2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册专题突破

专题突破(一) 添加辅助线构造全等三角形 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25分) 1. 如图,在△ABC中,BD 平分∠ABC,且AD⊥BD.若∠C=42°,∠CAD=23°,则∠BAD 的度数为 ( ) A. 60° B. 63° C. 65° D. 68° 2. 如图,P 是∠BAC 平分线AD 上的一点,AC=9,AB=4,PB=2,则PC的长不可能是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图,△ABC 的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD,连接CD,则△ADC 的面积为 ( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4.(2025·江苏南京期末)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,E 为CD 的中点.若用S₁,S₂,S₃分别表示△ADE,△EBC,△ABE 的面积,则. 与S₃之间的大小关系是 ( ) D.无法确定 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=60°,角平分线AG,BD 相交于点F,BE⊥AG,交AG的延长线于点 E，连接CE.给出下列结论：①若 ,则∠EBC=5°;② BF=2EF;③BE=CE;④ AB=BG+AD; 其中正确的个数为 ( ) A.5 B. 4 C. 3 D.2 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(每题5分，共25分) 6. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AD 是∠BAC 的平分线,CD⊥AD,连接BD,则△BDC 的面积为 . 7. 如图,在四边形ABCD 中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC.若∠A=120°,则∠C= . 8.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A 的坐标为(-4，-4)，点B(0，m)在y 轴的负半轴上沿负方向运动，连接AB，作∠BAC=90°，交x轴的正半轴于点 C(n，0)，连接BC.在点 B 的运动过程中,m+n= . 9.如图,在正方形ABCD 中,E 是边BC 上一点,点 F 在边CD 的延长线上,且BE=DF,连接EF 交边AD 于点G.过点A 作AN⊥EF,垂足为M,交边 CD 于点N.若BE=5,CN=8,则正方形ABCD 的边长为 . 10.如图，两条互相垂直的直线m，n交于点O，等腰直角三角形ABC的直角顶点A 在直线m上，锐角顶点 B 在直线n上，D是BC 的中点.已知 则 三、解答题(共50分) 11.(16分)如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC的中点.求证:DE=2AM. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 12. (16 分)如图,已知 AE,BE 分别平分 点E 在线段CD 上. (1) 求 的度数； (2)求证:(CE=DE. 13.(18分)(2025·江苏无锡期末)如图， 是四边形ABCD 的一个外角，AD∥BC,BC=BD,点 F 在CD 的延长线上,∠FAB=∠FBA,FG⊥AE,垂足为G. (1) 求证: ① DC 平分∠BDE; ②BC+DG=AG; (2) 已知AB=4,BC=3,DG=1. ① 求∠AFD 的度数; ②求四边形ABCF 的面积. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. C 2. A 3. C 4. B 解析:分别延长 AE,BC 交于点F.因为AD∥BC,所以∠ECF=∠D.因为 E 为CD的中点,所以CE=DE.在△FCE 和△ADE 中 所以△FCE≌△ADE (ASA),所以S△FCE=S△ADE,FE=AE,所以 因为 S△ADE+S△EBC,所以S△ADE+S△EBC=S△ABE,即 5. B 解析:因为∠ACB=60°,∠BAC=70°,所以∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=50°.因为 AG 为△ABC 的角平分线,所以∠BAG= 因为 BE⊥AG,所以∠AEB= 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 90°,所以. 所以∠EBC=∠ABE-∠ABC=5°,故①正确;因为 AG,BD 为△ABC 的角平分线,所以 所以 所以∠BFE =∠BAG+∠ABD=60°,所以, ∠BFE=30°,所以 BF=2EF,故②正确;如图,分别延长AC,BE 交于点 H.因为 AG 为△ABC 的角平分线,所以∠BAE=∠HAE.因为∠AEH = 180°-∠AEB = 90°,所以∠AEB=∠AEH.在△ABE 和△AHE 中, 所以△ABE≌△AHE(ASA), 所以 BE=HE.因为 HE>CE,所以 BE>CE,故③错误;在线段 AB 上截取 AM=AD,连接FM.因为 AG为△ABC 的角平分线,所以∠MAF=∠DAF.在△AFM 和△AFD 中, 斤以△AFM≌△AFD(SAS), 所以∠AFM=∠AFD.因为∠AFD=∠BFE=60°,所以∠AFM=60°,所以 ∠AFM - ∠BFE = 60°, 所 以 ∠BFM =∠BFG.因为 BD 为△ABC 的角平分线,所以∠FBM=∠FBG.在△BFM 和△BFG 中, 所以△BFM≌△BFG(ASA), 所以 BM= BG,所以 AB = AM+BM =AD+BG,故④正确;过点 M 分别作 MP⊥BF 于点 P,MQ⊥AF 于点 Q.因为∠AFM=∠BFM,所以 FM 平分∠AFB,所以 PM=QM.因为 QM,所以 因为△AFM≌△AFD, △BFM≌△BFG,所以 S△BFM=S△BFG,所以 故⑤正确.综上所述，其中正确结论的个数为4. 6. 8 7. 60° 8. - 8 9. 20 解析:连接 AE,AF,EN.因为四边形ABCD 为正方形,所以 AB = BC= CD =AD,∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°,所以∠ADF=180°-∠ADC=90°,所以∠B= ∠ADF.在△ABE 和△ADF 中, 所以△ABE≌△ADF(SAS),所以 AE =AF.因为 AN⊥EF,所以 EM= FM,所以AN 垂直平分EF,所以EN=FN.设正方形ABCD 的边长为x,则 BC=CD=x.因为BE=DF=5,所以CE=BC-BE=x-5.因为 CN=8,所以 EN=FN =CD+DF-CN=x-3.因为 所以 解得x=20，即正方形 ABCD 的边长为20. 10. 解析:如图,连接AD,过点 D 作 DE⊥OD,交直线 n 于点 E,则∠ODE=90°,所以∠ODB+∠BDE=90°.由题意,得 AB =AC,∠CAB=90°.因为 D 是 BC 的中点,BC=4,所以AD⊥BC,AD=BD=CD= 所以∠ADB=90°,所以∠ODB+∠ADO=90°,所以∠BDE=∠ADO.因为m⊥n,所以∠AOB = 90°,所以∠DAO+ 又∠DBE+∠DBO=180°,所以∠DBE=∠DAO. 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 在△DBE 和△DAO 中, 所以△DBE≌△DAO(ASA),所以 ED = 因为 所以 因为 所以OA+OB= 所以 2OA·OB =14,所以OA·OB=3,所以 11. 延长AM 到点 F,使 FM=AM,连接BF.因为M 为 BC 的中点,所以 BM=CM.在△BMF和△CMA 中, 所以△BMF≌△CMA(SAS),所以∠FBM=∠C,BF=AC.因为 AD=AC,所以 AD=BF.因为 AB⊥AE,AD⊥AC,所以∠BAE=∠CAD=90°,所以∠BAC+∠DAE=360°-∠BAE—∠CAD = 180°. 因为 ∠BAC +∠ABC+∠C=180°,所以∠DAE=∠ABC+∠C=∠ABC+∠FBM=∠FBA.在△DAE和 △FBA 中, 所 以△DAE≌△FBA(SAS),所以 DE=FA=AM+FM=2AM. 12. (1) 因为AC∥BD,所以∠BAC+∠ABD=180°.因为 AE,BE 分别平分∠BAC,∠ABD,所以 所以∠BAE+∠ABE= 所以∠AEB=90°. (2) 在 AB 上截取 AF=AC,连接EF.在△ACE 和△AFE 中. 所以△ACE≌△AFE(SAS),所以CE=FE,∠AEC=∠AEF.因为∠AEB =90°,所以 ∠AEF+∠BEF=90°,所以∠BED=∠BEF.在△BED 和△BEF 中, 所以△BED≌△BEF(ASA),所以 DE=FE,所以CE=DE. 13. (1) ① 因为AD∥BC,所以∠CDE=∠DCB.因为 BC=BD,所以∠CDB=∠DCB,所以∠CDE=∠CDB,所以 DC 平分∠BDE. ② 如图,过点 F 作FH⊥BD,交 BD 的延长线于点 H,则∠FHD=90°.因为∠FDG=∠CDE,∠FDH=∠CDB,∠CDE=∠CDB,所以∠FDG=∠FDH.因为 FG⊥AE,所以∠FGA =∠FGD=90°,所以∠FHD =∠FGD. 在 △DFH 和 △DFG 中, 所以△DFH≌△DFG (AAS),所以 FH = FG,DH= DG,所以BH=BD+DH=BC+DG.因为∠FAB=∠FBA,所以 BF = AF. 在 Rt△BFH 和Rt△AFG 中, 所以 Rt△BFH≌Rt△AFG(HL),所以BH=AG,所以BC+DG=AG. 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)① 因为 AB=4,BC=3,DG=1,所以BD=BC=3,AG=BC+DG=4,所以AD=AG+DG=5,所以 所以△ABD 是直角三角形,且∠ABD=90°.如图,过点 F 作 FM⊥AB 于点 M,交 AD 于点N,则∠AMF=∠BMF=90°,所以∠AMF=∠ABD,所以 FM∥BD,所以∠BFM =∠FBD,∠DFN=∠CDB.因为∠ADF=∠CDE=∠CDB,所以∠ADF=∠DFN.因为 AF=BF,所以∠AFM=∠BFM,所以∠AFM=∠FBD.由(1)知 Rt△BFH≌Rt△AFG,所以∠FBD=∠FAG,所以∠AFM=∠FAG.因为∠AFD+∠FAG+∠ADF=180°,所以∠AFD+∠AFM+∠DFN=180°,所以2∠AFD=180°,所以∠AFD=90°. ②如图,过点 D 作 DQ⊥BC 于点 Q.因为AF=BF,FM⊥AB,AB=4,所以AM= 所以FG=FH=BM=2.因为AD=5,所以 因为AD∥BC,所以 因为 BD=3,所以S△ABD=6, 因为 BC=3,所以S△BCD= 所以S四边形ABCF =S△AFD + 故四边形 ABCF 的面积为7 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破(七) 规律探究、阅读理解问题 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25分) 1.已知按照一定规律排成的一列实数： 则按此规律可推得这一列数中的第2 025 个数是 ( ) D. 2 025 2.(2025·江苏泰州期末)如图,直线l₁:y=x+1分别交x 轴、y轴于P,A 两点,直线 经过点 P，过点A 作平行于x轴的直线交l₂于点B₁，再过点B₁作平行于y轴的直线交l₁于点 A₁，…，依此规律作下去，则点 B₄的坐标为 ( ) A.(15,16) B.(16,8) C. (15,8) D. (31,16) 3.小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 (n=1,2,3,4,5,6,7),其中 则他探究这7条直线的交点个数最多是 () A. 17 B. 18 C. 19 D. 21 4.如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形ABC的顶点A(1，1)，B(3，1)，规定把等边三角形ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，这样经过2025次变换后，△ABC 的顶点C 的坐标为 ( ) B.(-2024,-1- 5.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1),(3,1),(3,0),(3,-1),…,根据这个规律探索可得第100个点的坐标为 ( ) A.(14,2) B. (14,3) C.(13,2) D.(15,1) 二、填空题(每题5分，共25 分) 6.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，OA=2，点B 在第一象限.标记点 B 的位置后，将△AOB 沿x 轴正方向平移至 的位置，使 经过点 B，再标记点 B₁的位置，继续平移至 的位置，使A₂O₂经过点B₁，此时点B₂的 23-1 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 坐标为 . 7.如图，在平面直角坐标系中，动点 P 从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点 ；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点. ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点 ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点 ；按此作法进行下去，则点. 的坐标为 . 8.(2025·江苏苏州期末)如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点 在直线l:y=x上,过点 N₁作 ，交x轴于点 过点 作 轴，交直线l 于点. 过点 作 ，交x轴于点. 过点M₂作 轴，交直线l 于点 ；按此作法进行下去，则点 M₂₀₂₅的坐标为 . 9.如图，直线l对应的函数表达式为y=x-1，在直线l上顺次取点. A₄(5,4),…, An(n+1,n),构成形如“”的图形,图形的阴影部分面积分别表示为 S₃,…, Sn,则 10.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A 在直线 上,AB⊥y轴,垂足为 B,将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB₁O₁的位置，使点 B 的对应点B₁落在直线 上，再将△AB₁O₁绕点 B₁逆时针旋转到△A₁B₁O₂的位置,使点O₁的对应点 O₂也落在直线y= 上，依此进行下去，….若点 B 的坐标为(0，3)，则点 B₂₁的纵坐标为 . 三、解答题(共50分) 11.(16分)学完第4章《平面直角坐标系》和第5章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD∥BC,CD⊥AD,BD 和AC 相交于点 P,求△BPC 的面积.小明同学运用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 “平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标.根据“一次函数”的知识求出点 P 的坐标，即可求得△BPC 的面积.请你按照小明的思路解决这道思考题. 12.(16分)定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为 (1)已知点A(-2，5)在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上，求a 的值； (2)已知一次函数y=-2x+3. ① 若点 B(t，-4)在该函数的相关函数的图象上，求t 的值； ②当-1≤x≤2时，求函数y=-2x+3的相关函数的最大值和最小值. 13.(18分)(2025·江苏镇江期末)折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在△ABC中,AB>AC(如图①),怎样证明∠C>∠B 呢? 把AC沿∠BAC 的平分线AD 翻折,因为AB>AC,所以点C 落在AB 上的点C'处(如图②).于是,由∠AC'D=∠C,∠AC'D>∠B ,可得∠C>∠B.利用上述方法(或者思路)解决下列问题: (1)如图②,在上述阅读材料中,若∠B=45°,∠C=60°,则∠C'DB 的度数为 ; (2)如图③,在△ABC中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点D.若(CD=m,AB=n,求△ABD 的面积；(用含m，n的代数式表示) (3)如图④,在△ABC中,AD⊥BC 于点D,CD=AB+BD.若∠C=24°,求∠BAC 的度数. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. C 2. C 3. B参考答案 4. D 解析:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则∠ADC=90°.因为 A(1,1),B(3,1),所以AB=3-1=2,AB∥x轴,所以CD⊥x轴.因为△ABC 是等边三角形,所以AC=AB=2,D 是AB 的中点，所以 点 D的坐标为 即(2,1).因为 CD= 所以点 C 的坐标为(2， 把△ABC 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位长度后，点C 的横坐标为2-1=1，纵坐标为 这样经过2 025 次变换后,点 C 的横坐标为 2-1×2025=-2023,纵坐标为 即点 C的坐标为 5. A解析：由题意，得横坐标为1的点有1个，横坐标为 2 的点有2 个，横坐标为 3 的点有3个，…，依此类推，横坐标为 n 的点有 n 个 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 (n为正整数).因为 所以第100个点的横坐标为14.因为100-91=9,所以第100个点是横坐标为14 的点中由下往上第9个点.因为14÷2=7，所以横坐标为14的点中由下往上第7 个点的纵坐标为0，所以由下往上第 9个点的纵坐标为2，即第100个点的坐标为(14,2). 6. (3,1) 7. (-1 013,-1 013) 9. 4 052 解析:由题意,得 (2+1),S₃=4×5-3×4=8=2×(3+1),…,所以 所以 (2025+1)=4 052. 解析:因为 B(0,3),所以OB=3.因为AB⊥y 轴,所以点 A 的纵坐标为 3.在 y= 中,令 y=3,得 解得x=-4,所以 A(-4,3),所以 AB = 4,所以 由旋转的性质，得 所以 12.同理可得 所以 12×10=129.设B₂₁(-4a,3a)(a>0),则 所以 解得 (负值舍去)，则 所以点 B₂₁的纵坐标为 11. 如图,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,过点 A 作AO⊥BC 于点O,分别以BC,AO所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则∠AOB=90°.因为 AB = AC = 10, BC = 12,所以 所以 B(-6,0),C(6,0),( 所以A(0,8).因为AD∥BC,CD⊥AD,所以 D(6,8).设直线AC 的函数表达式为 把点A(0,8),C(6,0)分别代入 得 解得 所以直线 AC 的函数表达式为 设直线 BD 的函数表达式为 把点B(-6,0),D(6,8)分别代入 得 解得 所以直线 BD 的函数表达式为 联立方程组 解得 所以P(2, ),所以 所以 故△BPC 的面积为32. 12. (1) 由题意,得一次函数 y= ax-3的相关函数为 因为点A(-2,5)在该相关函数的图象上，所以点 A 在函数y=-ax+3(x<0)的图象上，所以2a+3=5,解得a=1. (2)① 由题意,得一次函数y=-2x+3的相关函数为 因为点B(t，-4)在该相关函数的图象上，所以分类讨论如下:当t<0时,点 B 在函数y=2x-3(x<0)的图象上,所以2t-3=-4,解得 当t≥0时,点 B 在函数y=-2x+ 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 3(x≥0)的图象上,所以-2t+3=-4,解得 综上所述，t的值为 或 ②在y=2x-3中,令x=-1,得 y=2×(-1)-3=-5;令 x=0,得 y =-3.在y=-2x+3中,令x=0,得y=3;令x=2,得 y=-2×2+3=-1.当-1≤x<0时,y随x的增大而增大，所以-5≤y<-3.当0≤x≤2 时,y 随x 的增大而减小,所以-1≤y≤3.综上所述,当-1≤x≤2时,函数 y=-2x+3的相关函数的最大值为 3，最小值为-5. 13. (1) 15° (2) 如图①,把 AC 沿∠BAC 的平分线AD翻折,因为 AB>AC,所以点 C 落在AB 上的点C'处.由折叠的性质,得 C'D=CD=m,∠AC'D =∠ACB =90°,所以 C'D⊥ AB.因为 AB=n,所以 故△ABD 的面积为 (3) 如图②,将 AB 沿AD 翻折,点 B 落在BC 上的点B处，则由折叠的性质，得.AB'=AB,B'D=BD,所以∠B=∠AB'B.因为CD=AB+BD,所以(CD=AB'+B'D.又CD=CB'+B'D,所以AB'=CB',所以∠B'AC=∠C=24°,所以 ∠B'AC+∠C=48°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=108°. 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破(十二) 平面直角坐标系与一次函数 考试时间:120分钟 满分:100分 成绩: 一、选择题(每题2分，共16分) 1.经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程.数学中把形如a+bi(a，b为实数)的数叫作复数，用z=a+bi表示.任何一个复数z=a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a,b)表示,如:z=1+2i表示为Z(1,2),则z=2-i可表示为 ( ) A. Z(2,0) B. Z(2,-1) C. Z(2,1) D. Z(-1,2) 2.(2023·湖北黄石)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，m),将线段AB 平移得到线段CD.若点C 的坐标为(-2,1),点D 的坐标为(a,n),则m-n的值为 ( ) A. - 3 B. - 1 C. 1 D. 3 3.在平面直角坐标系中，将函数y=6x的图象向下平移12个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为 ( ) A.(2,0) B. (-2,0) C. (12,0) D. (-12,0) 4.(2025·江苏徐州模拟)已知一次函数 的图象上有两点A(-1,y₁),B(-2,y₂)，则 y₁与y₂之间的大小关系为 ( ) D.无法确定 5.定义一种新运算： 例如:3⊗1=3-1=2,5⊗4=5+4-6=3,则函数y=(x+2)⊗(x-1)的图象大致是 ( ) 6.如图，直线 分别与x 轴、y轴交于点A，C，直线 分别与x轴、y轴交于点B，C，P(m，2)是△ABC 内部(包括边上)一点，则m 的最大值与最小值之差为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1 h 出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A 地的路程y(km)与甲行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示，则当乙再次追上甲时距离B 地的路程为 ( ) A. 15 km B. 16 km C. 44 km D. 45 km 8.如图，在平面直角坐标系中，△OAB 三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(-6，8)，B(6，8).将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 ,则第2025次旋转结束时，点D 的坐标为 ( ) A.(20,6) B.(-6,20) C. (-20,-6) D.(6,-20) 二、填空题(每题2分，共20分) 9. (2024·黑龙江鹤岗)在函数 中，自变量x 的取值范围是 . 10.(2024·辽宁)在平面直角坐标系中,线段AB 的端点坐标分别为A(2,-1),B(1,0).将线段AB 平移后，若点 A 的对应点A'的坐标为(2，1)，则点 B 的对应点B'的坐标为 . 11. 如图,已知直线y= ax+b和直线y= kx交于点P(-4,-2),则关于x,y 的二元一次方程组 的解是 . 12. 如图,直线y=x+2与直线y= ax+c 相交于点P(m,3),则关于x 的不等式. 的解集为 . 13.若一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则 k的值为 . 14.(2025·江苏宿迁期末)某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.若这批苹果的成本为5元/千克，现以8元/千克的售价卖出，则他能挣得 元.(用含k的代数式表示) 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 15.已知一次函数y=mx+n的图象如图所示，则 16.若点 都在直线y=kx+b上，则k+b= . 17.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4m in内只进水不出水，从第4m in到第 24 min内既进水又出水，从第 24 min 开始只出水不进水，容器内水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，则图中a的值是 . 18.在平面直角坐标系中,O是原点,梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2).若直线 y= kx+2将该梯形分成面积相等的两部分,则k的值为 . 三、解答题(共64分) 19.(5分)如图，在平面直角坐标系中，点A(1，-2)与点B(4,-2))关于直线 l 对称，点C 的坐标为((-2,1),点C 关于直线l 的对称点为C'. (1)△ABC 的面积为 ,点 C'的坐标为 ; (2)在直线l上找一点 P，使得PB+PC'的值最小，则点 P 的坐标为 . 20.(5分)已知一次函数.y=kx+b的图象经过点(0，3)和点(1，2)，求该一次函数的表达式. 21. (6分)已知. ,其中y₁与x成正比例,y₂与x+2成正比例.当x=-1时,y=2;当x=2时,y=10. (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2) 当x取何值时,y 的值为30? 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 22.(6分)某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表： 进货批次 甲种水果质量/kg 乙种水果质量/kg 总费用/元 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共200 kg，且投入的资金不超过3 360元.将其中的m kg甲种水果和3m kg乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售.若第三次购进的200kg水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m 的最大值. 23.(6分)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A 到x轴、y轴距离的较大值称为点A 的“长距”，当点 P 的“长距”等于点 Q 的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”. (1) 求点 A(-5,2)的“长距”; (2)若C(-1,k+3),D(4,4k-3)两点为“等距点”,求k的值. 24.(6分)李师傅将容量为60L的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10L时，货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为0.1L/km.请根据图象解答下列问题： (1)直接写出工厂离目的地的路程； (2)求s 关于t 的函数表达式； (3)当货车显示加油提醒后，问：行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油? 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 25. (6分)如图①,在四边形ABCD 中, ,动点 P 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度沿着 BC→CD→DA 的路线向终点A 运动.设点 P 运动的时间为ts,图②是点 P 出发 ts 后, 的面积S 与t之间的函数关系图象. (2)求线段 MN 的函数表达式； (3)运动几秒时， 的面积为14? 26.(6分)(2025·江苏扬州期末)在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从 B 地骑电瓶车到C 地，同时乙从B 地骑摩托车到A 地，到达A 地后因故停留1m in，然后立即掉头(掉头时间忽略不计)按原路原速前往C 地，结果乙比甲早2m in到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B 地的路程y(m)与时间x(min)之间的函数图象.请解答下列问题： (1)甲的速度为 m/ min,乙的速度为 m/ min; (2)求线段 FG 的函数表达式； (3)出发多少分钟后，甲、乙两人相距600m?请直接写出答案. 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 27.(8分)小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，同时妈妈骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5m in，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t(min)，图①表示两人之间的距离s(m)与时间t(min)之间的函数关系的图象，图②中线段AB 表示小华和商店之间的距离y₁(m)与时间t(min)之间的函数关系图象的一部分.请根据所给信息解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是 m/min，妈妈在家装载货物所用时间是 min，点M 的坐标是 ； (2)直接写出妈妈和商店之间的距离y₂(m)与时间t(min)之间的函数表达式，并在图②中画出其函数图象； (3) 当 t 为何值时,两人相距360 m? 28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线AB: 交y轴于点 A(0,1),交x轴于点B,过点 E(1,0)作x 轴的垂线EF 交AB 于点 D,点 P 从点 D 出发沿着射线 DF 的方向向上运动，设PD=n. (1)求直线 AB 的函数表达式； (2)求△ABP 的面积；(用含n的代数式表示) (3)若以 P 为直角顶点，PB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形BPC，随着点 P 的运动，点C 是否在定直线上运动?若在定直线上运动，请求出该直线的函数表达式；若不在定直线上运动，请说明理由. 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. B参考答案 7. A 解析：观察题图可知：甲的速度为60÷3=20(km/h)，则乙首次追上甲时，甲行驶的时间为30÷20=1.5(h),所以乙的速度为 30÷(1.5-1)=60(km/h).设乙停留半小时后继续行驶t h再次追上甲,则 60t=20(t+0.5),解得t=0.25，则当乙再次追上甲时距离 B 地的路程为60-30-60×0.25=15(km). 8. A 解析:因为 A(-6,8),B(6,8),所以 AB=12.因为四边形ABCD 是正方形,所以AD=AB=12,所以点 D 的坐标为(-6,8+12),即(-6,20).因为 360÷90=4,所以每4 次旋转为一个循环.因为2 025÷4=506……1,所以第2025次旋转结束时，点D 的位置相对于初始位置是顺时针旋转90°，坐标为(20，6). 9. x≥3 10.(1,2) 11. (2)y=-4, 12. x≤1 13. ±2 14. 15. 2n 16. 2024 17.36 解析：观察题图可知：进水速度为 20÷4=5(L/ min),则出水速度为5-(35-20)÷(16-4)=3.75(L/ min),所以第 24 min 时的水量为20+(5-3.75)×(24-4)=45(L),所以a=24+45÷3.75=36. 解析:如图,因为 A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),所以 OA =1,OB =5,CD=2,OD=2,所以AB=OA+OB=6,所以 在y= kx+2中,令x=0,得 y=2,所以直线y= kx+2 经过定点(0,2),即点 D.设直线y= kx+2与 x 轴交于点E.因为直线 y=kx+2将梯形ABCD 分成面积相等的两部 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 分，所以 梯形ABCD=4.因为S△ADE = 所以 所以OE=AE-OA=3,所以E(3,0).把点 E(3,0)代入y= kx+2,得3k+2=0,解得 19. (1) (7,1) (2)连接BC 交直线l 于点 P,则点 P 即为所求.图略. 20. 把点(0,3)和点(1,2)分别代入y= kx+b,得 解得 故该一次函数的表达式为y=-x+3. 21. (1) 因为 y₁与x成正比例,y₂与x+2成正比例，所以可设 ,则 y= .因为当x=-1时,y=2;当x=2时,y=10,所以 解彳 所以 即 故y与x之间的函数表达式为 (2) 在 中,令 y=30,得 解得 故当 时，y的值为30. 22.(1)设甲种水果的进价为每千克 a 元，乙种 水果的进价为每千克 b 元.由题意，得 解得 故甲种水果的进价为每千克 12 元，乙种水果的进价为每千克20元. (2)设第三次购进x kg甲种水果，则购进(200-x) kg 乙种水果.由题意,得 12x+20(200—x)≤3 360,解得x≥80.设获得的利润为ω元.由题意,得ω=(17-12)(x-m)+(30-20)(200-x-3m)=-5x-35m+2 000.因为-5<0,所以ω随x的增大而减小，所以当x=80时，ω取最大值，且最大值为-35m+1600.因为第三次购进的200 kg水果全部售出后，获得的最大利润不低于800 元,所以-35m+1600≥800,解得 所以正整数 m 的最大值为 22. 23. (1) 因为点A(-5,2)到x轴、y轴的距离分别为 2,5,且5>2,所以点 A 的“长距”为5.(2) 因为C(-1,k+3),D(4,4k-3)两点为“等距点”，所以分类讨论如下：①当|k+3|=4时，解得 k=1 或-7.若 k=1,则 C(-1,4),D(4,1),符合题意;若k=-7,则C(-1,-4),D(4,-31),不合题意,舍去;② 当|k+3|=|4k-3|时,解得 k= 0 或 2.若 k =0,则C(-1,3),D(4,-3),不合题意,舍去;若k=2,则C(-1,5),D(4,5),符合题意.综上所述，k的值为1或2. 24.(1)观察题图可知：工厂离目的地的路程为880 km. (2) 设s 关于t 的函数表达式为 s= kt+b.把点(0,880),(4,560)分别代入 s = kt+b,得 解得 所以 s=-80t+880.在s=-80t+880中,令 s=0,得-80t+880=0,解得 t=11.故 s 关于t 的函数表达式为s=-80t+880(0≤t≤11). (3)由题意，得当油箱中剩余油量为10 L 时，货车离目的地的路程为880-(60-10)÷0.1= 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 380(km)；当油箱中剩余油量为0 L 时，货车离目的地的路程为 880-60÷0.1=280(km).在s=-80t+880中,令 s=380,得-80t+880= 380,解得 t = 6. 25;令 s = 280,得-80t+880=280,解得 t=7.5.故当货车显示加油提醒后,行驶时间 t 在6.25<t<7.5的范围内货车应进站加油. 25.(1) 7 解析:因为∠B=90°,AD∥BC,所以∠A=180°-∠B=90°.观察题图可知:当点P运动到点C时，S=18，所以 BC·AB=18.因为 AB=4,所以BC=9.因为点P 的运动速度为每秒2 个单位长度，所以 因为AD=6,所以b=10-6÷2=7. (2) 由(1),得M( ,18).因为∠A=90°,AB=4,AD=6,所以当点 P 运动到点 D时， 所以 N(7,12).设线段 MN 的 函数 表 达 式为 把点M( ,18),N(7,12)分别代入 得 解得 所以线段 MN 的函数表达式为 (3)设线段 OM 的函数表达式为 S=k₂t 把点 代入 得 解得 所以线段OM 的函数表达式为 令 S=14,得 4t=14,解得 在 中，令S=14,得 解得 综上所述，运动- s或 时,△ABP 的面积为14. 26. (1) 300 800 解析:观察题图可知:A,B两地相距800 m,B,C 两地相距2400 m,乙从 B 地到A 地用时(3-1)÷2=1(min),所以乙的速度为 800÷1=800(m/ min),所以乙从 B 地到C 地用时2 400÷800=3(min),所以甲从B 地到C 地用时3+3+2=8(min),所以甲的速度为2 400÷8=300(m/ min). (2) 由(1),得 F(3,0),G(6,2 400).设线段FG 的函数表达式为y= kx+b(3≤x≤6).把点 F(3,0),G(6,2 400)分别代入 y= kx+b,得 解得 故线段 FG 的函数表达式为 y=800x-2 400(3≤x≤6). (3)当甲、乙两人相距600m时，分类讨论如下:① 若0≤x≤1,则(300+800)x=600,解得 ② 若2≤x≤3,则 300x+800(3-x)=600,解得 不合题意，舍去；③若3<x≤6,则|300x-800(x-3)|=600,解得 或6.综上所述，出发 min 或 或6 min 后,甲、乙两人相距600 m. 27. (1)120 5 (20,1200) 解析:由题图②可知小华步行的速度是1800÷30=60(m/ min).由题图①可知妈妈骑车的速度是 1 800÷10-60=120(m/ min),所以妈妈从商店到家所用时间是1 800÷120=15(min).因为小华到达商店比妈妈返回商店早5 min，所以妈妈在家装载货物所用时间是30+5-15×2=5(min),所以点 M 的横坐标是 15+5=20.因为小华 20 min 步行60×20=1 200(m),所以点 M 的纵坐标是1 200，所以点 M 的坐 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 标是(20,1200). (2) 当0≤t<15时, 当15≤t≤20时 当20<t≤35时, 120(t-20)=-120t+4 200.综上所述, 函数图 象略. (3)由题意，得y₁与t 之间的函数表达式为y₁=-60t+1800(0≤t≤30).当0≤t<15时,令 ,得|-60t+1800-120t|=360,解得 t=8 或12;当15≤t≤20 时,令 ,得|-60t+1 800-1800|=360,解得t=6,不合题意,舍去;当20<t≤30时,令 ,得|-60t+1800-(-120t+4 200)|=360,解得 t=34 或 46,不合题意，舍去；当30<t≤35时，因为此时 所以令 得-120t+4 200=360,解得 t=32.综上所述,当 t 的值为8 或12或32时,两人相距360 m. 28.(1) 因为直线 交 y轴于点A(0,1),所以b=1,所以直线 AB 的函数表达式为 (2) 过点A 作AM⊥PD 于点M.因为E(1,0),EF⊥x轴,所以AM= OE = 1. 因为 PD=n,所以 在 中,令 y=0,得 解得x=3,所以B(3,0),所以OB=3,所以BE=OB-OE=2,所以 BE=n,所以 故△ABP 的面积为 (3) 过点 C 作 CG⊥EF 于点 G,则∠CGP=∠PEB=90°.在 中,令x=1,得 所以 所以 由题意，得 PC=BP,∠BPC=90°,所以∠CPG+ 因为∠PBE+∠BPE = 90°,所以∠CPG =∠PBE. 在△CPG 和△PBE 中, 所以△CPG≌△PBE(AAS),所以 CG= 所以点C 的坐标为 即(n+ 令 则 y=x+1,所以点 C 在定直线y=x+1上运动. 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破(五) 新趋势一传统文化问题 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25分) 1.(2024·江苏南通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形的面积为5, 则大正方形的面积为 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2.秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 下列估算正确的是 ( ) 3.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中.若图中点E 的坐标为(m，1)，其关于y轴对称的点 F 的坐标为(2,n),则( 的值为 ( ) A. 1 B. - 1 C. 3²025 D. 0 4.(2023·安徽改编)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角三角形ABC 的高，则 当AB=7,BC=6,AC=5时,AD 的长为 ( ) B. 5.(2023·湖北鄂州)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，若建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(-2，-1)的位置，则在同一平面直角坐标系中，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为 ( ) A. y=x+1 B. y=x-1 C. y=2x+1 D. y=2x-1 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(每题5分，共25分) 6.公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 得到无理数的近似值，其中r 取正整数，且a 取尽可能大的正整数.例如：把 化成 再根据近似公式得出 当利用此公式计算 的近似值时， 7.(2025·江苏徐州模拟)在《九章算术》中，有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”它的意思如下：一根竹子原高一丈(10 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面 尺. 8.漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.小明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数.下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除该数据后利用正确的数据确定当h=8cm时，对应的t= min. t/ min … 1 2 3 5 … h/ cm … 2.4 2.8 3.4 4 … 9.(2023·湖北孝感)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设AF=a，DF=b，连接AE,BE.若△ADE 与△BEH 的面积相等,则 10.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣.”也就是说，图①中直角三角形的三边长a，b，c存在 的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图②，分别将以a为边长的正方形和以b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角.若a+b-c=6,则(c-b)(c-a)= . 三、解答题(共50分) 11.(10分)“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一，其制作工艺十分巧妙.如图是油纸伞的截面示意图，伞圈D 沿着伞柄AP 滑动时，总有伞骨AB=AC，BD=CD.问：伞柄AP 是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC?请说明理由. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 12.(12分)如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中. (1)“岭”和“船”的坐标依次是 和 ； (2)先将第2行与第 3行对调，再将第3列与第 7 列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为 和 ; (3)“泊”开始的坐标是(2，1)，使它的坐标变换到(5，3)，应该先将哪两行对调，再将哪两列对调? 13.(14分)(2025·江苏扬州期末)我国古代数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则如下：如果k 是大于2的偶数，那么k、k的一半的平方减1和k的一半的平方加1是一组勾股数. (1)按照这个法则，写出2组不同的勾股数： ， ； (2)用等式表示这三个勾股数之间的数量关系，并证明. 14.(14分)开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产.某网店负责人小明在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： A 款汴绣 B 款汴绣 进货价/(元/件) 800 1 400 销售价/(元/件) 980 1680 (1)第一次小明用24400元购进了A，B两款汴绣共20件，求两款汴绣各购进多少件； (2)第二次小明进货时，计划购进 A 款汴绣的数量不少于 B 款汴绣数量的 ，且小明计划购进两款汴绣共30件，则应如何设计进货方案才能获得最大利润?最大利润为多少? 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 1. B 2. C 3. B 4. C参考答案 5. A解析:因为棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置，所以棋子“马”位于点(1，2)的位置.设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为 y= kx+b.把点(-2,-1),(1,2)分别代入y= kx+b,得 解得 所以 y=x+1.故经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为 y=x+1. 6. 7. 4.558. 159. 3 10. 18 解析:如图,因为 所以 因为 AB=c-b,AC=c-a,所以S长方形ACDB=AB·AC=(c-b)(c-a).因为a+b-c=6,所以 所以(c—b)(c—a)=18. 11.伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.理由如下:在△ABD 和△ACD 中 所以△ABD≌△ACD(SSS), 所以∠BAD=∠CAD,所以伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC. 12. (1) (4,2) (7,1) (2)(7,3) (3,3) (3)“泊”开始的坐标是(2，1)，使它的坐标变换到(5，3)，应该先将第 1行与第3行对调，再将第 2列与第5列对调. 13. (1)(答案不唯一)3,4,5 6,8,10 (2)当k是大于2的偶数时， 证明如下：因为左边= 右边 所以左边=右边，即等式成立. 14.(1)设A 款汴绣购进了x 件，则B 款汴绣购进了(20-x)件.由题意,得 800x+1 400(20-x)=24400,解得x=6,则20-x=14.故A 款汴绣购进了6件，B款汴绣购进了14件. (2)设A 款汴绣购进a 件，两款汴绣的销售利润为 y 元,则B 款汴绣购进(30-a)件.由题意,得 y=(980-800)a+(1 680-1400)·(30-a)=-100a+8 400.因为-100<0,所以y 随a 的增大而减小.因为 a),所以a≥12,所以当a=12时,y取最大值,且最大值为-100×12+8 400=7 200,则30-a=18.故当 A 款汴绣购进 12 件,B 款汴绣购进18件时，才能获得最大利润，最大利润为7200元. 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破(三) 勾股定理的实际应用 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25 分) 1.用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案.若要使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三张正方形纸片的面积不可以是 ( ) A. 1,2,3 B. 2,2,4 C. 3,4,5 D. 2,3,5 2.如图，一块边长为24 m的正方形绿地四周被小路环绕，位于路边B 处的健身器材距离路口C 处7 m，为防止部分居民从 A 处穿过绿地去B 处，小明想在 A 处竖立一个标牌“少走■步路，踏之何忍”.若两步为1m ，则标牌上“■”处应填的数字是 ( ) A. 50 B. 25 C. 12 D. 6 3.《九章算术》中记载：“今有开门去阔(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何?”题目大意如下：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺=10寸),则AB 的长为(O是AB 的中点) ( ) A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸 4.如图,AB⊥BD,DE⊥BD,AE 与BD 交于点C,∠AEB=2∠A.若AC=8,DE=1,则BD 的长为 ( ) C. 4 5. 如图,在Rt△ABC 和 Rt△BDE 中,∠ABC=∠BDE=90°,A 是DE 的中点.若AB=CB,DB=DE=2,连接CE,则CE 的长为 ( ) C. 4 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(每题5分，共25 分) 6.如图，小亮将等腰三角形ABC 沿底边上的高线向下平移2次，每次平移相同的长度，得到“一棵树”.已知AB=32cm,AC=20cm,,下方树干 DE=8 cm.若树的高度CE=36cm,则 每次平移的长度为 cm. 7.(2024·陕西)如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是边AB 上一点,连接CE,在 BC 的右侧作BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若.AC=13,BC=10,,则四边形 EBFC 的面积为 . 8.如图，点A，B在x轴上，点C 在y轴的正半轴上，且. P 为线段AB 上一点(不含端点)，则 的值为 . 9.四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形ABCD，过每个直角三角形较长直角边的中点作垂线，围成面积为m 的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM 的较长直角边，AM=4EF,则正方形 ABCD 的面积为 .(用含m的代数式表示) 10.(2025·江苏泰州期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.若AC=2,D 是边AB 上的动点，则 的最小值为 . 三、解答题(共50分) 11.(16分)如图，学校A 与公路l之间的距离AE=3km，与该公路边的车站 D之间的距离AD=5km，现要在公路边建一个商店C，使之到学校A 及车站D 的距离相等. (1)在图中作出商店C 的位置；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)求商店 C 与车站 D 之间的距离CD. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 12.(18分)将 沿AD 折叠，使点 C 刚好落在边AB 上的点 E处，展开如图. 【操作观察】 (1) 如图①,AB=8,AC=6. ①BE= ; ② 若S△ACD=9,则S△ABD= ; 【理解应用】 (2) 如图②,若∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD; 【拓展延伸】 (3)如图③,∠BAC=60°,G为AC的中点,且AG=5,P 是线段AD上的一个动点,连接PG,PC,求( 的最小值. 13.(16分)(2025·江苏淮安模拟)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=3,点E 在折线B-C-D 上运动,将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF,且∠EAF=∠BAC,连接CF. (1) 当点 E 在BC 上时,作 FM⊥AC,垂足为M,求证:AM=AB; (2) 当 时,求 CF 的长. 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. C 2. C 3. C参考答案 4. B 解析:取AC 的中点F,连接BF.因为AB⊥BD,所以∠ABD =90°,所以 BF = AF = AC,所以∠A =∠ABF,所以∠BFE =∠A+∠ABF=2∠A.因为∠AEB=2∠A,所以∠AEB=∠BFE,所以 因为AC=8,所以 BE=4.因为 DE⊥BD,所以∠D =90°. 因为 DE =1,所以 BD = 5. D 解析:如图,延长 ED 至点F,使得 DF=DE=2,连接BF,CF,则 EF=DE+DF=4. 因为 ∠BDE = 90°,DB = DE = 2,所以 BD⊥EF,所以BD 垂直平分EF,所以BE=BF,所以∠BFE=∠BED=45°,所以∠EBF=180°-∠BED-∠BFE=90°,所以∠ABE+∠ABF=90°.因为∠ABC=90°,所以∠CBF+∠ABF=90°,所以∠CBF=∠ABE.在△CBF 和△ABE 中. 所以△CBF≌ △ABE(SAS),所以 CF = AE,∠BFC =∠BEA=45°,所以∠CFE=∠BFE+∠BFC=90°.因为 A 是DE 的中点,所以CF=AE= 所以 6. 8 7. 60 8. 5 9. 17m 解析:设AM=a,BM=b.因为∠AMB=90°,所以 由题意，得 所以 . 又 S正方形EFGH =m，所以 因为 AM=4EF,所以a=4b,所以 故正方形ABCD 的面积为17m. 10. 解析：如图，在直线AB 下方作∠BAG=30°,过点 D 作 DE⊥AG 于点 E,过点 C 作CF⊥AG 于点F,则∠AED=∠AFC=90°, 所以 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 结合图形可知，当E，F两点重合时，CD+ 取最小值，且最小值即为CF 的长.因为∠BAC=30°,所以∠CAF=∠BAG+∠BAC=60°,所以∠ACF=90°-∠CAF=30°,所以 因为 AC=2,所以AF=1,所以 ，所以 的最小值为 11.(1)作线段 AD 的垂直平分线交直线l 于点C，则点 C 即为所求.图略. (2) 连接AC.设 AC=CD=x km.因为∠AED=90°,AE=3 km,AD=5k m,所以 所以 CE=DE-CD=(4-x) km.因为 所以 解得 即商店 C 与车站D 之间的距离CD 为 12. (1) ① 2 ② 12 (2) 由折叠的性质,得 AE=AC,DE=CD,∠AED=∠C.因为∠C=2∠B,所以∠AED=2∠B.因为∠AED =∠B +∠BDE,所以∠B=∠BDE,所以 BE=DE,所以 BE =CD,所以AB=AE+BE=AC+CD. (3) 连接 PE,EC,EG.由折叠的性质,得AE=AC,PE=PC,所以 PG+PC=PG+PE≥EG,即 PG+PC 的最小值为 EG 的长.因为∠BAC=60°,所以△AEC 是等边三角形.因为 G 为AC 的中点,AG=5,所以AE= AC = 2AG = 10,EG⊥AC,所以 所以 所以 的最小值为75. 13.(1)因为四边形 ABCD 是长方形,所以∠B=90°.因为 FM⊥AC,所以∠FMA=90°,所以∠FMA = ∠B. 因为∠EAF =∠BAC,所以∠EAF-∠CAE=∠BAC-∠CAE,所以∠FAM=∠EAB.由旋转的性质,得 AF=AE.在△FAM 和△EAB 中, 所以△FAM≌△EAB (AAS),所以AM=AB. (2)因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠B=∠D=90°,BC=AD=3.因为AB=4，所以 当 AE = 时，分类讨论如下：①若点 E 在BC 上，则 过点 F 作 FN⊥AC 于点 N,则∠CNF = 90°.同(1)可得△AFN≌△AEB,所以 AN=AB=4,所以CN=AC-AN=1,所以 ②若点 E 在CD上,过点 E 作 EG⊥AB 于点 G,过点 F 作 FH⊥AC 于点 H,则∠AGE=∠AHF=∠CHF=90°,EG=AD=3,所以 因为 ∠EAF = ∠BAC, 所以 ∠EAF +∠CAE=∠BAC+∠CAE,所以∠FAH=∠EAG.由旋转的性质,得 AF = AE. 在△AFH 和△AEG 中. 斤以△AFH≌△AEG(AAS),所以 FH =EG=3,AH=AG=3,所以 CH =AC-AH=2,所以 综上所述，CF 的长为 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $