第3章 专题四、五 巧用分式方程的解求字母的值 分式方程及其应用-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

专题四巧用分式方程的解求字母的值（答案P14) 类型1》已知分式方程的解求字母的值 7.探究拓展阅读理解。 1 =3 (淄博中者)已知x=1是方程2”2x-2 下列-组方花：①x十23：@x+951 的解，那么实数m的值为() ③2十12=7；…，小明通过观察，发现了其中蕴 A.-2B.2 C.-4 D.4 含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解， 2,已知分式方程，11的解为=2，求 a 他的解题过程如下： 1一的值. 由0z+1X2-1+2,得x=1或x=2: a-1 a2-a 由②x十2X3=2+3,得x=2或x=3: 由③z+3X4-3十4，得x=3或x=4. (1)问题解决：请写出第四个方程，并按照小明 的解题思路求出方程的解。 (2)规律探究：若n为正整数，请写出第n个方 程及其方程的解。 类型2)已知分式方程的解的情况求字母的值 (3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程 3.关于工的分式方程0十2-3=0有解，则实 工十”十2m-1的一个解是x=10,求n 2-x x+2 数m应满足的条件是() 的值 A.m=-2 B.m≠-2 C.m=2 D.m≠2 4者分式方程红-4一-2江“的解为整数。 x-1 x+1 则整数a= 5已知关于x的分式方程气+-1的解 为负数，则k的取值范围是 6.若关于x的分式方程6=十3 飞无 x-1x(x-1)x 解，求k的值. △八年级·上册.数学.QD 59 专题五分式方程及其应用（答案P15) 类型1》营销问题 类型2》行程问题 1.某校用420元到商场去购买“84”消毒液，经过 4.中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营 还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了 时速最高的动车组列车，达到世界先进水平， 20瓶，求原价每瓶多少元.设原价每瓶x元， 安全、舒适、快速是它的显著优点.从A地到B 则可列出方程为( ) 地的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列 A.420420 xx-0.5=20B. 420 420 =20 车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟.已 x-0.5 知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速 C.420420 =0.5D.420_420 =0.5 度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速 xx-20 x-20 度为x千米/时，根据题意列方程正确的 2.抽象能力某校为了丰富学生的校园生活，准 是() 备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足 球的单价多20元.李老师购买篮球花费 A.353-353-1.4B.353-353-5 ”x-80x x-80x3 900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球 C.3533535 D.353353_5 数量是足球数量的1.5倍.设购买的足球数量 x x+803 xx-803 是x个，则下列选项中所列方程正确的 5.小东一家自驾去某地旅行，手机导航推荐了两 是( ) 条线路，线路一全程75km,线路二全程90km, A.900 400 汽车在线路二行驶的平均时速是在线路一行驶的 +20 1.5x 平均时速的1.8倍，线路二用时预计比线路一 B.400900 +20 用时少半小时.设汽车在线路一行驶的平均速 1.5x 度为xkm/h,下列方程正确的是( 900400 C.1.5x +20 A.75、90 1 x B.75 90,1 x1.8x2 -1.8z+2 400 D.1.5x 900 +20 75901 75901 3.新情境为培养学生的创新意识，提高学生的 C.1.8x 十2 D.1.8x-x2 动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型. 类型3》工程问题 已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型 6.教材P77练习T2变式甲、乙两人每小时一共 的单价高35元，用2000元购买航空模型的数 做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做 了90个零件时，乙做了120个零件.设甲每小 量是用1800元购买航海模型数量的专求航 时能做x个零件，根据题意可列方程为() 空模型和航海模型的单价. 90120 A. x35-x B.120、90 x35-x C.90.120 x35+x 12090 D.x-35+x 60 优+学案·课时通 7.模型观念为了美化环境，某地政府计划对辖 20个人工分拣同样数量的快件节省4小时.求 区内60km的土地进行绿化，为了尽快完成 人工每人每小时分拣多少件快件. 任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的 1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平 均每月的绿化面积， 甲同学所列的方程为60一，60 1.5z=2; 乙同学所列的方程为60-1,5×60 2 y+2 (1)甲同学所列方程中的x表示 乙同学所列方程中的y 表示 (2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这 个题目. 9.某县计划将某村的居民自来水管道进行改造. 该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内 完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数 是规定天数的3倍.如果由甲、乙队先合做 15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 10天.这项工程的规定时间是多少天？ 8.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重 要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进 智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是 人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过 测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比 △八年级·上册·数学.QDi 6117.解：(1)z=2或x=之 1 (2)方程x+ =c+公(m≠0)的解为x=c或x=公 x 检验：当工=c时，左边=c十”=右边，故工=c是方 的解； 当x=时，左边=+”=”十c=右边，故=”也 c m c c 方程的解： (3)原方程x十2 2 一a+a一可化为 x-1+2 -1=a-1+ 2 -1 所以x-1=a-1或x-1=2 -1 解得x=a或x=a+l a-1 经检验：=。或：=：是原方程的解 第2课时分式方程的增根 1.C 2.解：去分母，得4+x2一1=x2一2x十1， 解得x=-1. 检验：当x=一1时，(x一1)(x+1)=0, 所以，x=一1是方程的增根，原方程无解。 3.B4.1 5.解：方程两边都乘(x一2)(x+2),得x十2+k(x-2)=3. 因为原方程有增根，所以最简公分母(x一2)(x十2)=0. 以x=2或一2. 把x=2代入整式方程，得4=3，故矛盾，所以x≠2. 把x=一2代入整式方程，得=一3 4 所以，增根是x=一2，k=一3」 41 6.A7.C 8.解：去分母，得2(x+2)十mx=x-1, 整理，得(m十1)x=一5. (1)将x=1代人(m+1)x=一5， 解得m=一6. (2)因为方程无解， 当x=1时，m=6; 将x=-2代人(m+1)x=-5, 解得m-, 当m+1=0时，m=-1; 所以满足条件的m的值有2或一6或-1. 9解：1)当？”猪成5时，原分式方程为，52十3=2 方程两边同时乘(x一2)，得5十3(x-2)=一1， 解得x=0. 经检验，x=0是这个分式方程的解. (2)设“？”为m,原分式方程为”2+3=2是 方程两边同时乘(x一2)，得 m+3(x-2)=-1. 由于x=2是原分式方程的增根， 所以把x=2代人整式方程，得m十3×(2一2)=一1， 解得m=一1.所以，原分式方程中“？”代表的数是一1. 第3课时分式方程的应用 1.A2.D 3.解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车 平均每公里的加油费为(x+0.45)元， 根据题意，得300-300 工x+0.45X4, 3 解得x=20 经检验=易是原方程的解，且符合感意， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.15元， 4c5c6是 3 2 (1+25%)x=60 7.解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1十 25%)x=1.25x米， 根据题意，得300+15=300， 1.25x 解得x=40, 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意， 所以1.25x=50, 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米. 8.解：设边衬的宽度为x米，则装裱后的长为(2.4十2x)米，宽 为(1.4+2x)米， 由题意可角子4计经号 解得x=0.1, 经检验，x=0.1是原分式方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为0.1米 9.解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价 为1.4x元. 依题意，得8400_4000=10. 1.4x 解得x=200, 经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，所以1.4x=280. 答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为 280元. (2)设第二次购进A种茶叶m盒，则第二次购进B种茶叶 (100-m)盒.依题意，得(300-20)×2+(300X0.7-20)× 空+(40-20)×102"+(400×0.7-280)×1020- 2 5800, 解得m=40,所以100一m=60. 答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒. 专题四巧用分式方程的解求字母的值 1.B 2解：把2代人z并得0=3， a21 所以原式= a2-a a2-a (a+1)(a-1) a(a-1) a 当a=3时，原式=a十1-4 a 3 3.B4.±15.k>- 名且0 14 6x+3k 6.解：z-x(x-Dx】 去分母，得6x=x十3-k(x-1), 所以(5十k)x=3十k. 因为关于x的分式方程6 工+3一无解， Ex-1-x(x-1)x 所以分两种情况： 当5+k=0时，k=-5; 当x(x-1)=0时，x=0或1， 当x=0时，0=3+k, 所以k=一3， 当x=1时，5十k=3+k, 所以及不存在，故不符合题意. 综上所述：k的值为一3或一5. 7.解：()根据题意，则第四个方程为x+4X5=4十5，即x十 x 20一9： x 由c+4X5=4+5,解得x=4或x=5。 (2)第n个方程为x+nn+1D-2m十1， 解得x=n或x=n十1. (3)将原方程变形，(x+2)+nn+1》 x+2 =n+(n十1)， 所以x+2=n或x+2=n+1, 解得x=n一2或x=n一1. 当n-2=10时，n=12;当n-1=10时，n=11. 所以n的值是12或11. 专题五分式方程及其应用 1.B2.C 3.解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x 35)元， 根据题意，得290-器×台 x 解得x=125, 经检验，x=125是方程的解，且符合题意， 所以x一35=90， 所以航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元. 4.B5.B6.A 7.解：(1)原计划平均每月的绿化面积实际完成这项工程需要 的月数 (2)(答案不唯一，任选一种方法解答即可) 按甲同学的方法解答： 6060 x1.5z =2， 方程两边同乘1.5x,得90-60=3x, 解得x=10, 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意 答：原计划平均每月的绿化面积是10km2. 8.解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分 拣20x件. 根据题意，得60006000 =4, 20x5×20x 解得x=60, 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件. 9.解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得 (+动)×15+9-1 解得x=30. 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意. 答：这项工程的规定时间是30天 3.5分式与比 第1课时比 1.B2.C 3.(1)2x:3y(2)b:1 4.解：(1)原式=(x+y)：1. (2)原式=5m:2n. 5.C6.C7.1:21:48.3:29.C10.C 1山解：由题意，得小亮家每月储蓄款项占每月收入的3千2 2 2 亏，所以小亮家每月储蓄8500×行=3400（元）. 12.解：(1)在平面图上长方形花坛的长与宽的比是10：6 5：3. (2)设实际的长为xcm,宽为ycm.由题意，得10：x 1：50,解得x=500,500cm=5m.6:y=1:50,解得 y=300,300cm=3m.所以这个长方形花坛实际的长为 5m,宽为3m. 第2课时 比例与比例的基本性质 C3.C4.D5.C6.1 8解：因为宁-昌， 3y 所以x=2,2.x=3y, 所以2x-y=3y-y=2y4 x+3y3 9 9 2x+3y 2x 9.D10.D11.D12.313.4 14.解：由题意，得50x+40y=50×(1+10%)x+40×(1- 10%)y,即5x=4y,所以x：y=4：5. 第3课时成比例线段与连比 1.B2.D3.3:13 4.B5.B6.D 7.10cm 8.解：因为x:y=2：3, 所以x:y=8:12. 因为y:x=4：7, 所以y之=12：21， 所以x:y:之=8：12：21. 9.C10.C11.B 2.913.24cm214.10:15:21 15.解：(1)因为a：b：c=5:4:6, 所以设a=5k,b=4k,c=6k, 所以2十也2X5k十饮地-1 3×6k18k9 (2)由题意，得5k+4k十6k=90,所以k=6, 所以a=5k=30,b=4k=24,c=6k=36. 16.解：设+2-白=c十5=，则a=4-2,6=5k,c=6-5. 456 因为3a-b+2c=22, 所以3(4k一2)-5k十2(6k一5)=22，解得k=2, 所以a=8一2=6，b=10,c=7, 所以a:b:c=6:10：7. 17.解：因为a:b:c=3:4:5, 所以设a=3k,b=4k,c=5k. 15