3.2.1：单调性与最大（小）值【九大考点+十四大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二、函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 知识点三：单调性的二级结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 知识点四　求函数最值的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 【例1】．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国·课后作业）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【分析】根据题意结合单调性的定义分析证明即可. 【详解】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 【跟踪训练2】．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型二、求函数的单调区间 【例2】．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段练习）求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，. (2) 【分析】（1）通过去绝对值，得到，画出函数图象即可求解； （2）通过去绝对值，，画出函数图象即可求解. 【详解】（1）因为， 画出函数图象如图所示， 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，. （2）， 函数的大致图象如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象. （2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得. （3）根据分段函数图象，求出函数的单调区间. 【详解】（1）如图所示： （2）； （3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和． 单调递增区间为：和. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【分析】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【详解】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 题型三：复合函数的单调性 【例3】．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为 ，减区间为 ． 【答案】 【分析】解不等式即可得出的定义域为；根据复合函数的单调性，只需在定义域内求函数的减区间即可． 【详解】函数有意义，，即，解得，所以函数定义域为 令，则，函数在定义域内单调递增，求解的单调减区间，即求函数在定义域内的单调减区间，函数图像抛物线开口向下，对称轴为x＝3，所以在定义域范围内，可得单调减区间为 ， 所以的减区间为． 故答案为：；． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·全国·单元测试）已知，则的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】利用复合函数单调性满足同增异减进行求解. 【详解】令， 故在上单调递增，在上单调递减， 令得或4，当时，， 当时，， 当时，且单调递增， 又在单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递增， 当时，，且单调递减，由复合函数单调性满足同增异减可知， 单调递增， 其他区间不满足要求. 故答案为：， 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 【例4】．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C 【跟踪训练2】．（24-25高二上·云南文山·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可. 【详解】由在上满足可得在上单调递减； 所以需满足，解得； 即实数的取值范围为. 故选：B 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 【例5】．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，. 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C 【分析】根据函数的图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由图知，的定义域为，值域为，AB错误； 显然在、上单调递减，但在定义域上不单调，C正确； 显然时，对应自变量不唯一，D错误． 故选：C． 命题点3 根据函数的单调性比较大小 【例6】．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 【跟踪训练1】．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再结合在区间上单调递增，即可求解. 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 【跟踪训练2】．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 命题点4 根据函数的单调性解不等式 【例7】．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 【跟踪训练2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 题型四、利用函数的单调性求最值 【例8】．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 【跟踪训练1】．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·期中）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求出解析式，根据自变量范围和单调性，求出的最大值. 【详解】设，则； 则， 因此， 所以函数在上单调递减，最大值为． 故选：C 题型五、根据函数的最值求参数问题 【例9】．（23-24高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法，结合函数单调性求值域. 【详解】由题意，，当时，函数单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为， 函数的值域为. 故选：A. 【跟踪训练1】．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 题型六：分段函数的最值问题 【例10】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 【跟踪训练2】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析. 题型七：分段函数的值域问题 【例11】．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意求的解析式，作函数图象，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 又，， 作出函数的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）记函数在上的最大值是，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】结合函数的图象求出，再由的图象可得答案. 【详解】函数的图象如下，    令，解得， 当时，， 当时，， 所以，其图象如下，    则的最小值为. 故选：A. 题型八：分段函数的单调性解不等式问题 【例12】．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【跟踪训练1】．（21-22高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合转化为不等式组可得. 【详解】如图： 根据函数图象，及可知：， 得或， 故选：D 题型九：函数不等式恒（能）成立问题 【例13】．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域 是的值域的子集， 由于是线性函数，其值域为区间，需要满足： 当时，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求得函数解析式，然后结合对勾函数的性质求得的取值范围（最大值和最小值），再结合不等式有解得参数范围. 【详解】由题意，得解得，，所以． 当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增 （破瓶颈：我们称形如的函数为对勾函数， 该函数的定义域为，在，上单调递减， 在，上单调递增）， 当时，；当或时，， 所以，则． 不等式，即，则在上有解， 所以且，即， 则实数m的取值范围为． 故选：A. 【跟踪训练2】．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 题型十：函数单调性和最值（抽象函数）问题 【例14】．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知 (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解； 【详解】（1）当时，在上单调递减，符合题意； 当时，的图象对称轴是，注意到， 而在上单调，则，解得； 当时，注意到对称轴，满足在上单调； 综上，. （2）①当时，在上单调递减，， ②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为， （ⅰ）当，即时，对称轴， 则在上递减，在上递增， ； （ⅱ）当，即时，在上递减， ； ③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧， 则在上单调递减，故； 综上所述，. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）设为实数，函数． (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数； (3)若，求的最值． 【答案】(1) (2)，. (3)的最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域. （2）两边平方得到，求出，得到函数解析式和定义域. （3）问题转化成为二次函数在给定区间上的最大值、最小值问题求解. 【详解】（1）由. 所以函数的定义域为. （2）因为，所以. 又因为，所以，由，又，所以. 所以，. （3）由（2）知，， 因为，所以二次函数开口向下，且对称轴为. 所以函数在上单调递减. 所以，. 所以的最大值为，最小值为. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为，，当时，. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）由题意知，令， 则，得； （2）函数在上单调递减； 当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上单调递减； （3）由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元后得到，结合函数单调性得到值域. 【详解】，令，则， 则函数变为， 在上单调递减， 其中，， 故值域为. 故选：D 2．（25-26高一上·北京·阶段练习）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据 “在上恒成立”求出的取值范围，再进行判断. 【详解】因为“在上恒成立”， 所以，恒成立. 根据对勾函数的单调性，在上单调递增，所以， 所以. 因为，但，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由在区间上单调递增，所以， 所以， 故选：D 4．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 5．（22-23高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为， 若在上是单调函数，则或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．（22-23高一上·四川广安·期中）已知函数，对任意，当时，，则a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【分析】根据单调性列不等式求解. 【详解】因为当时，，所以在上是增函数. 所以在上单调递增；在上单调递增， 且当时，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 二、多选题 8．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 9．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 10．（24-25高二下·辽宁大连·期末）下列函数最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式，函数单调性逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，当且仅当取等号，错误； 对B，在单调递增，所以最小值为，正确； 对C，由，当时，有最小值为，正确； 对D，由，当时，；当时，，错误. 故选：BC 11．（24-25高一上·四川巴中·期中）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将不等式转化为,求的最大值即可. 【详解】将不等式转化为, 令， 则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减， 即单调递增，所以最大值为，所以. 故选：ABC 12．（24-25高一上·广东江门·期中）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 13．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】由分段函数求值可解得确定A；根据已知分段函数单调性求参问题可判断BC；由值域为可得，根据二次函数最值问题，分和两种情况讨论即可. 【详解】对于A，由题意得，得，解得，故A正确； 对于B，若在上单调递增，则得， 所以不符合题意，故B错误； 对于C，若在上单调递减，则不等式组无解，故C错误； 对于D，若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增， 则，得，即； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得恒成立，即符合题意． 综上，的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 14．（25-26高一上·上海·期中）已知函数的定义域是，值域为则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一元二次函数的图象与性质，确定参数的取值范围. 【详解】设. 所以. 令，得，所以. 函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为如图所示，    由图可知，要使函数的定义域是，值域为 则的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域及函数的单调性化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在单调递增，， 所以，解得， 所以使得不等式成立的的取值集合为, 故答案为：. 16．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，若，使不等式成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】只需，求出，从而得到答案. 【详解】，使不等式，只需， ，当且仅当时，等号成立， 故，故实数m的取值范围是. 故答案为： 17．（25-26高一上·北京·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有 . ①                ②函数的最小值为 ③为R上的增函数    ④关于x的不等式的解集为 【答案】①③④ 【分析】根据给定条件，赋值推理判断①②；利用函数单调性定义推理判断③；将不等式等价转化，再利用单调性求解判断④. 【详解】对于①，令，则，而，解得，①正确； 对于②，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，②错误； 对于③，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，③正确； 对于④，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 20．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 21．（25-26高一上·浙江金华·阶段练习）已知函数． (1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)试求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）结合对称轴分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为在区间上是单调函数， 所以或， 所以或， 故实数的取值范围为或. （2）当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述，，. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 23．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二、函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 知识点三：单调性的二级结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 知识点四　求函数最值的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 【例1】．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国·课后作业）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【跟踪训练2】．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 题型二、求函数的单调区间 【例2】．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段练习）求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 题型三：复合函数的单调性 【例3】．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为 ，减区间为 ． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·全国·单元测试）已知，则的单调递增区间为 ． 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 【例4】．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·云南文山·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 【例5】．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【跟踪训练2】．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 命题点3 根据函数的单调性比较大小 【例6】．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 命题点4 根据函数的单调性解不等式 【例7】．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四、利用函数的单调性求最值 【例8】．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·期中）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五、根据函数的最值求参数问题 【例9】．（23-24高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练2】．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型六：分段函数的最值问题 【例10】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【跟踪训练1】．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：分段函数的值域问题 【例11】．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 【跟踪训练2】．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）记函数在上的最大值是，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 题型八：分段函数的单调性解不等式问题 【例12】．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（21-22高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型九：函数不等式恒（能）成立问题 【例13】．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十：函数单调性和最值（抽象函数）问题 【例14】．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知 (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）设为实数，函数． (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数； (3)若，求的最值． 【跟踪训练2】．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为，，当时，. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·阶段练习）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 5．（22-23高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·四川广安·期中）已知函数，对任意，当时，，则a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 9．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 10．（24-25高二下·辽宁大连·期末）下列函数最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川巴中·期中）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 12．（24-25高一上·广东江门·期中）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 13．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 三、填空题 14．（25-26高一上·上海·期中）已知函数的定义域是，值域为则的取值范围是 . 15．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 16．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，若，使不等式成立，则实数m的取值范围是 ． 17．（25-26高一上·北京·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有 . ①                ②函数的最小值为 ③为R上的增函数    ④关于x的不等式的解集为 四、解答题 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 20．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 21．（25-26高一上·浙江金华·阶段练习）已知函数． (1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)试求在区间上的最大值与最小值． 22．（25-26高一上·全国）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 23．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $