第二十五章 锐角的三角比（单元测试）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第二十五章 锐角的三角比（单元测试） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一坡面的坡度，则坡角为（   ） A． B． C． D． 4．在中，、都是锐角，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为，那么这时飞机与目标A的距离为（    ）千米． A． B． C． D． 6．如图，在直角梯形中，是梯形的中位线，，，有下列4个结论：①，②，③四边形是菱形，④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 8．若，则锐角 9． ． 10．在锐角中，，那么 11．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 ． 12．如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 13．某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 14．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 15．如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 16．在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 17．我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形．例如：在四边形中，如果，，那么四边形是三等角四边形，如图在中，，如果点D为边的中点，点E在边上，四边形为三等角四边形，那么线段的长为 ． 18．如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则 ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．计算： 20．如图，在中，，，，求的值． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 23．如图，在中，点P是边上的一个动点，过点P作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若在边上存在点P，使四边形是正方形，且．求此时的大小． 24．如图，已知在等腰中，，，，垂足为，点是边上一点（不与，重合）． (1)当时，求线段的长； (2)如图2，延长交的延长线于点，当时，求的度数； (3)过点作，垂足为，交于点，连接，如果和相似，求线段的长． 25．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设， (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)若，求线段的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 锐角的三角比（单元测试） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 2．在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵所对的边分别为a、b、c， ∴，故A成立，不符合题意； ，故B不成立，符合题意； ，故C成立，不符合题意； ，故D成立，不符合题意； 故选B． 3．已知一坡面的坡度，则坡角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，由斜坡的坡比为可得，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角的度数. 【详解】解：∵斜坡的坡比为，坡角为， ∴， ∴. 故选：B． 4．在中，、都是锐角，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质可得∴，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴是等腰三角形， 故选：C． 5．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为，那么这时飞机与目标A的距离为（    ）千米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，画出图形，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意，为飞机离水平地面的高度，为飞机与目标A的距离，画图如下： 则：，，， 在中，； 故选A． 6．如图，在直角梯形中，是梯形的中位线，，，有下列4个结论：①，②，③四边形是菱形，④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先证明四边形为矩形，得到，进而求出的长，锐角三角函数求出的度数，勾股定理求出的长，中位线定理求出的长，进而判断出四边形的形状，利用相似三角形的判定方法，判断即可． 【详解】解：∵直角梯形中，是梯形的中位线，， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，，故①正确； 在中，， 由勾股定理，得：，故②正确； ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：因为锐角的正切值为，即， 所以锐角为度， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．若，则锐角 【答案】 【分析】本题考查三角函数求度数．根据题意利用三角函数特殊值即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9． ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，熟记特殊角的锐角三角函数值是解答此题的关键．将，代入式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式， ， 故答案为：． 10．在锐角中，，那么 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 ． 【答案】 【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴斜坡的坡度为， 故答案为：． 12．如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 【答案】80 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 13．某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，设运动员身体下降的高度为米，根据坡比得到运动员水平方向移动了米，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动员身体下降的高度为米， ∵坡比为， ∴运动员水平方向移动了米， 由勾股定理，得：，解得：（负值已舍去）； 故答案为：． 14．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 15．如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【答案】2 【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解． 小正方形面积是，则大正方形的面积是，则小正方形边长是，设，利用勾股定理求出，最后利用熟记函数即可解答． 【详解】解：设小正方形面积是，则大正方形的面积是， ∴小正方形边长是， ∵图中的四个直角三角形是全等的， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴的余切值， 故答案为：2． 16．在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，根据题意得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∵是的中线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 17．我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形．例如：在四边形中，如果，，那么四边形是三等角四边形，如图在中，，如果点D为边的中点，点E在边上，四边形为三等角四边形，那么线段的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作，过点作，过点作，锐角三角形函数，求出的长，进而求出的长，再根据锐角三角函数求出的长，进而求出的长，分两种情况，，分别进行求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，则：， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵四边形为三等角四边形， ①当时：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∴设，，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴，， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，掌握新定义，构造直角三角形和相似三角形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 18．如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则 ． 【答案】或 【分析】过点作于，解得，则，依题意有以下两种情况：当点在线段上时，则点在的延长线上，则，由翻折性质得，，，解得，则，设，，则，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，，由此可得 ；当点在的延长线上时，则点在线段上， 则，同理得，，，解得，则，设设，，则 ，， 同理证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则 ，，由此可得，综上所述即可得的值． 【详解】解：过点作于，如图所示， ∵， ∴，，即， 在中，， ∴， ∴， 依题意有以下两种情况： 当点在线段上时，则点在的延长线上，如图所示， ∵，， ∴， 由翻折的性质得：是的垂直平分线， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 由，得， 由，得， ∴ 解得：， ∴，， ∴， 当点在的延长线上时，则点在线段上，如图所示， ∵，， ∴， 同理：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， 同理证明：， ∴， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．计算： 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整指数幂，二次根式的混合运算，求解即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 20．如图，在中，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得. 则 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 22．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【详解】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 23．如图，在中，点P是边上的一个动点，过点P作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若在边上存在点P，使四边形是正方形，且．求此时的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边可得，同理可得，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，由题意可得为直角三角形，且，设，则，，由勾股定理可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； （2）解：∵边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24．如图，已知在等腰中，，，，垂足为，点是边上一点（不与，重合）． (1)当时，求线段的长； (2)如图2，延长交的延长线于点，当时，求的度数； (3)过点作，垂足为，交于点，连接，如果和相似，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）如图作交于点，设，根据正切可求出，再根据勾股定理解出x即可，再利用等面积法建立等式求解． （2）当时，则，不妨设，推出即可求解； （3）根据题意可证明，所以分两种情况讨论①当时，如图，作交于点P，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函数即可求出的长②当时，如图，作交于点O，同理设，解出x的值，最后再利用正切函数即可求出的长． 【详解】（1）解：如图作交于点，设， 在等腰中，，，，垂足为， ， ， 即， ， 由，， ， 解得：（舍去）， 则， ， ； （2）解：延长交的延长线于点， 当时，则， 不妨设， 则， 在中，， ， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∵和相似 当时，如图，作交于点P， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，即 解得，经检验是原方程的解，即． ∴ ． 当时，如图，作交于点O， 设， 同理，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 同理∵，即 解得，经检验是原方程的解，． ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论． 25．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设， (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)若，求线段的长． 【答案】(1)24； (2)，定义域：； (3)． 【分析】（1）过点、作，，由梯形的性质得，，由求出，然后根据梯形面积公式计算即可； （2）由得，，，证明得 ，由得，设，，代入整理可得； （3）由，得，过点作，设面积为，由相似的面积为，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）过点、作， ∵梯形中，，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴梯形面积； （2）由得，， ， 设， 则 解得 ∵， ∴ ∴定义域： （3）由，得 过点作，设面积为， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ①若点在边上， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②若点在边延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，段的长为或． 【点睛】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，求函数解析式及定义域等知识，难度较大，属中考压轴题． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$