行程问题 专题五 环行问题（专题精析+基础提炼+巩固训练）-五年级奥数精编提优讲义（通用版）

专题五 环行问题 专题精析 两个物体在封闭的环形路上运动，如果同时同地相背而行，这是相遇问题；如果同时同地同向而行，这是追及问题. 在封闭的环形上背向而行，合走1个周长相遇一次，相遇时间=环形周长÷速度和. 同向而行，速度快的要比速度慢的多走1个周长，追上一次，追及时间=环形周长÷速度差. 学科网（北京）股份有限公司 基础提炼 例1 两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250 米，乙每分钟跑200 米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙.问：如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇? 解题指引 ●步骤一：甲追上乙，甲比乙多跑一圈.所以，环形道的周长是相遇路程. ●步骤二: (250-200)×45÷(250+200) =2250÷450 =5(分钟) 答：经过5分钟两人相遇. 例2 甲、乙两名运动员在周长为 400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙的前面100米.问：甲第二次追上乙时一共用了多少分钟? 解题指引 ●步骤一：甲的速度是乙的1.25 倍，甲与乙的速度差是(80×1.25-80)米/分钟. ●步骤二：第一次追及路程为400-100=300(米),第二次的追及路程是一圈,即400米. ●步骤三：甲第一次追上乙要用多少分钟? (400-100)÷(80×1.25-80)=15(分钟). 甲从出发到第二次追上乙要用多少分钟? 15+400÷(80×1.25-80)=35(分钟). 答：甲第二次追上乙一共用了35分钟. 技巧总结解答环形问题，先要熟练掌握“相遇”和“追及”的解题方法. 模仿训练 习题1 一环形跑道长400米，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑300米.问：两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇? 习题 2 甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走 125 米，乙的速度是甲的 2 倍.问：现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 巩固训练 习题1 甲、乙两人在400 米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟 300 米的速度从起点跑出 1分钟时，乙从起点同向跑出，从这时起甲用了5 分钟赶上乙.问：乙每分钟跑多少米? 习题2 如图,长方形ABCD中,AB=5厘米，BC=4厘米.位于A 点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A 的方向和位于C 点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行.问：如果两只蚂蚁第一次在 B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在哪条边上? 拓展训练 习题1 如图，已知等边三角形 ABC的周长为360米，甲从A 点出发，按逆时针方向前进，每分钟走 55 米.乙从 BC边上的D点(距C点30米)出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米.问：两人同时出发，几分钟相遇?当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C地多远? 习题2 甲、乙、丙三人在圆形跑道上以图中所示的地点与方向、以相等速度同时跑步，他们每人跑完一圈都用 14 分钟.规定当两人相遇时立即各自反向以原速跑步.开始时，甲、乙、丙分别在圆形跑道直径的两个端点处，那么，他们第一次全部都回到各自出发点需用多少分钟? (提示：用列表的方法推算) 参考答案 专题五 环行问题 模仿训练 习题1 400÷(300-250)=8(分钟). 习题 2 (1000-250)÷(125×2-125)=6(分钟). 巩固训练 习题1 (400-300)÷5=20(米/分钟),300-20=280(米/分钟). 习题2 (5+4)×2÷(5+4)×5=10(厘米),10-5-4=1(厘米),在 DA 边上. 拓展训练 习题1 相遇时间:(360÷3×2-30)÷(50+55)=2(分钟).乙从D 点到A 点用的时间:(360÷3×2-30)÷50=4.2(分钟);乙到A 点时甲走的路程:55×4.2=231(米).这时,甲离C点 360÷3×2-231=9(米),在BC边上. 习题2 设甲、乙的出发点为 A，丙的出发点为B，他们都用7分钟跑完半圈，那么由题意推理可得下表. 时间 A B 0分钟 7分钟 14分钟 21分钟 28分钟 35分钟 42分钟 甲、乙 乙 丙、乙 丙 甲、丙 甲 甲、乙 丙 甲、丙 甲 甲、乙 乙 丙、乙 丙 所以，他们第一次全部都回到各自出发点需42分钟. $