数学试题（北师大版）-【同步冲刺】2025-2026学年九年级上学期第一次月考自测试卷

旺 2025-2026学年度九年级第一次月考卷 数学 (本试卷满分120分，考试用时120分钟) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x-2=0 B.xy+1=0 C.x2-2x-3 D.x2-4x-1=0 2.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形 前 时，∠AEB= A.30° B.45° C.60° D.120° 0 第2题图 第6题图 第8题图 3.一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为 蚁 A.(x+3)2=4 B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x-3)2=14 4.若菱形的周长为100cm,有一条对角线为48cm,则菱形的面积 为 ( A.336cm2 B.480cm2 C.300cm2 D.168cm2 5.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则方 程的另一个根是 ( A.-3 B.3 C.2 D.-4 6.如图，在四边形ABCD中，AB=CD=8cm,点E,F,G,H分别是 童 AD,BD,BC,AC的中点，则四边形EFGH的周长是 A.14 cm B.15 cm C.16 cm D.17 cm 7.在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学 生共握手231次.若设参加此会的学生为x名，据题意可列方 程为 A5(x+1)=231 B.2x(x-1)=231 C.x(x-1)=231×2 D.x(x-1)=231 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4,对角线AC与BD相交于点O, AE⊥OB于点E,当点E为OB的中点时，AC的长为 北 A.23 B.4 C.43 D.8 9.已知一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰三角形 ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 ( 些 A.10 B.10或8 C.9 D.8 第1页（共6页） 10.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线A, AC,BD的交点，过点O作射线OM,ON分 别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°， OC,EF交于点G,连接AF,DE.给出下列结 D 论：①△AOF≌△DOE;②△OBE≌△OCF: ③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的4；④DF+ BE=EF2:⑤AF⊥DE.其中正确的为 A.①②④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①②③④⑤ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是 A0,AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则EF= cm. D 4 第11题图 第13题图 12.若关于x的一元二次方程(m-3)x2+5x+m2-3m=0的常数 项为0，则m的值为 13.如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角 各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已 知盒子的容积是480cm3,设矩形的宽为xcm,则可列方程为 14.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ABCD,若测得A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距离为 8cm,则点A到BC的距离为 cm. 第14题图 第15题图 15.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点 G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16.解方程：x2-5x+1=0. 第2页（共6页） 17.如图，菱形ABCD中，点M,N分别在边AD,AB上，DM=BN. 求证：BM=DN. DA 70 M 18.如图，已知矩形ABCD. (1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E,交AB 于点F;(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接AE,CF.求证：四边形AFCE是菱形 D B 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢 迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售 量持续增长，6日销量达到338个. (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率 (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠 活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销 量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩 偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 第3页（共6页） 20.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AD的 中点，点F,G在AB上，EF⊥AB,OG∥EF (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,动点D从 点A出发以4cm/s的速度向点C移动，同时动，点E从点C出 发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts. (1)根据题意知：CE= cm,CD= cm.(用 含t的代数式表示) (2)1为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的，？ (3)点D,E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求 出t的值；如果不可以，请说明理由 ↓ B E+C 第4页（共6页） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14 分，共27分 22.定义：已知x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的两个实数根，若x,<x,<0,且3<<4，则称这个方程为 “限根方程”.如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1= -10,=-3,因为-10<-3<0,3<-10<4，所以一元二次 -3 方程x2+13x+30=0为“限根方程”. 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程x2+14x+33=0“限根方程”： (填“是”或“不是”) (2)若关于x的一元二次方程x2+x+k+5=0是“限根方 程”，且两根x1,x2满足x+x-2x1x2-25=0,求k的值； (3)若关于x的一元二次方程x2+(2-m)x-2m=0是“限根 方程”，求m的取值范围. 第5页（共6页） 23.综合与实践 【问题情境】数学课上，老师出示这样一道题：如图，正方形 ABCD的边长为12，点E在CD上，DE=5,连接AE,以AE为边 作正方形AEFG. 【操作发现】 (1)如图1，连接BG,直接写出线段BG的长； 【操作探究】 (2)如图2，在AD边上截取AH=DE,连接BH,GH,判断四边形 ABHG的形状，并说明理由； 【拓展探究】 (3)如图3，把正方形AEFG绕，点A顺时针旋转，点E落在正方 形ABCD内部，连接DE,BG,作△ADE的边DE的中线AM, 发现BG⊥AM,BG=2AM,请证明 D 图1 图2 图3 些 第6页（共6页）2025-2026学年度九年级第一次月考卷答题卡 第1面 > 准考证号 条形码粘贴处 考场号 座位号 0]C0]C0]C0]C0 C0]C0 姓 名 注意粘贴范围 1 C1] 11 1] [1 1 [27 C2] [27 C2] C2] E2] ] [3] [3 C3] C3] C3] C3] 1答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上指定的栏目填写自己的 C4] C4] C4] C4] C4] 注意事项 准考证号、姓名、考场号和座位号，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏的相 [5] C5] C5] 5] 应位置填涂自己的考场号和座位号。 6] L6 6] C6] 2.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 缺考信息点由 C7] E7] C7] C7] C7] 7万 监考员填写 3.请注意题号顺序，不得擅自更改题号。 C8] 8J C8] C8] C9] L9] Γ9 C9] 请勿在 此 选择题答题区 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1.用2B铅笔填涂； 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2.修改时用塑料橡皮擦干净后， 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 重新填涂所选项； 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 3.填涂的正确方法是：■ 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 以下为非选择题答题区，必须用黑签字笔或钢笔在线框指定的区域作答，否则答案无效。 二、填空题 11. 12. 13 区域作答或者作任何标记 14. 15. 三、解答题（一） 16. 请勿在此区域作答或者作任何标记 第1面（共5面） 17. D MA 18. D B 四、解答题（二） 19. 第2面（共5面） 20. D B 请勿在此区域作答或者作任何标记 21. 第3面（共5面） 五、解答题（三） 22. 第4面（共5面） 011111111111111111011111111111111 据尽用智凶骨华如阁扣华出尾只 留 A2025-2026学年度九年级第一次月考卷参考答案 数学 一、选择题 20.(1)证明：“.四边形ABCD为菱形， 1.D2.C3.D4.A5.B6.C7.C8.D9.A10.D 点O为BD的中点 二、填空题 :点E为AD的中点， 11.2.512.013.4(2x-8)(x-8)=48014.4.8 OE为△ABD的中位线.∴0E∥FG,0E=2AB. 15.16 三、解答题（一） :OG∥EF,.四边形OEFG是平行四边形. 16.解：a=1,b=-5,c=1. :EF⊥AB,∴.∠EFG=90°.∴.四边形OEFG是矩形. 4=b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21>0, (2)解：.点E为AD的中点，AD=10, x5±，即5+5-，回 六服=了0=5 2 2 2 .∠EFA=90°，EF=4. 17.证明：四边形ABCD是菱形，.AD=AB. DM=BN,..AD -DM =AB BN..AM =AN. ∴.在Rt△AEF中，AF=√AE-EF=√5-4平=3. cAB=AD, :四边形ABCD为菱形，∴.AB=AD=1O. 在△ABM和△ADN中，∠A=∠A, 0E=74B=5 LAM=AN, .·四边形OEFG为矩形，.∴.FG=OE=5. .△ABM≌△ADN(SAS)..∴.BM=DN. .BG=AB-AF-FG=10-3-5=2. 18.(1)解：如图所示，直线E℉为所求. 21.解：(1)3t(8-4t) (2)当△CDE的面积等于四边形AED的面积的号 时，△CDE的面积等于△ABC的面积的子 依题意，得}×3(8-40)=方×8x6×子 (2)证明：如图，设EF与AC的交点为点O. 由(1)可知，直线EF是线段AC的垂直平分线. 解得41=2=1. .EA=EC,FA=FC,∠C0E=∠A0F=90°，OA=0C ..当t=1时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积 四边形ABCD是矩形， .CD∥AB..∠ECO=∠FA0. (3)不可以.理由如下： .△COE≌△AOF(ASA). 假设可以，则由勾股定理，得(3)2+(8-4)2=42. .EC FA..'EA EC=FA FC 整理，得252-64t+48=0. .四边形AFCE是菱形 4=(-64)2-4×25×48=-704<0, 四、解答题（二） .该方程没有实数根。 19.解：(1)设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均 .DE的长不可以是4cm 增长率为x 五、解答题（三） 由题意，得200(1+x)2=338. 22.解：(1)是提示：解x2+14x+33=0,得x1=-11, 解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不符合题意，舍去). 答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率 2=-3.:-11<-3<0,3<3<4,.一元二次方 为30%， 程x2+14x+33=0为“限根方程”。 (2)设每个玩偶降价y元 (2)根据根与系数的关系，得x1+x2=-k,x2=k+5. 由题意，得(50-y-30)(320+5y)=5940. x号+x号-2x1x2-25=0, 整理，得y2+44y-92=0. .(x1+62)2-4x2-25=0,即(-k)2-4(k+5)-25=0. 解得y1=2,2=-46(不符合题意，舍去). 解得1=9，k2=-5. 答：每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元. 当k=9时，方程化为x2+9x+14=0. 解得x1=-2,x2=-7. AG=EA -7<-2<0,3<-7 在△GAH和△AED中，{ ∠GAH=∠AED, .方程x2+9x+14=0是“限根方程”. .AH =ED 当k=-5时，方程化为x2-5x=0. .△GAH≌△AED(SAS). 解得x1=0,:2=5. .GH=AD,∠GHA=∠D=90°. :两根不满足x1<2<0, ·.AB=AD,..GH=AB. .方程x2-5x=0不是“限根方程”. ∠DAB=90°，.∠GHA=∠DAB. 综上所述，k的值为9. (3)解x2+(2-m)x-2m=0,得x1=m,x2=-2. ∴.GH∥AB..四边形ABHG是平行四边形 当m<-2<0时，有3<2<4解得-8<m<-6 (3)证明如下：如图2，延长AM到点N,使MW=AM,则 AN=2AM,连接NE. 当-2<m<0时，有3<是<4解得-子<m<-2 1 m 综上所述，m的取值范闲为-8<m<-6或-号< m<3 23.解：(1)线段BG的长为60T. 图2 :AM是△ADE的中线，.EM=DM. MN=MA. 在△MNE和△MAD中， ∠EMN=∠DMA. 图1 EM DM, 提示：如图1，过点G作GK⊥BA,交BA的延长线于点 .△MNE≌△MAD(SAS). K.∠GKA=90°.四边形ABCD是正方形，.∠D= .NE=AD,∠ENM=∠DAM. ∠DAB=90°，AB=AD=12..∠GKA=∠D,∠DAK= .AD∥EN..∠DAE+∠AEN=180. 90°.∠GAK+∠GAD=90°.：四边形AEFG是正方 ·.·∠GAE=∠DAB=90°， 形，∴.∠GAE=90°，AG=AE.∴∠EAD+∠GAD=90. .∴.∠DAE+∠GAB=180° .∠GAK=∠EAD..△GAK≌△EAD(AAS)..AK= AD=12,KG=DE=5..BK=AB+AK=12+12=24 .∠AEN=∠GAB. 在Rt△BGK中，由勾股定理，得BG=BK+KG= AD=BA,.'.NE BA. 24+5=601. AE=GA. (2)四边形ABHG是平行四边形.理由如下： 在△AEN和△GAB中 ∠AEN=∠GAB, :·四边形ABCD是正方形， NE =BA, .∠D=90°..∠AED+∠EAD=90° .△AEN≌△GAB(SAS), 四边形AEFG是正方形， .BG=AN=-2AM,∠NAE=∠BGA. .∠GAE=90°，AG=AE. .∠GAH+∠EAD=90°..∴.∠GAH=∠AED. :∠NAE+∠GAN=∠GAE=90°， .∴.∠BGA+∠GAN=90°，即BG⊥AM. —2—