4.2.1（1） 等差数列的概念与通项公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 能力提升 解析　∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0， 4.2.1 等差数列的概念与通项公式 3 1. 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.体会等差数列与一元一次函数的关系. 学习目标 情境导入 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征？你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 情境导入 问题1　 ①1682,1758,1834,1910,1986. 对于数列①：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 ②275,270,265,260,255,250，… ③10,10,10,10,10. 1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. (1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2) “从第2项起” (2)差必须是同一个常数（可以是正数、负数、零）； 一、等差数列的概念 例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…； ②9,6,3,0,-3,…； ③1,0,1,0,1,…； ④7,7,7,7,7,…； ①是，a1＝1，d＝2； ②是，a1＝9，d＝－3； ③不是，1-0=1,0-1=-1； ④是，a1＝7，d＝0； ⑤不是. 1.思考辨析，判断正误 (1)等差数列{an}的单调性与公差d有关.( ) (2)常数列是等差数列.( ) (3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) 提示　差都是同一个常数. (4)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.( ) 提示　{an}不一定是等差数列，忽略了第1项. √ √ × × 组成一个等差数列至少需要几项？ 问题2　如果在数列a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 提示　由定义可知A－a＝b－A，即2A＝a＋b，A＝ 二、等差中项 此时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b. a和b的等差中项的是它们的算术平均数. 例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解　因为－1，a，b，c,7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 又a是－1与3的等差中项， 又c是3与7的等差中项， 所以该数列为－1,1,3,5,7. 思维升华 问题3　如何推导等差数列的通项公式？ 设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知： an－an－1＝d(n≥2)， 三、等差数列的通项公式 追问　你能通过递推公式，推导出等差数列的通项公式？ 设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 故有a2-a1=d ，a3-a2=d，a4-a3=d，…… 于是a2＝a1＋d， a3＝a2＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝a1＋3d， … 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 问题3　如何推导等差数列的通项公式？ 首项为a1，公差为d的等差数列的通项公式为： an＝a1＋(n－1)d（n∈N*） 由an－an－1＝d有 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 追问　你能通过递推公式，推导出等差数列的通项公式？ 一共有n-1个等式，将它们进行累加，有 an－a1＝(n－1)d， 即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). n=1时，a1也符合上式. an＝a1＋(n－1)d（n∈N*） 3、等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d. 三、等差数列的通项公式 例3　你能写出这些等差数列的通项公式吗？ ①5,9,13,17,21，…； ②9,7,5,3，1，-1，…； ③7,7,7,7,7； 问题4　观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？ an＝a1＋(n－1)d an＝dn+a1-d 当d=0时， an ＝ a1是常值函数； 当d≠0时， an 是一次函数，x∈N*时的函数值. 追问 由一次函数得到的数列一定是等差数列吗？ 数列是公差不为0等差数列 数列{an}是关于n的一次函数 追问　可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ d＞0，数列{an}单调递增 d＜0，数列{an}单调递减 d=0，数列{an}为常数列 例4 在等差数列{an}中， (1)已知等差数列的通项公式an＝5-2n，求a1与d； (2)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (3)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 等差数列的任意条件 等差数列的任意问题 基本量法 跟踪训练4　在等差数列8,5,2,……的通项公式an和第20项并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？ (1)等差数列的首项与公差是等差数列的“基本量” ，由这两个基本量，可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项； (2)根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组，求得未知变量，是解决等差数列相关问题的常用方法. 思维升华 本课小结： 本节课我们学习了： 一、等差数列的有关概念： （1）等差数列及等差中项的定义 （2）等差数列的通项公式 　 （3）通项公式的应用 二、研究方法： 递推公式→通项公式→应用　　　　 递推公式、归纳和累加法 函数与方程 思维提升　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式. 解　法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1. 法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d， 故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1. 等差数列项的常见设法 如果三个数成等差数列，可根据项的对称性把这三个数设为a－d，a，a＋d； 如果四个数成等差数列，可根据项的对称性把这四个数设为a －3d，a－d，a＋d，a＋3d； 如果五个或五个以上的数成等差数列，可根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，把这些数设为a1，a1＋d，a1＋2d，…. 思维升华 又∵a1＝1，∴an＝a1＝. 1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq \o\al(2,n＋1)－naeq \o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________. 解析 把(n＋1)aeq \o\al(2,n＋1)－naeq \o\al(2,n)＋an＋1an＝0分解因式， 得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. ∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)，∴eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)， ∴＝. ∴eq \f(1,an)＝n＋1，∴当n≥2时，an＝eq \f(1,n＋1). ∵a1＝eq \f(1,2)也符合上式，∴an＝eq \f(1,n＋1)(n∈N*). 2.已知各项不为0的数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则an＝________. ∴－＝1. ∴当n≥2时，eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1))) ⑤1，，，，，…. 则b＝＝3， 所以a＝＝1. 所以c＝＝5. 若a，A，b成等差数列，则A＝； 反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列， 所以A是a，b的等差中项⇔A＝. 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＝21，,a1（a1＋d）（a1＋2d）＝231，)) 即 解得或 因为数列{an}为单调递增数列，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4.)) 于是可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝21，,（a－d）·a·（a＋d）＝231，)) 即 解得或 由于数列{an}为单调递增数列，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4.)) $$