专题24.3 弧、弦、圆心角（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题24.3 弧、弦、圆心角 教学目标 1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。 2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的计算与证明过程中熟练的应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 圆心角的认识； （2） 弧、弦、圆心角的关系。 2. 难点 （1）弧、弦、圆心角的关系的应用； （2）求弧的度数； （3）弧的两倍关系与弦的两倍关系。 知识点01 圆心角的认识即范围 1. 圆心角的认识： 顶点在 的角叫做圆心角。 2. 圆心角的大小范围： 圆心角α的大小范围为 。 【即学即练1】 1．下面三个角，（　　）是该圆的圆心角． A． B． C． 知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系 1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 2. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1） 在 中，如果两条弧相等，那么他们所对 与 都相等。 （2） 在 中，如果两条弦相等，那么他们所对 与 都相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 3. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的 的度数。 【即学即练1】 2．如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 【即学即练2】 3．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．求证：AC＝BD． 【即学即练3】 4．已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：． 【即学即练4】 5．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【即学即练5】 6．如图，在⊙O中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（　　） A．AC＝2CD B．AC＜2CD C．AC＞2CD D．无法比较 题型01 圆心角的认识 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形所标记的角中是圆心角的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 弧、弦、圆心角的关系求或证明角 【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式1】如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．120° 【变式2】如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC＝40°，则所对的圆心角的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 【变式3】如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA． 题型03 弧、弦、圆心角的关系求或证明弦 【典例1】如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　 　 ． 【变式3】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD．求证：AC＝BD． 题型04 弧、弦、圆心角的关系求或证明弧 【典例1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：． 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？ 【变式2】AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：． 题型05 求弧的度数 【典例1】如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为　 　 °． 【变式1】如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 【变式2】如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则的度数为（　　） A．38° B．44° C．48° D．54° 【变式3】如图，⊙O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在弧BC上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，若点E为OC的中点，弧CD的度数为 　 　 ． 题型06 两倍弧与两倍弦 【典例1】如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB＝2CD，与之间的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式1】在⊙O中，如果2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（　　） A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定 【变式2】在⊙O中2，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD 【变式3】如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（　　） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 1．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 2．如图，在⊙O中，，∠AOB＝50°，则∠COD的度数为（　　） A．60° B．30° C．40° D．50° 3．如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 4．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 5．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠AOC＝50°，则∠BOD＝（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，连接AD．若⊙O的半径为5，则弦AD的长为（　　） A．5 B． C． D．10 7．如图所示，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 8．如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 9．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 10．如图，已知锐角∠AOB，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点G，H；（3）连接OG，GH．下列四个结论：①OG＝OD；②∠COG＝∠COD；③GH∥CD；④GH＝3CD．所有正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 11．如图，已知AB是⊙O的直径，，∠BOC＝42°，那么弧AE度数等于 　 　 ． 12．如图，⊙O的半径为2，弦AB，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 　 　 ． 13．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是　 　 ． 15．如图，在半径为4的⊙O中，∠AOD＝∠COD＝120°，点B为的中点，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则点O到AB的距离为　 　 ，线段EF＝　 　 ． 16．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． 17．如图，在⊙O中，，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．求证：OD＝OE． 18．如图为O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1． （1）证明：E为CD中点； （2）求OE的长度． 19．如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 20．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在⊙O中OC⊥AB垂足为C，OC1⊥A1B1垂足为C1，OC和OC1都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，O是∠BPD的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B，C，D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.3 弧、弦、圆心角 教学目标 1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。 2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的计算与证明过程中熟练的应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 圆心角的认识； （2） 弧、弦、圆心角的关系。 2. 难点 （1）弧、弦、圆心角的关系的应用； （2）求弧的度数； （3）弧的两倍关系与弦的两倍关系。 知识点01 圆心角的认识即范围 1. 圆心角的认识： 顶点在 圆心 的角叫做圆心角。 2. 圆心角的大小范围： 圆心角α的大小范围为 0°＜α＜360° 。 【即学即练1】 1．下面三个角，（　　）是该圆的圆心角． A． B． C． 【答案】C 【解答】解：根据圆心角的定义，圆心角的顶点必须在圆心上，选项A、B均不对，选项C是该圆的圆心角， 故选：C． 知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系 1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在 同圆和等圆 中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 也相等。 2. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1） 在 同圆或等圆 中，如果两条弧相等，那么他们所对 圆心角 与 弦 都相等。 （2） 在 同圆或等圆 中，如果两条弦相等，那么他们所对 圆心角 与 弧 都相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 3. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的 圆心角 的度数。 【即学即练1】 2．如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 【答案】D 【解答】解：∵， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠AOC＝∠BOD＝32°， ∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝64°． 故选：D． 【即学即练2】 3．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．求证：AC＝BD． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴． ∴BD＝AC． 【即学即练3】 4．已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴． 【即学即练4】 5．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【解答】解：如图所示，连接OC， 由条件可知∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝50°， ∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠COD＝10°， ∴的度数是10°； 故选：A． 【即学即练5】 6．如图，在⊙O中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（　　） A．AC＝2CD B．AC＜2CD C．AC＞2CD D．无法比较 【答案】B 【解答】解：如图，连接AB、BC， 在⊙O中，， ∴AB＝BC＝CD， 在△ABC中，AB+BC＞AC． ∴AC＜2CD． 故选：B． 题型01 圆心角的认识 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角； B、是圆心角； C、顶点没在圆心，不是圆心角； D、顶点没在圆心，不是圆心角； 故选：B． 【变式1】下列图形所标记的角中是圆心角的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：第1、2、4个图中所标记的角中是圆心角， 第3个图中角的顶点在圆上，不在圆心，不是圆心角． 故选：C． 题型02 弧、弦、圆心角的关系求或证明角 【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【变式1】如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40° ∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40° ∴∠AOE＝60°． 故选：B． 【变式2】如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC＝40°，则所对的圆心角的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 【答案】A 【解答】解：连接EO， ∵弦AE平行于直径CD， ∴∠AEO＝∠EOD，∠EAO＝∠AOC， 又∵OA＝OE，则∠AEO＝∠EAO， ∴∠A O C＝∠E O D， ∵∠AOC＝40° ∴∠AOC＝∠EOD＝40°． 故选：A． 【变式3】如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵ ∴AB＝AC，△ABC为等腰三角形 （相等的弧所对的弦相等） ∵∠ACB＝60° ∴△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA （相等的弦所对的圆心角相等） 题型03 弧、弦、圆心角的关系求或证明弦 【典例1】如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 故选：A． 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴，CE＝DE． ∵C是的中点，AF＝8， ∴， ∴CD＝AF＝8， ∴CE＝DE＝4， ∵OC＝5， ∴， ∵OA＝5， ∴AE＝OA﹣OE＝2， 故选：B． 【变式2】如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OC， ∵AC∥DE， ∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO， ∵∠A＝∠ACO， ∴∠1＝∠2． ∴CE＝BE＝3． 【变式3】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD． 求证：AC＝BD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD． 题型04 弧、弦、圆心角的关系求或证明弧 【典例1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：． 【答案】证明见解析过程． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：．理由如下： 连接OC，如图， ∵OD∥AC， ∴∠A＝∠BOD，∠C＝∠COD， ∵OC＝OA， ∴∠C＝∠A， ∴∠BOD＝∠COD， ∴． 【变式2】AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：． 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解． 【解答】（1）证明：过O作OM⊥AB于M， ∵OA＝OB，OE＝OF， ∴AM＝BM，EM＝FM， ∴AM﹣EM＝BM﹣FM， ∴AE＝BF； （2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF， ∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM， ∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 题型05 求弧的度数 【典例1】如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为　94　 °． 【答案】94． 【解答】解：如图，连接OC， ∵的度数为43°， ∴∠AOD＝43°， ∵OD∥BC， ∴∠ABC＝∠AOD＝43°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC＝43°， ∴∠BOC＝180°﹣43°﹣43°＝94°， ∴的度数为94°， 故答案为：94． 【变式1】如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为：30°． 【变式2】如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则的度数为（　　） A．38° B．44° C．48° D．54° 【答案】B 【解答】解：如图，连接OE， ∵∠BOD＝112°， ∴∠AOC＝112°，∠AOD＝180°﹣112°＝68°， ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠AOD＝68°， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC＝68°， ∴∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°， ∴的度数为44°． 故选：B． 【变式3】如图，⊙O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在弧BC上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，若点E为OC的中点，弧CD的度数为 　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：如图，连接OD，交EF于点G， ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴四边形OEDF是矩形， ∴EF＝OD， ∴OG＝GD＝GF＝EG， ∵点E为OC的中点，OC＝OD， ∴， ∴OE＝OG＝EG， ∴△DEG是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴弧CD的度数为60°， 故答案为：60°． 题型06 两倍弧与两倍弦 【典例1】如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB＝2CD，与之间的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解答】解：在⊙O上截取弦AE＝EF＝CD， ∴， ∴2， ∵AB＝2CD， ∴AB＝AE+EF， ∵AE+EF＞AF， ∴AB＞AF， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】在⊙O中，如果2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（　　） A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定 【答案】C 【解答】解：取的中点E，连接AE，BE， 则， ∵2， ∴， ∴CD＝AE＝BE， ∵AE+BE＞AB， ∴AB＜2CD． 故选：C． 【变式2】在⊙O中2，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD 【答案】C 【解答】解：AB＜2CD． 取的中点E，连接EA、EB，则， 所以EA＝EB＝CD， 在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB， 则AB＜2CD， ∴CD＜AB＜2CD， 故选：C． 【变式3】如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（　　） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【解答】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF； 由垂径定理知：AE＝BE，； ∴AE＝CDAB； 在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD； ∴，即2； 故选：A． 1．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 【答案】C 【解答】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误； 故选：C． 2．如图，在⊙O中，，∠AOB＝50°，则∠COD的度数为（　　） A．60° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴∠AOB＝∠COD， ∵∠AOB＝50°， ∴∠COD＝50°． 故选：D． 3．如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵70°， ∴∠AOD＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°， ∵点C是的中点， ∴， ∴∠DOC＝∠BOC∠DOB＝55°， 故选：B． 4．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【答案】D 【解答】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 故选：D． 5．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠AOC＝50°，则∠BOD＝（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：∵AC＝CD，∠AOC＝50°， ∴∠COD＝∠AOC＝50°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：C． 6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，连接AD．若⊙O的半径为5，则弦AD的长为（　　） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【解答】解：如图所示，连接OA，OD，BD，BC， 由条件可知∠BED＝90°，∠DBC＝∠BDA， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABD＝∠CDB＝45°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝90°， ∴， 故选：B． 7．如图所示，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， 由垂径定理得AM＝BM＝DN＝CN＝4， 勾股定理得：， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴． 故选：C． 8．如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：如图，连接OA， ∵OA＝OB，∠B＝50°， ∴∠B＝∠OAB＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣∠B﹣∠OAB＝80°， ∵2， ∴∠AOC＝2∠AOB＝160°， ∴∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠AOC＝120°， ∴∠BAC∠BOC＝60°， 故选：C． 9．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【答案】B 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵2，， ∴， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 10．如图，已知锐角∠AOB，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点G，H；（3）连接OG，GH．下列四个结论：①OG＝OD；②∠COG＝∠COD；③GH∥CD；④GH＝3CD．所有正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：连接GC，DH，OH， 由作图得，GC＝CD＝DH，OG＝OH＝OC＝OD，①正确； ∴， ∴CG＝CD＝DH，∠COG＝∠COD，②正确； 作半径OM⊥CD交于M，则， ∴， ∴OM⊥GH， ∴CD∥GH，③正确； ∵GC＝CD＝DH， ∴GH≠3CD，④不正确． 故选：C． 11．如图，已知AB是⊙O的直径，，∠BOC＝42°，那么弧AE度数等于 　54°　 ． 【答案】54°． 【解答】解：∵，∠BOC＝42°， ∴∠BOE＝3∠BOC＝126°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝54°． 故答案为：54°． 12．如图，⊙O的半径为2，弦AB，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵E为弧AB的中点， ∴OE⊥AB于F， ∵AB＝2， ∴AF＝BF， 在Rt△OAF中，OA＝2，， 故答案为：1． 13．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是　116°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC中∠BAC＝52°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3（180°﹣∠A）（180°﹣52°）＝64°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣64°＝116°． 故答案为：116°． 15．如图，在半径为4的⊙O中，∠AOD＝∠COD＝120°，点B为的中点，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则点O到AB的距离为　2　 ，线段EF＝　2　 ． 【答案】2，2． 【解答】解：连接OE、OF，过F点作FH⊥OE于H，如图， ∵∠AOD＝∠COD＝120°，点B为的中点， ∴∠AOB＝60°，∠BOD＝60°， ∴∠A＝∠ABO＝60°，∠ODC＝30°， ∵点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点， ∴OE⊥AB，OF⊥BD， ∴∠BOE＝30°，∠DOF＝60°， ∴∠EOF＝30°+60°+60°＝150°， ∴∠FOH＝30°， 在Rt△AOE中， ∵AEOA＝2， ∴OE2， 在Rt△ODF中，OFOD＝2， 在Rt△OFH中， ∵HFOF＝1， ∴OHHF， ∴EH＝OE+OH＝23， 在Rt△EFH中，EF． 故答案为：2，2． 16．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接OE， ∵CE∥AB， ∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E， ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠E， ∴∠DOB＝∠BOE， ∴． 17．如图，在⊙O中，，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．求证：OD＝OE． 【答案】见解答 【解答】证明：∵， ∴AB＝AC， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴ADAB，AEAC，∠ODA＝∠OEA＝90°， ∴AD＝AE， ∵AB⊥AC， ∴∠DAE＝90°， ∴四边形AEOD是矩形， ∵AD＝AE， ∴四边形AEOD是正方形， ∴OD＝OE． 18．如图为O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1． （1）证明：E为CD中点； （2）求OE的长度． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵且， ∴CB＝BD， ∵OC＝OD， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴CE＝DE， ∴E为CD中点． （2）∵2CB＝AB＝1， ∴CB，OBAB， ∴OB＝OC＝CB， ∴△BOC是等边三角形， ∵CD⊥AB， ∴CE是△BOC的中线， ∴OEOB． 19．如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 【答案】（1）；（2）100°． 【解答】解：（1）如图1，连接OB， ∵直径AC⊥弦BD， ∴， ∵， ∴， ∴AE＝BD＝4， ∴BG＝2． 设OG＝x， ∵AG＝1， ∴OA＝OB＝x+1． 在Rt△OBG中， OG2+BG2＝OB2， 即x2+22＝（x+1）2， 解得，即． （2）如图2，连接OB交AE于点H， 由（1）知AE＝BD， ∴OH＝OG． ∵AC⊥BD，OF＝OF， ∴Rt△OHF≌Rt△OGF， ∴∠GOF＝∠HOF＝20°， ∴∠AOH＝40°， ∴∠A＝50°， ∴∠COE＝2∠A＝100°． 20．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在⊙O中OC⊥AB垂足为C，OC1⊥A1B1垂足为C1，OC和OC1都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，O是∠BPD的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B，C，D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】（1）证明：如图1，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∵PO平分∠EPF， ∴OM＝ON， ∴AB＝CD； （2）还成立， 证明：如图2，当P在⊙O上时， 过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∵PO平分∠EPF， ∴OM＝ON， ∴AB＝CD； 当P在⊙O内时，如图3， 过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∵PO平分∠EPF， ∴OM＝ON， ∴AB＝CD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $