1.1-1.2 定义与命题 证明-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

第1章推理与证明 111/ 大单元建构· /11/// 概念 定义 代数推理 基本事实 推理与证明 真命题 几何证明 命题 定理、推论 假命题 平行线的性 三角形的 直角三角形 质定理与判 内角和定 的性质定理 定定理 理及推论 与判定定理 7177777 本章核心素养。 /11111/1/ 学科核心素养 具体内容 价值 感悟数学抽象对于数学产 结合角、平行线等概念抽象出定义的概念，结合有关数学结论抽象出 生与发展的作用，感悟用 命题的概念，认识命题的结构及分类，借助推理论证真命题的方法抽 抽象能力 数学的眼光观察现实世界 象出证明的意义及步骤，借助基本事实抽象出定理的意义，进一步认 的意义，形成数学想象力， 识互逆命题、推论等概念 提高学习数学的兴趣 会证明有关的真命题；会证明平行线的性质定理和判定定理，能运用 推理能力有助于逐步养成 它们进行有关证明；用多种方法证明三角形的内角和定理，借助三角 重论据、合乎逻辑的思维 推理能力 形内角和定理及其推论推理角的关系；借助三角形的内角和定理证 习惯，形成实事求是的科 明直角三角形性质定理和判定定理，并能利用它们进行有关的推理 学态度与理性精神 证明 运算能力有助于形成规范 利用平行线的性质求有关角的大小；利用三角形内角和定理及其推 化思考问题的品质，养成 运算能力 论求有关角的大小；借助直角三角形的性质求角的大小 丝不苟、严谨求实的科 学态度 通过画图（包括作辅助线）或分析图形，探究形成解决问题的思路，借 几何直观有助于把握问题 几何直观 助图形进行逻辑推理 的本质，明晰思维的路径 △八年级·上册·数学.QDn 1.1定义与命题（答案P1) (1)同号两数的和一定不是负数. 通基础 MEKKKKKK14141111111114144 (2)若x=2,则1-5x=0. 知识点1定义 (3)延长线段AB至点C,使点B是AC的中点. 1.抽象能力下列语句属于定义的是( (4)互为倒数的两个数的积为1. A.两点之间，线段最短 B.直角都相等 C.连接三角形两边中点的线段叫作三角形的 中位线 通（能力wu D.两条直线相交，只有一个交点 7.几何直观如图所示，从①∠1=∠2；②∠C 知识点2命题 ∠D;③∠A=∠F三个条件中，选出两个作为 2.下列语句是命题的是() 已知条件，另一个作为结论组成命题，正确的 A.作直线AB的垂线 命题有( B.在线段AB上取点C A.0个 C.垂线段最短吗？ B.1个 D.同旁内角互补 C.2个 3.(青岛莱西期中)把命题“在同一平面内， D.3个 垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成 8.教材Ps习题1.1T3变式写出下列命题的条件 “如果…，那么…”的形式： 和结论，判断哪些是假命题，如果是假命题，请 举出一个反例 知识点3真命题与假命题 (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内 4.下列命题中：①对顶角相等；②邻补角互补； 角互补，那么这两条直线平行， ③同位角相等；④过一点有且只有一条直线垂 (2)如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3， 直于一条已知直线；⑤过一点有且只有一条直 (3)锐角小于它的余角. 线平行于已知直线.其中是真命题的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点(4)反例 5.(青岛期末)对于命题“如果a<2,那么a2< 4”,能说明它是假命题的反例是() A.a=-3 B.a=3 C.a=-1 D.a=1 ☆易错点对命题的结构理解不准确导致错误 6.下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？是 命题的，请将它改写成“如果…，那么…” 的形式 2 优+学案·课时通△ 1.2 证明（答案P1) 之通基础 M111111014 5.结论开放在你所学过的几何知识中，可以证 明两个角相等的定理有 知识点1基本事实、定理 (写出三个定理即可) 1.抽象能力下列说法正确的是( 6.推理能力如图所示，将三个正方形的一个顶 A.定理可以推导出基本事实 点重合放置，若OF平分∠DOB,求证：OE平 B.定理都是真命题 分∠AOC. C.定理和基本事实都不需要证明 D.基本事实不一定是真命题 知识点2证明 2.推理能力如图所示，线段AB=a,C是AB 上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，求 证：MN=2a. 1 A M C N 通素养 IIIIIIIuMIuIIIIIuu 7.如图所示，直线AB,CD相交于点O,EO⊥ ☆易错点基本事实和定理混淆 CD,垂足为O,OF平分∠BOD,OE与OF在 3.推理能力下列关于基本事实和定理的联系， 直线CD的同侧， 说法正确的是() (1)若∠AOC=50°，求∠EOF的度数. A.基本事实和定理都不一定是真命题 (2)若∠EOF=60°，求∠BOC的度数. B.基本事实就是定理，定理也是基本事实 (3)试猜想∠EOF与∠BOC之间的数量关系， C.基本事实和定理都可以作为推理论证的 并说明理由. 依据 D.基本事实和定理的正确性不需要证明 通能力 I11/11l111/1/11l1Il11/11/I/1/10 4.几何直观如图所示，要证 明命题“垂直于两条平行 6 线中一条直线的直线，也 一定垂直于另一条直线”，写出“已知”“求证”， 正确的是() A.已知：如图所示，l12,求证：l3⊥11，l3⊥L2 B.已知：如图所示，l1九2，l3⊥12，求证：l3⊥l1 C.已知：如图所示，l3⊥l1,l3⊥12，求证：l1九2 D.已知：如图所示，l3⊥11，求证：l12,l3⊥l2 △八年级·上册·数学.QD 3优学案 课时通 参 第1章 推理与证明 1.1定义与命题 1.C2.D 3.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两 条直线平行 4.B5.A 6.解：(1)是命题；如果同号两数相加，那么和一定不是负数. （2)是命题；如果x=2,那么1-5x=0. (3)不是命题. (4)是命题；如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1. 7.D 8.解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； 结论：这两条直线平行.真命题」 (2)条件：∠1=∠2，∠2=∠3； 结论：∠1=∠3.真命题. (3)条件：一个角是锐角； 结论：这个角小于它的余角.假命题 反例：∠A=50°，∠A的余角为40°，50>40°. 1.2证明 1.B 2.证明：因为M是AC的中点，N是BC的中点（已知）， 所以MC=2AC,CN=2BC(线段中点的定义). 所以N-MC+CN-名AC+号BC- 2(AC+BC) AB=4(等式的性质。 3.C4.B 5.对顶角相等；同角或等角的余角相等；两直线平行，同位角相 等（答案不唯一） 6.证明：因为∠COD=∠AOB(正方形的定义)， 所以∠COA=∠DOB(同角的余角相等). 同理可得∠EOA=∠FOB. 因为OF平分∠DOB(已知)， 所以∠DOF=∠POB=合∠DOB(角平分线的定义). 所以∠B0A-号∠DOB=名∠COA(等量代换). 所以OE平分∠AOC(角平分线的定义). 7.解：(1)因为∠AOC=50°， 所以∠BOD=∠AOC=50°， 因为OF平分∠BOD, 所以∠BOF=∠DOF=25° 因为EO⊥CD, 所以∠COE=90°， 所以∠BOE=180°-90°-50°=40°， 所以∠EOF=40°+25°=65°. (2)因为∠EOF=60°，∠COE=90°， 所以∠F0D=180°-60°-90°=30°， 所以∠BOD=2∠FOD=60°， 所以∠BOC=180°-60°=120°. (3)∠BOC=2∠EOF,理由如下： 设∠AOC=a,则∠BOD=a, 考答案 八年级·上册·数学·QD 由(1)，得∠BOE=90°-Q,∠BOF=g 2 所以∠B0C=180-a,∠B0F=号+90-a=90-号， a 所以∠B0C-2∠E0F=180°-a-(180°-a)=0, 所以∠BOC=2∠EOF. 1.3几何证明举例 第1课时平行线的性质定理和判定定理 1.D2.A3.C 4.证明：因为AC∥BD(已知)， 所以∠A=∠B(两直线平行，内错角相等). 因为∠A=∠AOC(已知)， 所以∠B=∠AOC(等量代换). 因为∠AOC=∠BOD(对顶角相等)， 所以∠B=∠BOD(等量代换). 5.C 6.已知平角的定义同角的补角相等角平分线的定义 ∠AGC AE∥GF内错角相等，两直线平行 7.解：(1)逆命题：如果a=0,b=0,那么a十b=0.是真命题， (2)逆命题：若两个角的和为180°，则这两个角互补.是真 命题. (3)逆命题：若a<b,则c2a<c2b.是假命题. 8.C9.C10.B11.②④⑤ 12.解：(1)证明：因为OA,OB分别平分∠COE和∠DOE, 所以∠A0C-?∠COE,∠2=2∠D0E. 因为∠COE+∠DOE=180°， 所以∠A0C+∠2=？∠C0E+2∠D0E=90. 1 因为∠1+∠2=90°， 所以∠AOC=∠1， 所以AB∥CD. (②)因为∠2：∠3=2：5，∠8=号∠D0E, 所以∠D0E:∠3=4：5. 因为∠DOE+∠3=180°， 5所以∠D0E-180×号-80，∠3-180×号-10， 所以∠COE=∠3=100°， 因为OA平分∠COE, 所以∠A0E=号∠COE=50, 所以∠AOF=180°-∠AOE=130° 13.解：(1)因为点G在直线CD上， 所以∠EGD+∠EGF+∠2=180° 又因为∠EGF=60°，∠2=70°， 所以∠EGD=180°-（∠EGF十∠2）=180°一(60°+ 70)=50°」 因为AB∥CD 所以∠1=∠EGD=50° (2)∠AEF与∠FGC之间的数量关系是∠AEF+∠FGC= 90°，理由如下： 在△EFG中，∠EFG=90°，∠EGF=60°， 所以∠GEF=180°-（∠EFG+∠EGF)=30°， 所以∠AEG=∠AEF+∠GEF=∠AEF+30°，∠CGE=