：， 解得： ， 故烟囱的高度为． 故答案为：． 12．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意易证，根据相似比即可得出的长度． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴小玻璃管口径是， 故答案为：． 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（2025九年级·湖南·学业考试）《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为 寸．（注：1尺寸） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并证明是解题的关键． 先根据题意画出图形，再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图： ∵井口直径为5尺， ∴尺寸， ∵寸， ∴寸， ∵竖立一根5尺长的木杆在井口， ∴尺寸， ∵， ∴， ∴，即，解得寸． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，过点F作，交于G，交于H，根据相似三角形的判定可以得到； 根据相似三角形的对应边成比例，可以求出的长度，结合人的身高，可以得到电视塔的高度. 【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图， 由题意可知：， ∴， ∴，即， 解得：. 所以(米). 故答案为：. 16．（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 【答案】 【分析】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【详解】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 17．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是米，则到的距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出到的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到的距离点到的距离， ∴点到的距离， ∴到的距离为米， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 19．（2025·江苏扬州·三模）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 20．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是 米． 【答案】7 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 三、解答题 21．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两个路灯之间的距离25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，利用相似比可进行求解； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 即两个路灯之间的距离25米； （2）解：如图，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 22．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，光的反射定律，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由光的反射定律即可得到答案； （2）证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 23．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 24．大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 25．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 42 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、灯光下的测量问题 1 题型二、标杆测量问题 2 题型三、利用镜子进行测量 2 题型四、光学成像中的测量问题 3 题型五、古典文化中的测量问题 3 题型六、实物抽象出相似问题 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、灯光下的测量问题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．3.5米 B．4.5米 C．5 米 D．5.5 米 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 4．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 题型二、标杆测量问题 6．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高 m． 9．（25-26九年级上·重庆·开学考试）在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为 ． 10．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 题型三、利用镜子进行测量 11．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 12．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（　　） A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是 m． 14．（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m． 15．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 题型四、光学成像中的测量问题 16．（2024·广东东莞·模拟预测）如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 17．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 18．（2025·吉林松原·模拟预测）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 19．（2024·广东广州·一模）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点． (1)若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 题型五、古典文化中的测量问题 20．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 22．（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为 米． 题型六、实物抽象出相似问题 23．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 26．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计） 27．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 一、单选题 1．网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 3．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 7．小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，A、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：水平距离的长为；铅垂高度的长为；如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时点A沿方向移动的距离为（   ）   A．48 B．36 C．24 D．12 8．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·一模）小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．同一时刻，高为的小明的影长为，烟囱的影长为，则这座烟囱的高为 12．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 14．（2025九年级·湖南·学业考试）《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为 寸．（注：1尺寸） 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 16．（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 17．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是米，则到的距离是 米． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 19．（2025·江苏扬州·三模）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 20．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是 米． 三、解答题 21．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 22．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 23．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 24．大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 25．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $