精品解析：山东省青岛市青岛大学附属中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性检测 八年级数学 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．根据该定义即可得解． 【详解】解：选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，是勾股数，符合题意，选项正确； 选项，、不是正整数，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 若将，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如下图所示的墨迹覆盖的数有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键．直接利用夹逼法估算各个无理数的大小，再看是否在墨迹覆盖范围内即可． 【详解】解：由数轴可得，墨迹覆盖区域的范围为大于等于1且小于等于3， ∵， ∴，则，不在墨迹覆盖区域； ∵， ∴在墨迹覆盖区域； ∵， ∴，不在墨迹覆盖区域； ∵， ∴，不在墨迹覆盖区域； 将，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如下图所示的墨迹覆盖的数有1个， 故选：A． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 是64的一个平方根 C. 的算术平方根是4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键． 依据平方根的定义、算术平方根的定义逐一分析各选项，进行判断即得． 【详解】A. 的平方根是，而选项仅给出，遗漏负根，故错误． B. 64的平方根是±8，−8是其中一个平方根，正确． C. ，4的算术平方根是2，而非4，故错误． D. 表示算术平方根，结果为9，而非，故错误． 故选：B． 4. 如图，在中，，，，若两阴影部分都是正方形，、、在一条直线上，且它们的面积之比为，则较大的正方形的面积是（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a，先根据勾股定理求出BC，再选用勾股定理得，由正方形的面积公式可得，即可求得结果． 【详解】解：设两个正方形的面积分别为a和3a， ∵，，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 则较大的正方形的面积是27． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可． 【详解】解：A、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； B、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 6. 如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出的长，再比较即可． 【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C， ∴为直角三角形，且，， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为； ②将正面和上面展开，如图， ∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为． ∵， ∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为． 故选A． 7. 如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 8. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有（ ）款扫地机可以购买． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故选：C． 二、填空题 9. 以下实数属于无理数的是______（填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 【答案】②⑤⑨ 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，负整数指数幂，无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判定即可． 【详解】解：①是有理数，②是无理数，③是有理数，④是有理数，⑤是无理数，⑥是有理数，⑦是有理数，⑧是有理数，⑨是无理数 故答案为：②⑤⑨． 10. 的相反数是______；的倒数是______；的值为______． 【答案】 ①. ## ②. ③. ## 【解析】 【分析】本题主要考查相反数、倒数及二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握各个知识点是解题的关键．根据相反数、倒数的定义及二次根式的性质，分母有理化进行求解即可． 【详解】解：的相反数是；的倒数是；的值为 故答案为：，，． 11. 已知一个正数a的两个平方根分别为和，则的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∴， 的立方根是， 即的立方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根定义，本题属于基础题型． 12. 为了比较与+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得__+1．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到AD＝，AB＝＝，BD＝BC－CD＝1，BD+AD＝+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到＜+1． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AC＝1， ∴AD＝，AB＝＝，BD＝BC－CD＝1， ∴BD+AD＝+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴＜+1， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边． 13. 已知x是的整数部分，y是的小数部分，则的相反数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、整数部分与小数部分的定义及相反数的概念，解题的关键是通过“夹逼法”确定的取值范围，进而推导的范围，求出其整数部分和小数部分． 先利用“夹逼法”，根据确定的范围；再根据不等式性质变形，得到的取值范围，从而确定其整数部分；用减去整数部分，得到小数部分；计算的值后，根据相反数定义求出最终结果． 【详解】解：∵，即； ∴不等式两边同乘，得； 不等式两边同加，得，即； ∵是的整数部分， ∴； ∵是的小数部分，且“小数部分原数整数部分”， ∴； ； ∵相反数是“绝对值相等、符号相反的数”， ∴的相反数为， 故答案为：． 14. 把一个长为6cm、宽为4cm、高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，锻造后正方体铁块的边长为_____cm． 【答案】6 【解析】 【分析】设锻造后正方体铁块的边长为xcm，利用长方体的体积等于锻造后正方体的体积列方程，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设锻造后正方体铁块的边长为xcm， 根据题意，得，即， 解得：， 答：锻造后正方体铁块的边长为6cm． 故答案为：6． 【点睛】本题考查立方根的应用，熟知长方体和正方体的体积公式，正确列出方程并正确求解是解答的关键． 15. 如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 _____ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得的长，即可得到的长，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 【答案】或10． 【解析】 【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题 17. 化简下列各式 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，求一个数的立方根； （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行合并； （2）先算绝对值，根据，，然后进行加减运算； （3）先计算二次根式的除法，再计算减法； （4）先计算二次根式的乘除法，再计算加法，即可求解； （5）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用平方根、立方根的性质解方程，熟练掌握平方根、立方根的性质． （1）首先移项，然后利用平方根的定义即可求解； （2）首先移项，然后利用立方根的定义首先求出，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 解得：或； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， 解得：． 19. 某市开发商为减少投资金额，将原来面积的正方形场地改建成面积的长方形场地，且其长、宽的比为．如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏的长度是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】 解：设长方形长，宽, ∵， ∴，，（舍负）． 长方形周长 正方形边长，周长 ∵， ∴，，即长方形周长正方形周长． ∴原来的铁栅栏长度够用． 答：这些铁栅栏的长度够用． 【解析】 【分析】本题考查正方形与长方形的周长、面积计算及二次根式大小比较，解题的关键是将周长转化为同系数根式，用“被开方数大则根式值大”简化比较． 设长方形长、宽，由面积求，得长方形周长；求正方形周长并转化为，比较根式大小判断是否够用． 【详解】略 20. 在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． （1）解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； （2）计算：； （3）计算： ① ②已知：，，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有理化因式、分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握有理化因式的确定方法（利用平方差公式，使两式乘积不含根号）、分母有理化的运算步骤（分子分母同乘有理化因式）以及裂项相消法在二次根式求和中的应用． （1）确定的有理化因式，依据平方差公式，找与相乘后积不含根号的式子；对分母有理化，需分子分母同乘消去分母的根号． （2）先对分母有理化，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （3）①将每一项分式分母有理化后裂成“”的形式，中间项抵消后计算； ②先化简、，再用平方差公式简化计算，避免直接平方的复杂运算． 【小问1详解】 解：∵，积为不含根号的实数， ∴的一个有理化因式是； ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 ①解： ； ②解：， ； ∴ 21. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③，在中，，垂足为D，若，，求证：C是A，B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是A、B两个点的强勾股点时，直接写出的长为 ． 【答案】（1）4； （2）证明： ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点C是A，B两点的强勾股点； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义，解题关键是对新定义的理解． （1）根据 “勾股点”的定义结合勾股定理及其逆定理可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图②， G，H，T，R四点与A，B能构成四个直角三角形， 图中A，B两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：若点P是A，B两个顶点的强勾股点时，如图④， ∵，D是的中点， ∴， ∴． ，， ， 设， ， ， ， ； 的长为， 故答案为： 22. 如图，已知在中，，，于点D，点M在直线上，且在点B的左侧，，动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t（秒），回答下列问题： （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）在上取一点Q，使，连接，当与全等时，直接写出t的值______； （3）在点P运动的过程中，当是等腰三角形时，求出t的值． 【答案】（1） （2）2或10 （3）或4或或14． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． （1）利用三线合一定理求出的长，进而求出的长，根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，，点在点右侧，则，根据全等三角形对应边相等分别列出方程，解方程即可得到答案； （3）分三种情况讨论：，和，分别求得的长，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； ∵动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线运动， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，则， ∴， ∴， 解得； 当点P在点D右侧时，则时，， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，与全等； 【小问3详解】 解：当时，点与点重合，则， ∴； 当时， ①当在点的左侧时， ∴； ②当在点的右侧时， ∴； 当时，如图所示，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或4或或14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性检测 八年级数学 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 若将，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如下图所示的墨迹覆盖的数有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 是64的一个平方根 C. 的算术平方根是4 D. 4. 如图，在中，，，，若两阴影部分都是正方形，、、在一条直线上，且它们的面积之比为，则较大的正方形的面积是（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有（ ）款扫地机可以购买． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 9. 以下实数属于无理数的是______（填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 10. 的相反数是______；的倒数是______；的值为______． 11. 已知一个正数a的两个平方根分别为和，则的立方根是__________． 12. 为了比较与+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得__+1．（填“＞”或“＜”或“＝”） 13. 已知x是的整数部分，y是的小数部分，则的相反数为______． 14. 把一个长为6cm、宽为4cm、高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，锻造后正方体铁块的边长为_____cm． 15. 如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 _____ ． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 三、解答题 17. 化简下列各式 （1） （2） （3） （4） （5） 18. 解方程 （1） （2） 19. 某市开发商为减少投资金额，将原来面积的正方形场地改建成面积的长方形场地，且其长、宽的比为．如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏的长度是否够用？试利用所学知识说明理由． 20. 在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． （1）解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； （2）计算：； （3）计算： ① ②已知：，，求的值． 21. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③，在中，，垂足为D，若，，求证：C是A，B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是A、B两个点的强勾股点时，直接写出的长为 ． 22. 如图，已知在中，，，于点D，点M在直线上，且在点B的左侧，，动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t（秒），回答下列问题： （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）在上取一点Q，使，连接，当与全等时，直接写出t的值______； （3）在点P运动的过程中，当是等腰三角形时，求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $