专题02 相似三角形常考几何模型汇总（专项训练）数学湘教版九年级上册

专题02相似三角形常考几何模型汇总 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、子母型相似 2 题型四、旋转相似 3 题型五、K字型相似 3 题型六、折叠相似 4 题型七、动态相似 4 题型八、一线三等角型相似 5 题型九、手拉手相似 5 题型十、矩形中的三角形相似 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、A字型相似 1．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 2．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 3．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 ． 4．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．    （1）在图1中，求证：； （2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F， 求证：①； ②． 题型二、8字型相似 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 8．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为 ． 10．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 题型三、子母型相似 11．（2021·江苏南通·一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（2020·重庆沙坪坝·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 13．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ． 14．如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 15．（2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 题型四、旋转相似 16．（2020·广西贵港·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2020·四川眉山·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．（2020·安徽·模拟预测）已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为 ． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为 . 20．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 题型五、K字型相似 21．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 22．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 23．（2022·湖北襄阳·一模）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 24．（2021·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 25．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 题型六、折叠相似 26．（2025·福建·模拟预测）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·重庆·一模）如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 28．（2024·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，点E 在上，点 H 在上，将矩形 沿折叠，使点A 的对应点 F 落在的延长线上，交于点P，若，则折痕的长为 ． 29．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当最短时，的长为 ． 30．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 题型七、动态相似 31．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，矩形中，点是边上一动点（与点A、B不重合），连接，过点作交的延长线于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 33．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 34．如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则 ． 35．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 题型八、一线三等角型相似 36．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90º，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB的中点；③AD∙BC=BE∙DE；④CD=AD+BC．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 37．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 38．如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 39．（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 40．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 题型九、手拉手相似 41．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 43．（2025·江苏南京·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ． 44．如图，已知，则的度数为 ． 45．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 题型十、矩形中的三角形相似 46．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，在矩形中，点分别在边上，于点，与交于点，与交于点，则下列结论错误的是    A． B． C． D． 47．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 48．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，矩形中，，．P为的中点，点Q在边上，过点Q作于点E，连接，若，则 ． 49．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为 ． 50．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 一、单选题 1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（   ） A．    B．4      C．3      D．2 3．（20-21九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山西·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．8 5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 6．（2020·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（2020·广西·二模）如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 8．（2020·北京海淀·模拟预测）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 9．（2019·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长于点若则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D． 10．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 12．（2020·湖北武汉·一模）如图，是的角平分线，于点F，交于点D．，，，则    13．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 14．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．    15．（21-22九年级上·福建泉州·期中）如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ． 16．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ． 17．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 18．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是 ． 19．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= ． 20．如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结．若，．则 ． 三、解答题 21．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； 22．（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 23．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 24．（20-21九年级上·山东济南·期末）如图1，正方形和正方形，连接 (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是___________；位置关系是___________； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连结（点E在上方），若，且，，求线段的长． 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相似三角形常考几何模型汇总 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、子母型相似 2 题型四、旋转相似 3 题型五、K字型相似 3 题型六、折叠相似 4 题型七、动态相似 4 题型八、一线三等角型相似 5 题型九、手拉手相似 5 题型十、矩形中的三角形相似 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、A字型相似 1．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 2．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 3．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长． 【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M， ∵△ABC的BC边上的高是3， ∴AM=3， ∵四边形DEFG是正方形， ∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM， ∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM， ∴，． ∴． ∴GF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键． 4．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．    （1）在图1中，求证：； （2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F， 求证：①； ②． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，利用AAS定理证明； （2）①根据全等三角形的性质得到BM=NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论； ②根据①中得出PE+PF=BM，利用（1）中△BMC≌△CNB，得到MC=BN，证明△AMC∽△OMB，得到，从而得到AM•MB=OM•MC，可得OM•BN-AM•PF=AM•PE． 【详解】解：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC=∠CNB=90°， 在△BMC和△CNB中， ， ∴△BMC≌△CNB（AAS）； （2）∵△BMC≌△CNB， ∴BM=NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴， ∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴， ∴， ∴PE+PF=BM； ②同（2）的方法得到，PE+PF=BM， ∵△BMC≌△CNB， ∴MC=BN， ∵∠ANB=90°， ∴∠MAC+∠ABN=90°， ∵∠OMB=90°， ∴∠MOB+∠ABN=90°， ∴∠MAC=∠MOB，又∠AMC=∠OMB=90°， ∴△AMC∽△OMB， ∴， ∴AM•MB=OM•MC， ∴AM×（PE+PF）=OM•BN， ∴OM•BN-AM•PF=AM•PE． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型二、8字型相似 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【详解】解： ， ，， 故选：A． 7．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点F作FM⊥EG于M，根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=60°，AB=AC，CE=CD，利用线段的和差关系可得CF=4，根据角的和差关系可得∠BCE=∠ACD，利用SAS可证明△BCE≌△ACD，可得∠BEC=∠ADC，根据∠GFE=∠CFD即可证明△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，根据相似三角形的性质可得，可得，根据含30°角的直角三角形的性质可得MG=GF，设GF=2a，则EG=3a，MG=a，即可得出ME=2a，在Rt△EMF中，利用勾股定理列方程可求出a的值，进而可求出EG的长． 【详解】如图，过点F作FM⊥EG于M， ∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，CE=CD， ∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD， ∵CD=6，EF=2，CE=EF+CF， ∴CF=CE-EF=CD-EF=4， 在△BCE和△ACD中，， ∴△BCE≌△ACD， ∴∠BEC=∠ADC， ∵∠GFE=∠CFD， ∴△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°， ∴， ∴， 设GF=2a，则EG=3a， ∵FM⊥EG，∠EGF=60°， ∴∠GFM=30°， ∴MG=GF=a， ∴MF=a，ME=EG-MG=2a， ∴EF2=ME2+MF2，即4a2+3a2=4， 解得：a=，（负值舍去） ∴EG=3a=． 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 10．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 题型三、子母型相似 11．（2021·江苏南通·一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9， ∴AC＝＝＝12． ∵＝＝，＝＝， ∴＝． ∵∠C＝∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ＝∠B， ∴PQAB； 连接AD， ∵PQAB， ∴∠ADQ＝∠DAB． ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ． ∵PD＝PC＝3x，QC=4x ∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x. ∴DQ＝2x． ∵AQ＝12﹣4x， ∴12﹣4x＝2x，解得x＝2， ∴CP＝3x＝6． 故选C． 【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键． 12．（2020·重庆沙坪坝·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M． ∵∠FAE=∠CAB=90°，， ∴EF：AF：AE=5：4：3， ∵C′H∥AF， ∴△EAF∽△EHC′， ∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3， 设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k， 由翻折可知，∠AEN=∠TEN， ∵NA⊥EA，NT⊥ET， ∴∠NAE=∠NTE， ∵NE=NE， ∴△NEA≌△NET（AAS）， ∴AN=NT，EA=ET， 设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m， 在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2， ∴（4mx）2=x2+（2m）2， 解得：， ∵AC=AB=，∠CAB=90°， ∴BC=AC=， ∴CD=BD=， ∵DM⊥CM，∠DCM=45°， ∴CM=DM=， ∵AN∥DM， ∴， ∴， ∴EM=， ∴EC=， ∴， ∴CH=，C′H=， ∴CC′=， ∵DC=DC′=DB， ∴∠CC′B=90°， ∴BC′=， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 13．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】通过证 ，得到求出BF=2，，，进而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证CFD∽CAB，得到，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD ∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD ∴∠DBC=∠AED 如图，在BC上取点，使BF=AE 则在与中， ∴ ∴AE=BF=2，， ∴CF=BC-BF=8-2=6 ∵∠BAD=，∠DFC= ∴∠BAD=∠DFC 又∵∠C=∠C ∴CFD∽CAB ∴ ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠DFC ∴ ∵ ∴ ∴DF=FC=6，则AD=DF =6 ∴CA=6+CD 又∵CF=6，BC=8 ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系． 14．如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 【答案】5 【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案. 【详解】解：在CD上取点F，使， ，， 由， ， ，， 且， ， ， ∽， ， ， ， 又， ， ∽， ， 又， ， 或舍去， 经检验：符合题意， ． 故答案为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 15．（2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 题型四、旋转相似 16．（2020·广西贵港·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ADC＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BD， 由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D， ∴∠CDC′＝45°+45°＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD， ∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°， ∴AC′＝AQ＝AC， 由△AEC∽△BDQ得：＝， ∴＝＝＝＝． 故选：A． 【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键． 17．（2020·四川眉山·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 18．（2020·安徽·模拟预测）已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为 ． 【答案】或 【分析】根据得到点是的中点，再分两种情况讨论，①如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形；利用相似三角形的性质即可求出EF；②答案如图2．当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，得到，，同①即可求出EF． 【详解】解：∵， ∴点是的中点， 又∵点在正方形的对称轴上， ∴分以下两种情况讨论： ①如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，由折叠可知， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； ②如答案图2．当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则，， ∴，同理①可得， 综上所述，折痕的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为 . 【答案】 【分析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的长. 【详解】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M， ∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN， ∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°， ∴△ANG∽ADM， ∴， ∵， ∴DF=EG=2, ∴DN=NG=1， ∵AD=AB=3， ∴， 解得：DM=， ∴MC=，AM=， ∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠EDC， 在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴∠DAG=∠DCE， ∵∠AMD=∠CMH， ∴∠ADM=∠CHM=90°， ∴△ADM∽△CHM， ∴， 即， 解得：CH=. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长. 20．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析；当时，有最大值 (3)点运动到的中点 【分析】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，即可用证明即可得出结论； （2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，． 【详解】（1）解：， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， ∴ 当时，有最大值为； （3）解：当E点是的中点时，． 理由如下： ∵ E是中点， ∴ ， ∴ ． 又∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 题型五、K字型相似 21．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 22．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，，过点作于点，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 23．（2022·湖北襄阳·一模）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，同时平分和， ，， 在与中，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 24．（2021·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x，证明△BAF∽△ADE，推出，可得DE=，再证明AM=MD=6，在Rt△FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°， 由翻折的性质可知，AF=FG，BF⊥AG， ∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠ABF=∠DAE， ∵∠BAF=∠ADE=90°， ∴△BAF∽△ADE， ∴， ∴， ∴DE=， ∵GM⊥AD，GN⊥CD， ∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°， ∴四边形GMDN是矩形， ∴GM=DN=EN=， ∵GD=GE， ∴∠GDE=∠GED， ∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°， ∴∠GDA=∠GAD， ∴GA=GD=GE， ∵GM∥DE， ∴AM=MD=6， 在Rt△FGM中，则有， 解得或（舍弃）， ∴AF=． 如图2中，当DG=DE时， 由翻折的性质可知，BA=BG， ∴∠BAG=∠BGA， ∵DG=FE， ∴∠DGE=∠DEG， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DEG， ∴∠AGB=∠DGE， ∴B，G，D共线， ∵BD=，BG=BA=9， ∴DG=DE=6， ∵△BAF∽△ADE， ∴， ∴， ∴AF=， 综上所述，AF的值为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 25．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 题型六、折叠相似 26．（2025·福建·模拟预测）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，，可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求，由锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作，交于，交于， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ，，，， 在和中， ， ，， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 27．（2025·重庆·一模）如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，连接，先证明，得出，设，则，列方程求出，证明，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作交于，连接， 在正方形中，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 28．（2024·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，点E 在上，点 H 在上，将矩形 沿折叠，使点A 的对应点 F 落在的延长线上，交于点P，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 过点H作于点Q，则四边形是矩形，由纸片折叠，可证是等腰三角形，设，利用相似三角形的性质可用x表示相关线段，根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点H作于点Q，则四边形是矩形， 将矩形沿折叠，使得点A的对应点F落在的延长线上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得（舍去）， ， ， ， ． 故答案为：． 29．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当最短时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．先利用矩形的性质求得，，，再得出当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，然后根据折叠的性质可知，，，再利用三角形相似的判定可证，列出比例式，利用勾股定理求得，从而可求得，代入比例式，即可得解． 【详解】解：如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 当点在边上运动时，根据折叠的性质可知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点在矩形的对角线上时，最短， 此时，由折叠可得，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 30．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到两角相等，结合直角证明； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解x；利用相似三角形的性质求出的值，从而求得的长； （3）延长交于M点，连接，设，用y分别表示出与即可得出两者的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是矩形， ， ， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ， ， ， ; （2）四边形是矩形， P为的中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ; （3）．理由如下：如图2，延长交于M点，连接， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ， 为中点， 设， ， H为中点， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 题型七、动态相似 31．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，矩形中，点是边上一动点（与点A、B不重合），连接，过点作交的延长线于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，过点作，易得四边形是矩形，得到，证明，证明，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 32．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 33．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 34．如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则 ． 【答案】或 【分析】当∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似. 【详解】∵∠BAC=90°，PD∥AB， ∴∠PDA=90°， 又∵∠C=60°， ∴∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似， ∴∠APD=30°或60°. 【点睛】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似. 35．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：由（1）知， ， 将沿翻折得到， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， （经检验是原方程的根） ； （3）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型八、一线三等角型相似 36．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90º，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB的中点；③AD∙BC=BE∙DE；④CD=AD+BC．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】如图（见解析），过点E作，根据平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质逐个判断即可. 【详解】如图，过点E作 ，即 ED平分，EC平分 ，即 ，故①正确 又ED平分，EC平分， 点E是AB的中点，故②正确 在和中， 同理可证： ，故④正确 又 ，即 在中， ，故③错误 综上，正确的有①②④ 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造垂线和两组全等的三角形是解题关键. 37．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 38．如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线． 过点E作于点M，证明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 40．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 题型九、手拉手相似 41．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 42．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断； ③证明，得，即可； ④，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 但与不一定相等， ∴与不一定相似，故结论②错误； ③∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键． 43．（2025·江苏南京·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键． 先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，且旋转至矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 故答案为：． 44．如图，已知，则的度数为 ． 【答案】40° 【分析】由可判定△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，再根据，，可得出∠DAC的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：40°. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据判定出△ABC∽△ADE. 45．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 题型十、矩形中的三角形相似 46．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，在矩形中，点分别在边上，于点，与交于点，与交于点，则下列结论错误的是    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形四个角都是直角，又，利用等角的余角相等，逐个判别可以得出结论. 【详解】如图：    A. 在中， ∵四边形是矩形，且 ∴， ，且 ，A正确； B. 在中， ∵四边形是矩形，且 ∴，，则 ∵，，则 ，B正确； C. 在中 由前面知：，又，, 则, 又∵， ，C正确； D.在中 已经知道：，而AE并不是的角平分线， ∴, ,错误. 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，同角或等角的余角相等，相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题的关键. 47．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论正确； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，根据勾股定理求的长，计算的值，即可判断结论是否正确． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ， ②正确； 如图，过点D作，分别交，于点M，N， 则四边形平行四边形， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 48．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，矩形中，，．P为的中点，点Q在边上，过点Q作于点E，连接，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质及等腰三角形的性质，利用结合，证得，结合等腰三角形的三线合一得到是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：5 49．（2018·江苏连云港·中考真题）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为 ． 【答案】2 【详解】分析：连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得，推出，可得b=a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题； 详解：如图，连接BD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=， ∵CG=DG，CF=FB， ∴GF=BD=， ∵AG⊥FG， ∴∠AGF=90°， ∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°， ∴∠DAG=∠CGF， ∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b， ∴， ∴， ∴b2=2a2， ∵a＞0．b＞0， ∴b=a， 在Rt△GCF中，3a2=， ∴a=， ∴AB=2b=2． 故答案为2． 点睛：本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 50．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长度为 【分析】（1）由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证； （2）由矩形性质，结合题意得到相关线段长度，再由（1）中，列比例式，代值求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， 由（1）知， ，即， 则，整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的长度为． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 一、单选题 1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 2．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（   ） A．    B．4      C．3      D．2 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8 ∴∠BAG+∠DAE=90° ∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF， ∴BF垂直平分AG ∴∠ABF+∠BAG=90° ∴∠DAE=∠ABF， ∴△ABF∽△DAE ∴即 解之：AF=3． 故答案为：C． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 3．（20-21九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 4．（24-25九年级上·山西·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点， ∴CE=AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC， ∴△CEF∽△ADF， ∴ ∴ 解得DF=8， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】设AG交CE于点H，通过得出，即可得出EH的长，将阴影部分的面积分为和的和，分别求出两个菱形的高即可． 【详解】如图，设AG交CE于点H， ∵菱形ABCD的边AB∥CD， ∴， ∴CH：AB＝GC：GB， 即， 解得， 所以，EH＝CE﹣CH＝ ∵∠B＝120°， ∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°， ∴点B到CD的距离为， 点F到CE的距离为， ∴阴影部分的面积＝S△AEH+S△GEH ＝ 故选：D． 【点睛】本题考查菱形与相似三角形的性质，将阴影部分的面积拆分成两部分来解是解题的关键，属于中考常考题型． 6．（2020·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， 为的中点，为的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， 矩形是中心对称图形，过矩形的中心． 过点，且，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得，或4， 或4， 当时，，则， ， 四边形的周长； 同理，当时，四边形的周长； 故选：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形． 7．（2020·广西·二模）如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图，作于H，连接延长交于E，作于F，先证明，得到，，进而证得，得到，推出点G在射线上运动，从而可知当时，的值最小；然后通过角的运算和等角对等边得到，接着利用勾股定理和三角形面积求得，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即为定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 8．（2020·北京海淀·模拟预测）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a， ∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合， ∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE， ∴DH=a-x，EH=a-y， ∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°， ∴∠CHG=∠DEH， ∵∠D=∠C=90°， ∴△DEH∽△CHG， ∴，即：， ∴CG=，HG=， 在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2， ∴x2=2a(x-y)， ∴n=CH+HG+CG=x++==2a， ∴==2， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质及相似三角形的判定与性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用． 9．（2019·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长于点若则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得到△BCF≌△BPF，Rt△ABM≌Rt△BMP，在Rt△DMF中，MF2＝FD2＋DM2,列式求出AM，再根据相似三角形求出AQ，得到BQ的长，再根据勾股定理求出AE的长，代入即可求解． 【详解】如图，连接BM， 在正方形中，分别为的中点， ∵折叠， ∴△BCF≌△BPF ∴BC＝BP，∠CBF＝∠PBF,CF=PF=DF= ∴AB＝BP=且BM＝BM ∴Rt△ABM≌Rt△BMP ∵在Rt△DMF中，MF2＝FD2＋DM2． ∴（＋AM）2＝（）2+（−AM）2 ∴AM＝， ∴DM＝-=， ∵DF∥AQ ∴△DFM∽△AQM ∴ 即 解得AQ= ∴BQ=AQ+AB=+=1 ∵E点是AE的中点， ∴BE=, 则AE= ∴= ∴=1+= 故选D．    【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理及相似三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 10．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接DF，EN，通过SAS定理证明△MDF≌△FEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④． 【详解】解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形， ∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°， ∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故结论①正确； 连接DF，EN， ∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形， ∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°， ∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC， ∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC， ∴∠MDF=∠FEN， 在△MDF和△FEN中， ， ∴△MDF≌△FEN（SAS）， ∴∠DMF=∠EFN，故结论②正确； ∵EF∥AB，DF∥AC， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴∠DFE=∠BAC， 又∵△MDF≌△FEN， ∴∠DFM=∠ENF， ∴∠EFN+∠DFM =∠EFN+∠ENF =180°-∠FEN =180°-（∠FEC+∠NEC） =180°-（∠BAC+90°） =90°-∠BAC， ∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°， ∴MF⊥FN，故结论③正确； ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴， ∴， ∴S△CEF=S四边形ABFE，故结论④错误， ∴正确的结论为①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 二、填空题 11．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键．以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，从而推出，求出，，再证明，即可求出的长． 【详解】解：如图，以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形， ，，，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2020·湖北武汉·一模）如图，是的角平分线，于点F，交于点D．，，，则    【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质掌握以上知识点，以及正确作出辅助主，构造全等三角形和相似三角形是解此题的关键．证明，得出，过点A作交与点H，则，得出，，得出，再证明，得出，求出，，，由得出，，进而得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 过点A作交CE与点H，如图所示：    则， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．    【答案】7：8 【分析】设AD=2x，DB=3x，连接DE、DF，由折叠的性质及等边三角形的性质可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性质即可求得CE:CF的值． 【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x 连接DE、DF，如图所示    ∵△ABC是等边三角形 ∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60° 由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60° ∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120° ∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120° ∴∠ADE=∠DFB ∴△ADE∽△BFD ∴ 即CE：CF=7：8 故答案为：7：8 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键． 15．（21-22九年级上·福建泉州·期中）如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ． 【答案】 【分析】过点G作GR⊥BC于R，过点H作HN∥BC交BD于N，由正方形性质可证明：△ABE∽△FCB，由勾股定理可求BF，由翻折性质可得△HGC≌△BGC，进而可证明：△BHN∽△BED，可求得HN，再由△HNM∽△CBM，可求得，再由△CGR∽△CBF即可求得结论． 【详解】解：如图，过点作于，过点作交于 则， ∵ 正方形 ， ∽ 在中， ，即 ， 由翻折知：，，，≌ ∽ ，即 ∽ ， ， ， 是等腰直角三角形，设，则， ∽ ，即，解得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型． 16．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作交的延长线于．利用勾股定理求出，利用三角形重心的性质求出，再利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， ∵，， ∴， ∵，点D为边的中点， 点是的重心， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 18．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据 正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案. 【详解】解：四边形是正方形，， ，OA=OB=OC=OD， ∵, ∴， ， ， ，即 ，， ，， ，解得 故答案为：. 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键. 19．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= ． 【答案】． 【分析】如图，连接．首先求出、的长，证明，可得，即求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵点M是边AB的中点， ， 在中，， ， ， ∴， ， ∵点F为DM中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 即有． 故答案是：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 20．如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结．若，．则 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得∠BCM=∠BFM，BC=BF，再由FM∥CD，可得∠BFM=∠ABF，从而得△ABF∽△BCA，由相似三角形的性质求得AB，进而由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∠ABC=∠BAD=90°，AB∥CD， ， FM∥AB， ∠BFM=∠ABF， 由折叠的性质可得：∠BCM=∠BFM，BC=BF=4， ∠ABF=∠ACB， △ABF∽△BCA， ， ，即， ， ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理及折叠的性质，关键是证明三角形的相似，进而根据相似三角形的性质进行求解． 三、解答题 21．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． 22．（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 23．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 24．（20-21九年级上·山东济南·期末）如图1，正方形和正方形，连接 (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是___________；位置关系是___________； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连结（点E在上方），若，且，，求线段的长． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）证明，则；延长交于Q，交于H，由三角形全等可知，证明，即可得到结论； （2）证明，则，，则，再证明，即可得到； （3）与的交点记作M，先证明点B，E，F在同一条直线上，则，根据勾股定理得，；由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，延长交于Q，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图，延长交于I，交于H， ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，与的交点记作M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点B，E，F在同一条直线上，如图4， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 107 / 108 学科网（北京）股份有限公司 $