24.2.2　第2课时　切线的判定和性质 同步练 2024-2025学年 人教版数学九年级上册

第2课时　切线的判定和性质 知识点1　切线的判定 1如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆的一个公共点为C,且C是AB中点,则直线AB与小圆☉O的位置关系是 (B) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 2[教材再开发·P98例1变式]如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3 cm为半径作☉A,当AB=　6　cm时,BC与☉A相切.  知识点2　切线的性质 3如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于 (D) A.40° B.50° C.60° D.80° 4如图,☉O的半径为4 cm,BC是直径,若AB=10 cm,AC是☉O的切线,则AC=　6　cm.  5如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,CD切☉O于点D.若CD=12,CB=8,则☉O的半径长为多少. 解:如图,连接OD, ∵CD切☉O于点D, ∴∠ODC=90°, 设☉O的半径长为r, 则OD=r,OC=OB+BC=r+8, 在Rt△ODC中,OD2+CD2=OC2, ∴r2+122=(r+8)2, 解得r=5,即☉O的半径长为5. 知识点3　切线的判定与性质 6下列说法错误的有 (B) ①圆的切线垂直于半径; ②圆的切线垂直于过切点的半径; ③过半径端点的垂线是圆的切线; ④过直径端点的垂线是圆的切线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (2)延长ED交BA的延长线于点F.若∠F=30°,AB=8,则BE的长为多少? 解: (1)连接OD,如图, ∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠EBD, ∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD, ∴∠ODB=∠EBD,∴OD∥BE, ∵DE⊥BE,∴DE⊥OD, ∴DE是☉O的切线. (2)∵AB=8,∴OA=OB=OD=4, ∵OD⊥EF,∴∠ODF=90°, 在Rt△ODF中, ∵∠F=30°,∴OF=2OD=8, ∴BF=OF+OB=8+4=12, ∵BE⊥EF,∴∠E=90°,在Rt△EFB中, ∵∠F=30°,∴BE=BF=6. 8如图,P是☉O的直径CD的延长线上一点,∠P=30°,则当∠ACP=________时,直线PA是☉O的切线. (B)  A.20° B.30° C.15° D.25° 9如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 (B) A.40°或80°　 B.50°或110° C.50°或100° D.60°或120° 10如图,在△ABC中,AB=AC. 以AB为直径的☉O与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点P. (1)求证:直线PE是☉O的切线; (2)若☉O的半径为6,∠P=30°,求CE的长. 解:(1)连接OD, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵OB=OD, ∴∠ABC=∠ODB, ∴∠ACB=∠ODB, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,即PE⊥OD, ∵OD是☉O的半径,∴PE是☉O的切线; (2)连接AD,∵DE⊥AC,∴∠AEP=90°, ∵∠P=30°,∴∠PAE=60°,∵AB=AC, ∴△ABC是等边三角形,∴∠C=60°, ∵☉O的半径为6,∴BC=AB=12, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∴BD=CD=BC=6,在Rt△CDE中,CE=CD=3,即CE的长是3. 11 新趋势·推理能力、几何直观 小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫做弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数. 【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°,请帮助小高继续解决下面的问题. (1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C; (2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C; 【解决问题】 (3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系:________________.  解: (1)∵AC为直径,∴∠B=90°, ∵∠CAB+∠C+∠B=180°, ∴∠CAB+∠C=90°, ∵PA是☉O的切线,∴∠PAC=90°, ∴∠PAC=∠CAB+∠C, 即∠PAB+∠CAB=∠CAB+∠C, ∴∠PAB=∠C; (2)如图,过点A作直径AD交☉O于点D,连接BD, ∵四边形ACBD是☉O的内接四边形, ∴∠D+∠C=180°, 即∠C=180°-∠D, ∵PA是☉O的切线, ∴∠PAD=90°,∴∠PAB=∠PAD+∠DAB=90°+∠DAB, 即∠DAB=∠PAB-90°, ∵AD为直径,∴∠ABD=90°, ∵∠ABD+∠DAB+∠D=180°, ∴∠ABD+∠PAB-90°+∠D=180°, 即∠PAB=180°-∠D,∴∠PAB=∠C; (3)连接AE, 由弦切角定理知,∠DBC=∠BAE, ∵AB是直径,∴∠AEB=90°, ∵AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE, ∴∠BAC=2∠CBD. 答案:∠CAB=2∠CBD 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　切线的判定和性质 知识点1　切线的判定 1如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆的一个公共点为C,且C是AB中点,则直线AB与小圆☉O的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 2[教材再开发·P98例1变式]如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3 cm为半径作☉A,当AB= cm时,BC与☉A相切.  知识点2　切线的性质 3如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于 ( ) A.40° B.50° C.60° D.80° 4如图,☉O的半径为4 cm,BC是直径,若AB=10 cm,AC是☉O的切线,则AC= cm.  5如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,CD切☉O于点D.若CD=12,CB=8,则☉O的半径长为多少. 知识点3　切线的判定与性质 6下列说法错误的有 ( ) ①圆的切线垂直于半径; ②圆的切线垂直于过切点的半径; ③过半径端点的垂线是圆的切线; ④过直径端点的垂线是圆的切线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (2)延长ED交BA的延长线于点F.若∠F=30°,AB=8,则BE的长为多少? 8如图,P是☉O的直径CD的延长线上一点,∠P=30°,则当∠ACP=________时,直线PA是☉O的切线. ( )  A.20° B.30° C.15° D.25° 9如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 ( ) A.40°或80°　 B.50°或110° C.50°或100° D.60°或120° 10如图,在△ABC中,AB=AC. 以AB为直径的☉O与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点P. (1)求证:直线PE是☉O的切线; (2)若☉O的半径为6,∠P=30°,求CE的长. 11 新趋势·推理能力、几何直观 小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫做弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数. 【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°,请帮助小高继续解决下面的问题. (1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C; (2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C; 【解决问题】 (3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系:________________.  学科网（北京）股份有限公司 $$