精品解析：湖北省省直辖县级行政单位潜江市潜江市 2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年度上学期九年级十月联考 数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 7. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 或 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 二次函数图象的顶点坐标是________． 12. 若抛物线经过和两点，则_____． 13. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 14. 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 15. 点在二次函数的图象上，则的最小值是_______． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 解下列方程． （1）（配方法）； （2）（公式法）． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 18. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长． 20. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 21. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 23. 荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 24. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线的顶点，求出的面积； （3）如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期九年级十月联考 数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】根据题意，得， 所以一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与根的关系是解题的关键．当，一元二次方程有两个不相等的实数根；当，一元二次方程有两个相等的实数根；当，一元二次方程没有实数根． 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 7. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键． 8. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 9. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与y轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线， ∴． 又由图象，可得当时，， ∴，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴，故②错误． 由题意，令， ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误． ∵当时，y＝2， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴当时，． 又抛物线开口向下， ∴满足的x的取值范围为，故④正确． 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 二次函数图象的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，化为顶点式进行求解．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 若抛物线经过和两点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，再结合抛物线经过和两点，则对称轴是直线，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又抛物线经过和两点， 对称轴是直线． ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 【答案】10 【解析】 【分析】由题中的运动规则，分两种情况讨论：当点未到达点时；当点到达点时（点与点重合）；第一种情况，先表示出，的长，再由勾股定理列方程求解；第二种情况，由直角三角形斜边比直角边长判定即可． 【详解】解：动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 同时动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 由于动点到达终点的运动时间比动点到达终点的运动时间短，分两种情况讨论： 当点未到达点时，设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，由勾股定理可得，即， 则， ， 解得或（没有运动，舍去）； 当点到达点时（点与点重合），设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，是斜边、是直角边，则，与矛盾， 此情况不存在使两点相距的值； 综上所述，运动秒后两点相距． 14. 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 15. 点在二次函数的图象上，则的最小值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值．代入点，得到，化简并配方，根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：把代入二次函数中得， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：1． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 解下列方程． （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见详解 （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 18. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），且 （2）不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意可得，且，解不等式即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中，且判断即可得到答案． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且； 【小问2详解】 解：不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于的方程的两个不相等的实数根为，， 则， 方程的两个实数根的倒数之和等于0， ， 则， 解得， 由（1）知，，且， 不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 19. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长． 【答案】12米 【解析】 【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】解：设BC边的长为x米，根据题意得 解得： ∵20＞16， ∴不合题意，舍去 答：该矩形草坪BC边的长为12米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 20. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 21. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】（1）②④ （2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴． ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：抛物线可化为． ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是． ∴， ∴． 23. 荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）该爬虾的实际售价应定为45元． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数应用，审清题意正确列出方程和函数的表达式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案． 【小问1详解】 解：与的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意知，， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ∴， 答：该爬虾的实际售价应定为45元． 24. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线的顶点，求出的面积； （3）如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和代入可得，再解方程组可得答案； （2）如图，连接，记与轴的交点为，求解及的解析式，再求解的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：将点和代入可得： ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵， ∴， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，解得， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， 如图，关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度问题，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $