培优02 相似三角形的判定与性质（5大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

培优02 相似三角形的判定与性质（5大题型） 题型1 用边边边判定三角形相似  当题目中已知或易证三组对应边成比例时，优先选用SSS判定。关键在于准确计算出三组边的比例是否相等。通常需先进行边长计算或利用已知比例关系，证明两个三角形的三组对应边之比为同一常数。此法无需角的条件，是较为直接的判定方法。 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等），逐一验证各选项的边长比例是否相等即可. 【详解】解：A答案：对应边的比相等，所以两三角形相似； B答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； C答案：对应边的比不都相等，所以两三角形不相似； D答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； 故选： A． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 4．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 【答案】与相似．理由见解析 【分析】利用表示三角形各边长度，再判断三角形的三边是否成比例. 【详解】解：与相似．理由如下： 设正方形的边长为． 是的中点，， ，，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 7．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则射线即为所求； （2）取格点，使得即可 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，则射线即为所求； 可证明四边形是正方形，则平分； （2）解：如图所示，即为所求； 可证明． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作平行四边形； (2)在图2中，作关于的对称图形； (3)在图3中，E是格点，在上画点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形； （2）取格点Q，连接，则，取格点P，连接，则，且共线， 取格点M，连接，则，根据平行线分线段成比例定理，得与的交点即为所求． （3）取格点T，连接，取格点N，连接，交于点F，得，故，即可得到结论． 本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形，画图如下： 则平行四边形即为所求． （2）解：取格点Q，连接， 则，取格点P，连接，则，且共线， 取格点M，连接，则， 根据平行线分线段成比例定理，得与的交点为， 连接, 则即为所求． （3）解：取格点T，连接，取格点N，连接，交于点F， 得， 故， 得， 则点F即为所求． 题型2 利用角角判定三角形相似 这是最常用且高效的判定方法。只需找到两对角对应相等，即可判定相似。解题时，优先寻找公共角、对顶角或平行线产生的同位角、内错角。若已知一组角相等，可尝试再找一组等角，这比证明边成比例更简便，应作为首选思路。 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 10．（22-23九年级上·全国·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，再根据题意得，，，，可得，，即可证得；即可求解． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点E， 使得．（保留作图痕迹， 不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤以及方法是解题的关键． 由是边上的高得到，然后作，则． 【详解】解：如图，点即为所求： 12．（20-21八年级下·辽宁盘锦·阶段练习） 如图，在等边三角形中，点E、D分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，推出，角的和差关系，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的判定方法证明，，进而推出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，于点，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定： （1）证明，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理， 综上所述，与相似的三角形有、、． 题型3 用边角边判定三角形相似  应用此判定定理需满足：两组对应边成比例，且这两边的夹角相等。核心在于确保角是两边的夹角。解题时，先证明夹角相等，再证明其两边对应成比例。顺序不限，但二者必须同时满足，要警惕“边边角”不能作为判定依据的情况。 17．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 18．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 19．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 20．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 21．（11-12八年级下·江苏·阶段练习）如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 22．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 23．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 24．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 25．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 26．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 27．（21-22九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上． (1)在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上； (2)在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上； (3)连接交于点，连出和，并证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定． （1）在的垂直平分线上根据菱形的判定找到点，，再画出图形即可； （2）根据正方形的判定画出图形即可； （3）根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； （2）解：如图，正方形即为所求； （3）证明：，，，， ， ， ． 题型4 添加或选择条件构造三角形相似  此类题考查对判定定理的逆用。需分析已有条件（如一组角或一组边对应相等），缺什么补什么。常见策略是添加平行线以构造“A”或“X”型基本模型，或补充另一个角相等（用AA），或证明另一组边成比例（用SAS或SSS），使条件完备。 28．（2025·河南焦作·二模）如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由相似三角形的判断方法，即可判断．关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项不符合题意； D、由可得，，，故该选项符合题意； 故选：D． 29．（11-12八年级下·江苏·阶段练习）如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 30．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 31．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 32．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 33．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 34．（11-12八年级下·江苏·阶段练习）如图，在中，D在上，要说明，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 或 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由题可得：， ∵， ∴根据两角对应相等，两三角形相似，需添加：或， 根据一角相等，两边对应成比例两三角形相似，需添加：， 故答案为：；；；． 35．（24-25九年级上·山东·开学考试）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 36．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 37．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 38．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 题型5 相似三角形的性质  相似三角形核心性质包括：对应角相等；对应边成比例（相似比）；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。应用时需明确相似比，准确找到对应边和高。求面积时最易出错，务必记住是相似比的平方，而非直接等于相似比。 39．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 40．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 41．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 42．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 43．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 44．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 45．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的面积计算.过E作，则既是的高，也是的高，所以面积比等于底的比，即，从而得出，由得出，相似比为，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果. 【详解】解：如图所示，过E作，则既是的高，也是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 46．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 47．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 48．（22-23九年级上·全国·期中）已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 49．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 50．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 51．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)，； (2)或或3或 【分析】本题为图形上动点问题，考查了相似三角形判定等知识，注意分类讨论是解题关键﹒ （1）根据题意即可用含t的代数式表示出，； （2）分点在上时，和点在上时，，两种情况讨论，每种情况分别讨论相似，即可求出t的值﹒ 【详解】（1）解：当点P在线段上时，，（用含t的代数式表示），当点P在上时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上时，， ①如图1， 当时， ∵， ∴， 此时， 解得：； ②如图2， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得：； 当点在上时，， ③如图3， 若时， ∵， ∴， 此时 解得：； ④如图4， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得﹒ 综上可知：或或3或． 52．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 53．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 54．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可得出的值； （3）分两种情况考虑，根据三角形相似可得对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ， ， ， 点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ； 故答案为：；； （2）由题意得：， 解得： (不合题意舍去)，， 当秒时，的长度等于； （3）在中，，， 又与以B、P、Q为顶点的三角形相似， 或， 即或， 解得：或， 故的值为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、列代数式、勾股定理、解一元二次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 培优综合练 55．（2025·江苏南京·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键． 先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，且旋转至矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 故答案为：． 56．（2024·广东·二模）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】对于①，连接，根据正方形的性质，证明，得到，再证明，即可得到结论； 对于②，证明，再根据相似三角形的性质推理即可； 对于③，先证明，得到，再证明，得到，即可证明结论； 对于④，过点E作于点N，于点M，先证明，再求出，即可逐步求得及的值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， 又 ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，故③正确； 过点E作于点N，于点M，连接， 则四边形是矩形， ， ，， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，且平分交于点F，交于点，连接．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过已知条件证明三角形相似，进而得到角的关系，再利用角平分线、等腰三角形等条件对各个结论进行逐一分析. 【详解】 即，故②正确． ①平分 . 又 ， .故①正确， ，故③正确． ④易证故④正确， 综上所述，正确的是①②③④．所以选C. 58．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据矩形的性质证明，在根据相似三角形的判定，即可证明结论； 对于②，根据，可证明，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； 对于③，先求出的长，再证明，即可求得的长； 对于④，作点G关于的对称点，连结，，证明，再求出的最小值，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 点M是的中点， ， ， ， ， 故②正确； 当时， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故③错误； 作点G关于的对称点，连结，， ， 由②知，， ， ， 当点F在上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，，， ， 的最小值为， 故④正确； 正确结论的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，将转化为求解是关键． 59．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由三角形外心的性质可得，即得，再证明，得到，，即得到，又由，根据相似三角形的判定即可求证； （）将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接，先证明四边形是平行四边形， 得到，再证明，得到，再根据三角形中位线的性质即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵，是边上的中点， ∴， ∵点与关于边对称， ∴，， ∴， ∵为外心， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 60．（25-26九年级上·全国·课后作业）黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． (1)①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______； ②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m． (2)如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． (3)如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点． 【答案】(1) ①；② (2) (3) 见解析 【分析】本题主要考查了黄金分割点、黄金三角形以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①根据黄金分割点的定义，可得； ②由①得，将代入求解即可． （2）根据黄金三角形的定义，将的角向对边作角平分线，将原三角形分割即可； （3）由题意可得，故；再根据可证进而可得，整理变形即可． 【详解】（1）解：①C是线段的黄金分割点， ． 故答案为： ②长为，C是线段的黄金分割点， ． 解得m． 故答案为：． （2）解：有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． 可以将的角向对边作角平分线，将原三角形分割 如图： （3）解：， ． 又为的平分线， ， ， 即． 又 ， 是的黄金分割点． 61．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质及相似三角形的判定，即可求得答案； （2）根据相似三角形的判定分别求出，，，再根据求解即可； （3）若时，直接列方程求解；若时，过点作于，证明，并列方程求解即可；若时，过点作于点G，证明，并列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 若要使和相似， 则， ， 解得， 当t为时，和相似； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即， ， 同理， ，， 即S关于之间的函数关系式为：； （3）解：①若时，则，解得：； ②若时，过点作于， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， ， 即， ； ③若时，过点作于点G， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， 即， 解得， 此时（舍去）； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论及添加辅助线是解题的关键． 62．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 63．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 64．（2021·山东青岛·二模）阅读下列材料，完成任务： 自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，交于点O，易知分割成的四个四边形均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．    (1)图1正方形分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ； (2)如图2，已知中，，，，小明发现也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作于点D，则将分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知，则与的相似比为 ； (3)现有一个矩形是自相似图形，其中长，宽． ①如图，若将矩形纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则____（用含b的式子表示）； ②如图若将矩形纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则 （用含n，b的式子表示）； (4)现有一个矩形是自相似图形，其中长，宽 ①如图，若将矩形先纵向分割出2个全等矩形（为长），再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形（为长），且分割得到的矩形与原矩形都相似，则 （用含b的式子表示）； ②如图，若将矩形先纵向分割出m个全等矩形（为长），再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形（为长），且分割得到的矩形与原矩形都相似，则 （用含m，n，b的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用数形结合思想是解答本题的关键． （1）根据相似比的定义求解即可； （2）由勾股定理求得，根据相似比等于可求得答案； （3）①由矩形相似于矩形，列出比例式整理可得； ②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为和，列出比例式整理即可； （4）①根据是矩形的长，结合相似多边形的性质列比例式求解； ②由题意可知纵向 2 块矩形全等，横向 3 块矩形也全等，所以，然后结合是矩形的长，根据相似多边形的性质列比例式求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点， ， ∵正方形正方形， ∴相似比为：， 故答案为：； （2）解：在 中，，根据勾股定理得，， ∴与相似的相似比为：， 故答案为：； （3）解：①∵矩形矩形， ， 即， ， 故答案为：；    ②每个小矩形都是全等的，则其边长为和， 同①，则， ， 故答案为：； （4）解：①如图2，    由题意可知纵向 2 块矩形全等，横向 3 块矩形也全等， ， 是矩形的长， 则矩形矩形， ， 即， 解得：， ， ， ∵矩形矩形， ， 即， 得：； 故答案为：； ②如图3，    由题意可知纵向块矩形全等，横向块矩形也全等， ， ∵是矩形的长， ∵矩形矩形， ， 即， 解得， ， ， ∵矩形矩形， ， 即， 得：； 故答案为：． 65．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 【定理应用】 (1)如图，点、、分别是三边中点，若的周长为，则的周长是_____； (2)如图，、是的中线，，点、分别是和的中点，若，那么的长为_____； (3)如图，在矩形中，将线段绕点旋转一定的角度，得到线段'，连结，点，分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为_____． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】点、、分别是三边中点，所以、、是的三条中位线，根据中位线定理即可求出的周长为； 连接，并延长交于点，根据勾股定理可以求出，点、分别是、的中点，是的中位线，所以可证，根据相似三角形的性质可证点是的中点，从而可证点是的中点，从而可证是的中位线，利用三角形中位线定理即可求出的长度； 根据三角形的中位线定理可证，所以当的面积最大时，的面积最大，在的旋转过种中当时，的面积最大，所以可求的最大面积是，所以的最大面积是． 【详解】（1）解：点、、分别是三边中点， 、、是的三条中位线， ，，， 的周长为， 的周长为， 的周长为， 故答案为：； （2）解：在中，，， ， 如下图所示，连接，并延长交于点， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 又点是的中点， ， ， 点是的中点， ， 点、、分别是、、的中点， ，， 点是的中点， ， ， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ； （3）解：点，分别是和的中点， ，， ， ， 当的面积最大时，的面积最大， 当时，的面积最大， 此时， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是解题的关键． 66．（22-23九年级上·陕西西安·期中）探究题： (1)问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ (2)初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由） (3)深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)正方形零件的边长为 (2) (3)．理由见解析 【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据三角形的性质得到比例式，解方程即可； （2），如图2已知条件得：，通过，得到，根据得到比例式，证得，即可得到，再由，得到，即可得到结论； （3）如图3，过点A作于，分别交、于点、，设每个正方形的边长为，根据，推出，即有，列方程即可得出结论 【详解】（1）解：如图，设与交于点， 设正方形零件的边长为，则，， ， ， ， ， ， 解得． 答：正方形零件的边长为； （2）解：，理由如下： 如图2，由已知条件得：， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （3）解：．理由如下： 如图3，过点A作于，分别交、于点、， 设每个正方形的边长为， ， ， ， ， 解得，， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键 试卷第80页，共80页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 相似三角形的判定与性质（5大题型） 题型1 用边边边判定三角形相似  当题目中已知或易证三组对应边成比例时，优先选用SSS判定。关键在于准确计算出三组边的比例是否相等。通常需先进行边长计算或利用已知比例关系，证明两个三角形的三组对应边之比为同一常数。此法无需角的条件，是较为直接的判定方法。 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 7．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作平行四边形； (2)在图2中，作关于的对称图形； (3)在图3中，E是格点，在上画点F，使． 题型2 利用角角判定三角形相似 这是最常用且高效的判定方法。只需找到两对角对应相等，即可判定相似。解题时，优先寻找公共角、对顶角或平行线产生的同位角、内错角。若已知一组角相等，可尝试再找一组等角，这比证明边成比例更简便，应作为首选思路。 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·全国·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点E， 使得．（保留作图痕迹， 不写作法） 12．（20-21八年级下·辽宁盘锦·阶段练习） 如图，在等边三角形中，点E、D分别在，上，且．求证：． 13．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 14．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    15．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，于点，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 题型3 用边角边判定三角形相似  应用此判定定理需满足：两组对应边成比例，且这两边的夹角相等。核心在于确保角是两边的夹角。解题时，先证明夹角相等，再证明其两边对应成比例。顺序不限，但二者必须同时满足，要警惕“边边角”不能作为判定依据的情况。 17．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 20．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 21．（11-12八年级下·江苏·阶段练习）如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 22．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，．求证：； 23．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 25．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 26．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 27．（21-22九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上． (1)在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上； (2)在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上； (3)连接交于点，连出和，并证明． 题型4 添加或选择条件构造三角形相似  此类题考查对判定定理的逆用。需分析已有条件（如一组角或一组边对应相等），缺什么补什么。常见策略是添加平行线以构造“A”或“X”型基本模型，或补充另一个角相等（用AA），或证明另一组边成比例（用SAS或SSS），使条件完备。 28．（2025·河南焦作·二模）如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 29．（11-12八年级下·江苏·阶段练习）如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 30．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 31．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 32．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 34．（11-12八年级下·江苏·阶段练习）如图，在中，D在上，要说明，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 或 ． 35．（24-25九年级上·山东·开学考试）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 36．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 37．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 38．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 题型5 相似三角形的性质  相似三角形核心性质包括：对应角相等；对应边成比例（相似比）；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。应用时需明确相似比，准确找到对应边和高。求面积时最易出错，务必记住是相似比的平方，而非直接等于相似比。 39．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 42．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 43．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 44．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 45．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，，，求的面积． 46．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 47．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 48．（22-23九年级上·全国·期中）已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 49．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 50．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 51．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 52．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 53．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 54．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 培优综合练 55．（2025·江苏南京·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ． 56．（2024·广东·二模）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，且平分交于点F，交于点，连接．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①③ 58．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有 ． 59．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 60．（25-26九年级上·全国·课后作业）黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． (1)①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______； ②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m． (2)如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． (3)如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点． 61．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 62．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 63．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 64．（2021·山东青岛·二模）阅读下列材料，完成任务： 自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，交于点O，易知分割成的四个四边形均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．    (1)图1正方形分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ； (2)如图2，已知中，，，，小明发现也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作于点D，则将分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知，则与的相似比为 ； (3)现有一个矩形是自相似图形，其中长，宽． ①如图，若将矩形纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则____（用含b的式子表示）； ②如图若将矩形纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则 （用含n，b的式子表示）； (4)现有一个矩形是自相似图形，其中长，宽 ①如图，若将矩形先纵向分割出2个全等矩形（为长），再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形（为长），且分割得到的矩形与原矩形都相似，则 （用含b的式子表示）； ②如图，若将矩形先纵向分割出m个全等矩形（为长），再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形（为长），且分割得到的矩形与原矩形都相似，则 （用含m，n，b的式子表示）． 65．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 【定理应用】 (1)如图，点、、分别是三边中点，若的周长为，则的周长是_____； (2)如图，、是的中线，，点、分别是和的中点，若，那么的长为_____； (3)如图，在矩形中，将线段绕点旋转一定的角度，得到线段'，连结，点，分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为_____． 66．（22-23九年级上·陕西西安·期中）探究题： (1)问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ (2)初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由） (3)深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由． 试卷第80页，共80页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $