上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期初态考数学试卷

2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级上学期初态考数学试卷 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 设集合，则___________. 2. 已知角的两边和角的两边分别平行且，则________. 3. 已知，，则的取值范围是________． 4. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积___________． 5. 函数的部分图像如图所示，则___________． 6. 已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________. 7. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________． 9. 已知五个点，满足：，，则的最小值为______． 10. 已知是异面直线的公垂线段，，且与成角，在直线上取，在直线上取，则两点的距离是______. 11. 函数的值域为________. 12. 正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 15. 如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为 16. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间． 19. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 20. 已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，． 若，求的值； 若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列； 若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是． 21. 对于函数、、，如果存在实数、使得，那么称为、的生成函数. （1）若，，，则是否分别为、的生成函数？并说明理由； （2）设，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）设，取，，生成函数图象的最低点坐标为，若对于任意正实数、且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由. 2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级上学期初态考数学试卷 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】或. 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】； 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】4或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【20题答案】 【答案】（1）8；（2）证明见解析（3）证明见解析 【21题答案】 【答案】（1）是；理由见解析；（2）；（3）存在，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $