专题24.6 直线与圆的位置关系（1）（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题24.6 直线与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性质进行应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 直线与圆的位置关系； （2） 切线的判定； （3）切线的性质。 2. 难点 （1）切线的判定与性质的综合应用。 知识点01 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r直线与圆 ，有 个交点，直线叫圆的 。 （2）d r直线与圆相切，与圆只有 个交点，此时直线叫做圆的 ，交点叫做直线与圆的 。 （3）d＞r直线与圆 ，与圆 公共点。 【即学即练1】 1．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【即学即练2】 2．已知圆心A到直线m的距离为d，⊙A的半径为r，若d、r是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【即学即练3】 3．若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（　　） A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6 【即学即练4】 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线AB相离，则r的取值范围为（　　） A．0＜r＜4.4 B．0＜r≤4.4 C．0＜r＜4.8 D．0＜r≤4.8 知识点02 切线的判定 1. 切线的判定定理： 经过半径的 且与这条半径 的直线叫做圆的切线。 2. 切线的判定的方法： （1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。 证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。 ②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ③利用三角形的全等转换证明垂直。 ④利用平行线转换证明垂直。 （2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 【即学即练1】 5．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，过点C作CE⊥AD于点E，连接CD．判断EC与⊙O的位置关系，并证明． 【即学即练2】 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：∠AOD＝2∠BAD． （2）求证：DF是⊙O的切线． 知识点03 切线的性质 1. 切线的性质： （1） 圆的切线 经过 的半径。 （2） 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。 （3） 经过切点且垂直于切线的直线必经过 。 【即学即练1】 如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（　　） A．45° B．65° C．60° D．70° 【即学即练2】 8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的直径为4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【即学即练3】 9．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1】已知⊙O的半径为2，直线l上有一点M．若OM＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式2】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【变式3】如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 题型02 根据直线与圆的位置关系求值 【典例1】已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为　 　 ． 【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，a为半径画圆．若⊙C与斜边AB只有一个公共点，则a的取值范围是 　 　 ． 题型03 利用切线的性质进行计算 【典例1】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠BAC＝116°，那么∠P的度数为（　　） A．26° B．32° C．34° D．38° 【变式1】如图，AB，CD为⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为（　　） A．32° B．58° C．64° D．68° 【变式2】如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．4 C． D． 题型04 切线的判定与性质综合 【典例1】已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 【变式1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，交过点C的直线于点G，连接DA并延长，交直线CG于点N，且AN＝AG． （1）求证：GC是⊙O的切线； （2）若，求⊙O的半径和AM的长． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 1．如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 3．已知⊙O的半径是关于x的方程的增根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 4．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的交点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（　　） A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交 B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离 C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切 D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切 6．如图，AB，CD为⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为（　　） A．32° B．58° C．64° D．68° 7．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是⊙O的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A．AD＝CD B．OD∥BC C．∠A＝∠C D．OD＝DE 8．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，18．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（　　） A．（14+4π，18） B．（14+4π，16） C．（14+5π，18） D．（14+5π，16） 10．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线DE交AC的延长线于点E．有下面四个结论：①∠EDA＝∠ABD；②DE∥BC；③OD⊥BC；④OD＝DE．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 　 　 ． 12．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，连接OD．若∠BOD＝70°，则∠C的度数为　 　 ． 13．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB延长线上一动点，要使直线PC与⊙O相切，则BP的长等于 　 　 ． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10cm处．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 　3或7　 s后，⊙P与直线CD相切． 15．如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围． （1）⊙C与斜边AB有1个公共交点； （2）⊙C与斜边AB有2个公共交点； （3）⊙C与斜边AB没有公共交点． 17．如图，AB为⊙O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE． （1）求∠E的度数； （2）试判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由． 18．如图，AB是⊙O的直径，点D在BA的延长线上，DC与⊙O相切于点C，连接AC，BC，过点B作BE⊥DC于点E． （1）求证：∠ACD＝∠CBE； （2）若AD＝2，CD＝4，求⊙O半径的长． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长． 20．【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2． 化简得：m2+bm+c＝0．同理可得：　 ． 所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N． （3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（﹣b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.6 直线与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性质进行应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 直线与圆的位置关系； （2） 切线的判定； （3）切线的性质。 2. 难点 （1）切线的判定与性质的综合应用。 知识点01 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。 （2）d ＝ r直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，交点叫做直线与圆的 切点 。 （3）d＞r直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。 【即学即练1】 1．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是：相交， 故选：A． 【即学即练2】 2．已知圆心A到直线m的距离为d，⊙A的半径为r，若d、r是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【答案】D 【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0 ∴x1＝3，x2＝4， 当d＝3，r＝4时，直线和圆相交， 当d＝4，r＝3时，直线和圆相离． 故选：D． 【即学即练3】 3．若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（　　） A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6 【答案】A 【解答】解：∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径， 即0≤d＜6． 故选：A． 【即学即练4】 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线AB相离，则r的取值范围为（　　） A．0＜r＜4.4 B．0＜r≤4.4 C．0＜r＜4.8 D．0＜r≤4.8 【答案】C 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线AB相离， ∴r＜CD， ∵AC•BCAB•CD，即， 解得CD＝4.8， ∴0＜r＜4.8 故选：C． 知识点02 切线的判定 1. 切线的判定定理： 经过半径的 外端点 且与这条半径 垂直 的直线叫做圆的切线。 2. 切线的判定的方法： （1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。 证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。 ②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ③利用三角形的全等转换证明垂直。 ④利用平行线转换证明垂直。 （2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 【即学即练1】 5．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，过点C作CE⊥AD于点E，连接CD．判断EC与⊙O的位置关系，并证明． 【答案】见解答 【解答】解：EC与⊙O相切，理由如下： 连接OC， ∵点C是弧BD的中点， ∴， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CE⊥AD， ∴∠E＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∵OC为⊙O的半径， ∴EC与⊙O相切． 【即学即练2】 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：∠AOD＝2∠BAD． （2）求证：DF是⊙O的切线． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠ACD+∠BCD＝180°， ∴∠ACD＝∠BAD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠AOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ACD， ∴∠AOD＝2∠BAD； （2）∵∠BAD+DCB＝180°，∠DCF+∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCF， 由（1）可知∠ACD＝∠BAD， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵∠ACD＝∠ODC， ∴∠ODC＝∠DCF， ∴OD∥BF， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥OD， ∵OD为半径， ∴DF是⊙O的切线． 知识点03 切线的性质 1. 切线的性质： （1） 圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。 （2） 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。 （3） 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。 【即学即练1】 如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（　　） A．45° B．65° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：连接OD，如图， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝15°， ∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°， ∵CD是切线， ∴OD⊥CD， ∴∠CDO＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°． 故选：C． 【即学即练2】 8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的直径为4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：连接OB， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ODB＝30°， ∴OD＝2OB＝4， ∵BD2＝OD2﹣OB2， ∴， 故选：D． 【即学即练3】 9．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA， 在△OBP和△OAP中， ， ∴△OBP≌△OAP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，A是切点， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB是半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）连接OC ∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°， 设OA＝r， 则r2+42＝（r+2）2， 解得，r＝3， 则OA＝3，BC＝6， 设BP＝x，则 AP＝x， ∵PB是圆O的切线， ∴∠PBQ＝90°， ∴x2+（6+2）2＝（x+4）2， 解得，x＝6， ∴BP＝6， ∴BD＝3， ∴QD， 即QD的值是． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm， ∴5＜7， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故选：A． 【变式1】已知⊙O的半径为2，直线l上有一点M．若OM＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【变式2】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径等于3， ∵圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3， ∴直线l与⊙O相交， 故选：B． 【变式3】如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝30°，OP＝10cm， ∴PDOP＝5cm， ∴以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB相切． 故选：C． 题型02 根据直线与圆的位置关系求值 【典例1】已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：∵⊙O与直线l无公共点， ∴⊙O与直线l相离． ∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∵⊙O直径为10cm， ∴⊙O半径为5cm， ∴圆心O到直线l的距离大于5cm． 故选：A． 【变式1】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为　2或　 ． 【答案】2或． 【解答】解：以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，如图，作PA⊥x轴，连结OP， ∵点P的坐标为（1，2）， ∴OA＝1，PA＝2， 在直角三角形AOP中，由勾股定理得：OP， ∵以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴恰好有三个公共点， ∴⊙P过点O或者⊙P与x轴相切， ∴r或r＝2． 故答案为：2或． 【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，a为半径画圆．若⊙C与斜边AB只有一个公共点，则a的取值范围是 　a或3＜a≤4　 ． 【答案】a或3＜a≤4． 【解答】解：当圆与AB相切时，圆与斜边AB只有一个公共点， 过点C作CD⊥AB于点D， ∴⊙C的半径R＝CD， ∵∠BCA＝90°， ∴AB5， ∵AB•CDBC•AC， ∴5CD＝3×4， ∴CD ∴a 当A在圆内部，B在圆外或圆上时，圆与斜边只有一个公共点， ∴3＜a≤4， ∴R的取值范围是a或3＜a≤4． 故答案为：a或3＜a≤4． 题型03 利用切线的性质进行计算 【典例1】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠BAC＝116°，那么∠P的度数为（　　） A．26° B．32° C．34° D．38° 【答案】D 【解答】解：如图所示：连接OC、CD， ∵PC是⊙O的切线， ∴PC⊥OC， ∴∠OCP＝90°， 设∠P＝α， ∴∠DOC＝90°﹣α， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠DOC）（180°﹣90°+α）， ∴∠A＝180°﹣∠ODC＝180°（180°﹣90°+α）＝116°， ∴α＝38°， 故选：D． 【变式1】如图，AB，CD为⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为（　　） A．32° B．58° C．64° D．68° 【答案】B 【解答】解：连接DB， 由题可知AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°， ∵AB，CD为⊙O的直径， ∴∠CBD＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝32°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝58° 又∵∠ABD+∠A＝∠E+∠A， ∴∠E＝∠ABD＝58°， 故选：B． 【变式2】如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：作CH⊥PB于H， ∵直径AB⊥CD于H， ∴CE＝DECD， ∵PC，PB分别切⊙O于C，B， ∴PB＝PC＝CD＝2，直径AB⊥PB， ∴四边形ECHB是矩形， ∴BH＝CE，BE＝CH， ∴PH＝PB﹣BH＝2， ∴CH3， ∴BE＝CH＝3． 故选：C． 【变式3】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接OD、BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝BC， ∴AD＝CD， ∵AO＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥BC， ∵CD＝5，CE＝4， ∴DE， ∵S△BCDBD•CDBC•DE， ∴BDBC， 在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，即， 解得：， ∵AB＝BC， ∴AB， ∴⊙O的半径是， 故选：D． 题型04 切线的判定与性质综合 【典例1】已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴直线AD是⊙O的切线． （2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M， ∴AM＝EM， ∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°， ∴∠OAM＝30°， ∴OMOA10＝5， ∴AM5， ∴AE＝2AM＝2×510． 【变式1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，交过点C的直线于点G，连接DA并延长，交直线CG于点N，且AN＝AG． （1）求证：GC是⊙O的切线； （2）若，求⊙O的半径和AM的长． 【答案】（1）见解答 （2）⊙O的半径为，． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AED＝∠AEF＝∠AMC＝90°， ∵∠AFE＝∠CFM， ∴∠EAF＝∠FCM， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD＝∠BAF， ∵AN＝AG， ∴∠N＝∠G， ∴∠DAG＝∠BAD+∠BAF＝∠N+∠G， ∴∠BAD＝∠BAF＝∠N＝∠G， ∴AB∥GN， ∴CG⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴GC是⊙O的切线； （2）解：连接OA，AC， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（ASA）， ∴DE＝EF， 设OE＝x，则DE＝EF＝x+2， ∴AO＝OD＝2x+2， 在Rt△AOE中有：AO2＝AE2+OE2，即：， ∴（舍去）， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为， ∴， ∵AB⊥CD，AM⊥BC， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴． 【变式2】 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴ODAB＝3， ∴OE， ∴OE的长为． 1．如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【解答】解：由诗句“日头欲出未出时”可知，直线与圆相交， 故选：C． 2．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3， ∴直线l与⊙O相交． 故选：B． 3．已知⊙O的半径是关于x的方程的增根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程的增根x＝2， ∴⊙O的半径是2， ∵圆心O到直线l的距离d＝2， ∴直线l与⊙O的位置关系是相切， 故选：A． 4．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的交点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴⊙O的半径是3， ∵圆心O到直线l的距离d＝2，3＞2， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， ∴直线l与⊙O有2个交点， 故选：B． 5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（　　） A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交 B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离 C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切 D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切 【答案】C 【解答】 解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5， 由三角形面积公式得：3×45×CD， CD＝2.4， 即C到AB的距离等于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相切， 故选：C． 6．如图，AB，CD为⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为（　　） A．32° B．58° C．64° D．68° 【答案】B 【解答】解：连接DB， ∵BE与⊙O相切于点B，AB是直径， ∴AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°， ∵AB，CD为⊙O的直径， ∴∠CBD＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝32°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣32°＝58°， ∵∠ABD+∠A＝90°，∠E+∠A＝90°， ∴∠E＝∠ABD＝58°， 故选：B． 7．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是⊙O的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A．AD＝CD B．OD∥BC C．∠A＝∠C D．OD＝DE 【答案】D 【解答】解：A、∵AD＝CD，AO＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意； B、由A选项可知：DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意； C、∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠A＝∠C， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意； D、当OD＝DE时，不能证明DE是⊙O的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【答案】A 【解答】解：设平移的距离为m， ∵半径为2的⊙P的圆心P在x轴上，且与y轴相切， ∴圆心的坐标为（﹣2，0）或（2，0）， ∴﹣3+m＝﹣2 或﹣3+m＝2， 解得m＝1或m＝5， ∴平移的距离为1或5， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，18．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（　　） A．（14+4π，18） B．（14+4π，16） C．（14+5π，18） D．（14+5π，16） 【答案】C 【解答】解：如图1，设⊙P与x轴的交点为D，过点P作PC⊥y轴，交y轴于点C，连接PA，PD， ∵PD⊥x轴，PC⊥y轴，点P的坐标是（8，10）， ∴PC＝8，PD＝10， 即⊙P的半径为10， ∴PA＝PD＝10， ∴AC6， 延长CP与⊙P相交，此时交点到点C的距离为18，而点B的横坐标为18， 故交点为点B， ∴∠DPB＝90°， 如图2，当点B第一次落在x轴上时，⊙P滚动了90°， ∴点B滚动的距离为：， 点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，点B的对应点为B′，点P的对应点为P′， 此时A′C′＝AC＝6，P'C'＝PC＝8，点A′的纵坐标为P'C'+10＝18， 点A′的横坐标为PC+A'C'+5π＝14+5π， ∴点A′的坐标为（14+5π，18）， 故选：C． 10．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线DE交AC的延长线于点E．有下面四个结论：①∠EDA＝∠ABD；②DE∥BC；③OD⊥BC；④OD＝DE．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：连接BD，∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠DAE， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴∠DAE＝∠ODA， ∴OD∥AE， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∴OD⊥BC， 故③符合题意； ∵DE切圆于D， ∴OD⊥DE， ∴BC∥DE， 故②符合题意； ∵AC⊥BC，BC∥DE，OD⊥DE， ∴四边形DECM是矩形， ∴∠CED＝90°，DE＝MC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠DAE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠ABD， 故①符合题意； ∵OD⊥BC， ∴MC＝BM， ∵OB＞MB， ∴OD＞MB＝ED， 故④不符合题意． ∴其中正确结论的个数为3个． 故选：B． 11．已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 　r＝4.8或6＜r≤8　 ． 【答案】r＝4.8或6＜r≤8． 【解答】解：过C作CH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵△ABC的面积AB•CHAC•BC， ∴10×CH＝6×8， ∴CH＝4.8， 当⊙C与AB相切时，圆与线段AB只有一个交点， ∴r＝CD＝4.8； 当⊙C的半径大于AC长且小于或等于BC长时，圆与线段AB只有一个交点， ∴6＜r≤8， ∴r＝4.8或6＜r≤8． 故答案为：r＝4.8或6＜r≤8． 12．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，连接OD．若∠BOD＝70°，则∠C的度数为　55°　 ． 【答案】55°． 【解答】解：∵∠BOD＝70°， ∴∠BAD∠BOD70°＝35°， ∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠C＝90°﹣∠BAD＝55°， 故答案为：55°． 13．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB延长线上一动点，要使直线PC与⊙O相切，则BP的长等于 　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，AB＝5，∠A＝30°， ∴OA＝OC＝OBAB＝2.5， ∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠COP＝∠OCA+∠A＝60°， ∵PC与⊙O相切， ∴∠OCP＝90°， 在Rt△OCP中，∠OPC＝90°﹣∠COP＝30°， ∴OP＝2OC＝5， ∴BP＝OP﹣OB＝2.5． 故答案为：2.5． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10cm处．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 　3或7　 s后，⊙P与直线CD相切． 【答案】3或7． 【解答】解：当⊙P1在直线CD左侧时，过点P1作P1E⊥CD交CD于点E，如图， ∴P1E＝2cm，∠P1EO＝90°， ∵∠AOD＝30°， ∴P1O＝2P1E＝4cm， ∴PP1＝OP﹣OP1＝10﹣4＝6cm， 则⊙P向右移动了6cm，所用时间秒； 当⊙P2在直线CD右侧时，如图， 过点P2作P2F⊥CD交CD于点F，则P2F＝2cm，∠P2FO＝90°， ∵∠COB＝∠AOD＝30°， ∴P2O＝4cm， ∴PP2＝OP+OP2＝14cm， 则⊙P向右移动了14cm，所用时间秒． 故答案为：3或7． 15．如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　（1）或（3）　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 【答案】（1）或（3）． 【解答】解：过O作OH⊥AD于H，OE⊥CD于E交⊙O于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠DHO＝∠DEO＝90°， ∴四边形OHDE是矩形， ∴OE＝HD（厘米）， ∵将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切， ∴EF＝1厘米， ∴OF＝3厘米， 延长HO交BC于G，交⊙O于M， ∴OM＝OF＝OD＝3厘米， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴四边形ABGH是矩形， ∴HG＝AB＝4厘米， ∵OH， ∴OG＝4， ∴GM＝OM﹣OG＝3﹣（4）＝（1）厘米，HM＝HG+GM＝41＝（3）厘米， ∴将正方形ABCD沿射线AB方向平移（1）厘米时，BC边与⊙O相切，将正方形ABCD沿射线AB方向平移（3）厘米时，AD边与⊙O相切． 故答案为：（1）或（3）． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围． （1）⊙C与斜边AB有1个公共交点； （2）⊙C与斜边AB有2个公共交点； （3）⊙C与斜边AB没有公共交点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴CD2.4． 当圆与AB相切时，即r＝CD＝2.4； 当点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4． ∴3＜r≤4或r＝2.4； （2）∵BC＞AC， ∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC， ∴r的取值范围是2.4＜R≤3； （3）∵⊙C与斜边AB没有公共交点， ∴r＜CD或点B在⊙C的内部， ∴0＜r＜2.4或r＞4． 17．如图，AB为⊙O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE． （1）求∠E的度数； （2）试判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）∠E＝30°； （2）见解答 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，点D在圆上， ∴OA＝OD， ∵点C为OA的中点，CD⊥AB， ∴AD＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠OAD＝60°， ∵AD＝AE， ∴； （2）ED与⊙O的位置关系是相切；理由如下： 由（1）知∠ADE＝30°，∠ADO＝60°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是圆O的半径， ∴ED是⊙O的切线． 18．如图，AB是⊙O的直径，点D在BA的延长线上，DC与⊙O相切于点C，连接AC，BC，过点B作BE⊥DC于点E． （1）求证：∠ACD＝∠CBE； （2）若AD＝2，CD＝4，求⊙O半径的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解答】（1）证明：连接CO，如图所示． ∵DC与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， 又∵BE⊥DC， ∴BE∥OC， ∴∠CBE＝∠BCO． ∵∠BCO+∠ACO＝90°，∠ACD+∠ACO＝90°， ∴∠BCO＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠CBE． （2）解：设半径AO＝CO＝x， 则在Rt△DCO中，由勾股定理有： DC2+CO2＝DO2， 即x2+42＝（2+x）2，解得：x＝3． 故⊙O半径的长为3． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵∠DAB＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠BAC+∠CDE＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°， 即：BD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设BD与AC交于点F， 由（1）知：BD⊥DE， ∵DE∥AC， ∴BD⊥AC， ∴CB＝AB＝4，， 在Rt△BCD中，， ∵S△BCD， ∴， ∴． 20．【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2． 化简得：m2+bm+c＝0．同理可得：　n2+bn+c＝0　 ． 所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N． （3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（﹣b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 　x2+bx+ac＝0　 ． 【答案】（1）n2+bn+c＝0； （2）图象见解答； （3）⊙C与x轴相切； （4）x2+bx+ac＝0． 【解答】解：（1）AN2＝12+n2，BN2＝c2+（﹣b﹣n）2，AB2＝（1﹣c）2+b2， 在Rt△ABM中，AN2+BN2＝AB2， ∴12+n2+c2+（﹣b﹣n）2＝（1﹣c）2+b2， 化简得：n2+bn+c＝0， 故答案为：n2+bn+c＝0； （2）先在坐标系内找到A（0，1），B（3，﹣2），连接AB， 分别A，B为圆心，以大于AB为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P， 以P为圆心，以AB为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点． 如图所示： （3）由题意得：x2﹣6x+9＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0， ∴方程x2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根， ∴⊙C与x轴只有一个交点，即⊙C与x轴相切； （4）由题意得，以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是x2+bx+ac＝0． 故答案为：x2+bx+ac＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $